洪子昕，郭無箏，白在橋

(北京師范大學 物理學系，北京 100875)

動態(tài)法測楊氏模量實驗[1-8]是大學物理課程中基礎的教學內容. 該實驗測量樣品的共振頻率而非微小形變，具有操作簡單、精確度高的優(yōu)點. 但在教學中也發(fā)現(xiàn)該實驗存在一些問題. 比如實驗用示波器觀察拾振器輸出波形，并根據(jù)其振幅達到極大值判斷共振頻率. 在共振峰頂端，振幅改變不明顯，導致共振頻率測量精度不夠高. 此外，在描頻率過程中，偶爾有學生發(fā)現(xiàn)拾振器輸出振幅出現(xiàn)勤率次極大值.

本文利用LabVIEW搭建自動測試系統(tǒng)，測量桿共振曲線的全貌和細節(jié)，從而驗證雙共振峰的存在性，并研究它對實驗的影響.

1 理論背景

1.1 雙共振峰模型

根據(jù)2009年開始實施的《金屬材料彈性模量和泊松比試驗方法》的國家標準[9]，動態(tài)法測楊氏模量的實驗裝置主體部分如圖1所示. 測試桿用細棉線懸掛于儀器架上，棉繩上端連接激振器和拾振器(圖中M和N下方). 激振器利用逆壓電效應，將外界激勵電信號轉換為周期性的驅動力，借助細棉線作用于測試桿. 測試桿的振動通過棉線傳至拾振器，拾振器利用正壓電效應將拉力轉換為電信號輸出.

以測試桿質心為原點O，建立如圖1所示的坐標系. 桿存在x和z方向的橫向振動. 理想的情況下，由于桿具有旋轉對稱性，激勵加在z方向，不會引起x方向上的振動. 但由于制備加工的因素，很難保證實際樣品的力學性質具有精確的旋轉對稱性. 旋轉對稱性的破壞導致原本簡并的本征振動頻率劈裂成2個略不相等的本征頻率，分別對應2個相互垂直的本征振動模式. 由于實驗中只是隨意放置桿的方向，這2個本征振動方向很可能都不與z軸垂直(在z軸方向的投影都不為零). 因此z方向的激勵很可能同時激發(fā)出這2個本征振動，從而在掃描頻率時看到2個很接近的共振峰.

圖1 實驗裝置主體部分示意圖

假設系統(tǒng)處于線性響應區(qū)間，根據(jù)線性系統(tǒng)的一般理論，如果激振器發(fā)出正弦波形式的驅動信號

uin(t)=A0sin (ωt+θ0),

(1)

當桿振動達到穩(wěn)態(tài)時，拾振器接收的響應信號一

定也是同頻率的正弦信號

uout(t)=A1sin (ωt+θ1).

(2)

而且它們的幅度比A1/A0和相位差Δθ=θ1-θ0都只是頻率的函數(shù)，分別稱為系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性. 實際上把二者合并成復數(shù)的頻率響應曲線要更方便處理：

(3)

在線性電路中，H(ω)可用相量法計算. 比如對RLC串聯(lián)電路，若用電阻上的電壓作為響應信號，則

(4)

(5)

其中Δ=R/L=ω0/Q為共振峰的寬度，Q為振子的品質因數(shù). 一般而言，H(ω)在復平面上的每個極點都可以解釋為1個共振，極點的實部對應共振頻率，虛部則等于共振峰的半寬度.

根據(jù)疊加原理(并用頻率代替角頻率)，假設測試桿的頻率響應曲線在共振頻率附近可表示為包含5個復參量的函數(shù)形式

(6)

其中，f1和f2為頻率響應函數(shù)在復平面上的極點，對應2個本征振動模式，c1和c2的模長與幅角分別表示這2個振動模式的響應強度與相位延遲. 在擬合實測曲線時，發(fā)現(xiàn)引入常數(shù)b可以顯著提高擬合效果. 該常數(shù)可以理解為通過測試架直接傳到拾振器的信號，或者，如果考慮位移共振，也會引入常數(shù)項.

1.2 懸掛點位置對頻率的影響

計算楊氏模量需要桿的固有頻率. 除非懸掛點在波節(jié)處，否則懸線的影響會導致共振頻率偏離固有頻率. 如果將懸掛點放在波節(jié)處，由于波節(jié)處振幅為零，又無法激勵和探測桿的振動. 通常的做法是測量懸掛點在波節(jié)點兩側不同位置的共振頻率，然后依照經(jīng)驗模型內插得到桿的固有頻率[1-2]. 教學中常采用多項式模型擬合數(shù)據(jù)，這種方法雖然合理可行，但存在一定的任意性(比如多項式的階數(shù)).

