2019年7月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2491已知a,b,c≥0,ab+bc+ca=1,求證:

(陜西省咸陽師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院 安振平 712000)

證明所證不等式等價于

等價于

等價于

等價于

等價于

≥4(a+b+c),

等價于

(a+b+c-2)2+

等價于(a+b+c-2)2+

顯然，這是成立的，獲證.

2492已知，如圖，CD、BE交于G，并分別交AB、AC于J、K，DK交AB于H，EJ交AC于I，DI與EH交于F，證明：A、F、G三點共線．

(江西師范高等?？茖W(xué)校 王建榮 335000)

證明假設(shè)AG分別交DI、EH于F、F′，

分別連AD、AE、GH、GI，

由梅氏定理

把上式代入W：

因此F、F′重合，故A、F、G三點共線．

2493求證：在△ABC中，有

上式取等號，當且僅當△ABC為正三角形．

(湖北省谷城縣第三中學(xué) 賀 斌 李至軍 441700)

證明首先，在△ABC中，?x,y,z∈R，有

x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC．

(1)

事實上

(x2+y2+z2)-2(yzcosA+zxcosB+xycosC)

=(x-ycosC-zcosB)2+(ysinC-zsinB)2≥0．

所以(1)式成立．并且(1)式取等號當且僅當

其次,由(1)變形得

(x+y+z)2≥2yz(1+cosA)+2zx(1+cosB)+2xy(1+cosC)

并注意到在△ABC中有以下恒等式：

(2)

(3)

(4)

于是，有

由證明過程知，上式取等號當且僅當

即△ABC是正三角形．證畢．

2494ABCD對角線交于點O，線段OD上有點E，線段OA延長線上有點F，求證：BD·BE=AC·CF，A、B、C、E四點共圓，B、C、D、F四點共圓，這三個條件任意知道兩個，可得第三個.

(華中師范大學(xué)國家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心 彭翕成 430079 )

證明BD·BE=AC·CF等價于

①

A、B、C、E四點共圓等價于

②

B、C、D、F四點共圓等價于

③

易得①-②-③=0，于是一舉證明三個命題.

2495設(shè)n∈N*且ai>0(i=1,2,…,n)，

(安徽銅陵市第一中學(xué) 陳良驥 244000)

證明(1)當n=1，原式左=右=1.顯然成立.

(2)當n≥2時，先證明一個引理.

引理：設(shè)n∈N*，n≥2，xi>0(i=1,2,…,n)，且x1x2…xn=1.則有

引理證明：由均值不等式得

則有xi>0(i=1,2,…,n)，且x1x2…xn=1.

其中中間不等號利用了引理.

綜上所述，原不等式成立，當且僅當ai=a1(i=1,2,…，n)時取等號.

2019年8月號問題

(來稿請注明出處——編者)

(浙江省富陽二中 許康華 311400)

2497已知：如圖，在線段AB中垂線上取兩點C、D(不是AB中點)．直線AD與BC相交于點E，直線BD與AC相交于點F．過A作AE的垂線，過B作BC的垂線，這兩