文獻[6]對懸掛點對共振頻率的影響做過理論分析. 假設懸線的勁度系數(shù)為k，利用微擾方法得到，當懸掛點對稱地位于y和-y處時，共振頻率ω(y)與固有頻率ω0滿足

(7)

其中G(y)為基頻振動的本征函數(shù),

(8)

式中，L為桿長，cosxcoshx=1的最小正根x1≈4.730 04，M為桿在基頻振動時的廣義質量,

(9)

式中ρ為桿的線密度. (7)式右邊第二項為修正項，數(shù)值上遠小于第一項，因此有

(10)

如果(10)式成立，就可以用ω(y)與G2(y)做直線擬合，所得截距就是固有頻率ω0. 從教學上考慮，這種線性擬合要比純經(jīng)驗的多項式擬合更有物理意義. 本文將用測量結果檢驗這個方法的有效性. 需要說明的是，在推導(7)式時假設振動只發(fā)生在z方向，并沒有考慮桿的各向異性. 如果測量結果與(10)式不完全相符，應全面地分析應該考慮2個本征模式與懸線的相互作用[10].

2 實驗裝置與方法

實驗是在杭州大華生產(chǎn)的DHY-2 動態(tài)法楊氏模量測定儀基礎完成的，主要器材包括測試金屬桿、支架、激振器、拾振器和信號放大器. 其他器材包括信號發(fā)生器、數(shù)據(jù)采集卡(NI-myDAQ)和裝有LabVIEW軟件的計算機，其中信號發(fā)生器有USB-device接口，可以用LabVIEW控制. 使用LabVIEW軟件編程控制信號發(fā)生器的輸出，用于激勵桿的振動，然后通過數(shù)據(jù)采集卡獲得拾振器輸出(經(jīng)過儀器放大后)的響應信號.

測量程序自動掃描激發(fā)頻率，在每個頻率點采集激勵信號與響應信號，計算振幅比與相位差，并把結果保存在文件中. 程序可以設置掃頻的范圍、步長和方向. 為了觀察共振曲線的細節(jié)，還可以在一定區(qū)間內采用更細的掃頻步長. 為了確保測量時振動已經(jīng)達到穩(wěn)態(tài)，程序在激勵信號頻率改變1 s之后連續(xù)測量20次信號(每次采集時間50 ms). 測量20次響應信號的振幅，計算幅值與1到20序號之間的線性相關系數(shù)r. 如果r2接近1，說明響應振幅還在穩(wěn)定地增加或減小. 把r2小于某閾值(實驗中取0.65)當作振動達到穩(wěn)定的判據(jù). 如果判據(jù)滿足，就將這20次測量結果取平均作為測量結果，然后將信號源頻率調至下一個頻率點，繼續(xù)測量. 如果r2大于閾值(這種情況一般只出現(xiàn)在共振峰附近)，則保持頻率不變，重復上面的測量-判斷過程，直至滿足穩(wěn)定判據(jù). 程序最快2 s就可以完成1個頻率點的測量，完成1條頻率特性曲線的測量需要8～10 min.

實測的頻率特性曲線都包含2個共振峰. 圖2和圖3給出了2個典型的頻率特性曲線. 圖2中的2個共振峰重疊部分很小，此時把幅頻特性曲線極大值的位置當作共振頻率，不會引入可觀的誤差. 圖3是小而窄的共振峰和大而寬的共振峰的疊加. 2個峰的中心很接近，但相位幾乎相反. 疊加的效果是在大共振峰的中心附近出現(xiàn)向下的凹陷. 此時把幅頻特性曲線的2個極大值點位置當作共振頻率顯然不合適.

(a)幅頻特性

(b)相頻特性圖2 銅桿的幅頻特性和相頻特性曲線

編寫擬合程序，采用非線性函數(shù)擬合常用的Levenberg-Marquardt(L-M)算法按照式(6)擬合實測頻率響應曲線，得到2個共振頻率及其寬度. 需要說明的是，一般的L-M算法(包括LabVIEW自帶的)都只針對實參量的情況. 對于復參量情況，需要將梯度的轉置變成共軛轉置. 擬合效果的優(yōu)劣常用決定系數(shù)來衡量，其定義為

(11)

(a)幅頻特性

(b)相頻特性圖3 不銹鋼桿的幅頻特性和相頻特性曲線

為檢驗頻率測量的可重復性，連續(xù)多次測量了向上掃頻和向下掃頻的頻率響應曲線，發(fā)現(xiàn)擬合共振頻率相差都在0.01 Hz以內. 此外，從1 V到3 V改變激發(fā)信號的峰峰值，對結果的影響也沒有超過這個限度.

3 實驗結果

使用相同的測試架(包括懸線)，改變懸掛點位置，測量了黃銅和不銹鋼桿的共振曲線并擬合得到2個共振頻率及其寬度. 為了減小桿各向異性的影響，在測量過程中盡量保持桿懸掛的角度不變. 測量結果見表1和表2. 在2個共振頻率中，虛部較小的記作f1，虛部較大的記作f2. 為方便參考，表中還給出了對應懸掛位置的G2(y)(取L=180 mm).

圖4畫出了黃銅桿共振頻率與G2(y)的關系. 可以看出f1的實部和虛部變化都很小，它們與G2(y)都沒有明顯的相關，但f2的實部和虛部都與G2(y)顯著地線性相關. 將f2的實部線性外推到G2(y)=0，所得桿的固有頻率為539.831 Hz，與f1的實部相差在1 Hz左右. 這個差異體現(xiàn)了桿本身的各向異性. 共振頻率的虛部大小體現(xiàn)了振動能量耗散的快慢.f1的虛部與G2(y)關系不大，表明它對應的振動受到懸線的阻尼比較小. 而f2的虛部隨G2(y)線性增大，表明對應的振動受懸線的阻尼比較大.

表1 黃銅桿的共振頻率

表2 不銹鋼桿的共振頻率

(a)頻率的實部

(b)頻率的虛部圖4 黃銅桿的共振頻率與懸掛點G2(y)的關系

不銹鋼桿的結果則有些令人意外(見圖5). 一方面這里f1的虛部和f2的實部與G2(y)的相關不顯著，而f1的實部以及f2的虛部與G2(y)線性相關度比較高. 另一方面，f1的實部與G2(y)呈負相關. 式(10)中的系數(shù)為懸線的勁度系數(shù)，不可能為負. 因此猜想懸線不僅會引入額外的彈性，還可能引入額外的質量. 事實上，懸線上存在彈性波，其力學性質應該與頻率有關. 為了檢驗懸線在對共振頻率的影響程度，換了更細、更硬的懸線重新測量了不銹鋼桿的共振頻率，結果見表3和圖6.

(a)

(b)圖5 不銹鋼桿的共振頻率與懸掛點G2(y)的關系

y/mmf1/Hzf2/Hz70822.186+0.109 i821.950+5.068 i65822.473+0.091 i822.239+2.883 i60822.622+0.095 i822.331+1.309 i55822.700+0.108 i822.339+0.344 i45822.682+0.121 i822.302+0.216 i40822.612+0.117 i822.433+0.832 i35822.570+0.094 i822.436+1.805 i30822.442+0.093 i822.429+2.899 i

(a)

(b)圖6 更換懸線后不銹鋼桿的共振頻率與懸掛點G2(y)的關系

新懸線的結果看起來又“正?！绷耍篺1與G(y)2關系不大，f2的實部與虛部都與G(y)2線性正相關. 不過圖5(a)中線性外推波節(jié)點f1的實部為822.728 Hz，而表3中最靠近波節(jié)點的2個f1的實部的平均值為822.691 Hz，二者相差并不大. 按照相同的做法，從表2得到波節(jié)點f2的實部為822.321 Hz，從圖6(a)線性外推得波節(jié)點f2的實部為822.300 Hz，二者相差也不大. 這說明雖然懸線對桿的共振頻率影響比較大，但用直線外推或者近鄰點取平均，在推斷固有頻率時基本可以消除懸線的影響.

根據(jù)以上實驗結果，提出改進的計算固有頻率的方法：如果共振頻率隨懸掛位置變化較大，可用線性外推法計算固有頻率；如果變化不明顯，則用近鄰點取平均計算. 用此方法求得桿的2個固有頻率，并根據(jù)

(12)

計算楊氏模量，結果見表4.

表4 黃銅和不銹鋼(2次)楊氏模量測量結果

4 總結與討論

利用LabVIEW精確地測得了樣品的頻率響應曲線，確認了雙共振峰的存在. 通過擬合雙共振頻率響應曲線，比較準確地確定了2個共振頻率及其寬度. 通過測量不同懸掛位置以及不同懸線對共振頻率的影響，發(fā)現(xiàn)懸線的影響不止是提供了額外的彈性，使共振頻率增加. 懸線的影響還包括提供阻尼造成桿共振峰寬度增加(品質因數(shù)減小)以及提供額外的附加質量使共振頻率減小. 桿的各向異性以及懸線和桿(甚至包括激振器和拾振器)耦合構成的多自由度振動系統(tǒng)，在實驗中表現(xiàn)出相當豐富的現(xiàn)象. 基于本文的工作，對這個實驗提出2條建議：

1)盡量減小樣品力學性質的各向異性，否則2個固有頻率相差過大會影響楊氏模量測量的準確度. 為此應避免在樣品上刻線(必要時可用噴涂代替)，對樣品退火處理也可以減小其各向異性.

2)在外推桿的固有頻率時，可以用共振頻率與G(y)2作圖. 如果線性度較好，可以把擬合直線的截距當作固有頻率(筆者用此方法分析了文獻[1]的數(shù)據(jù)，結果為R2=0.988). 如果共振頻率變化很小，可以取最靠近節(jié)點的2個測量的平均值作為固有頻率. 如果線性度不高但共振頻率本身變化比較大，則很可能測量數(shù)據(jù)有問題.

致謝:感謝北京師范大學研究生呂博文在實驗過程中給予的幫助.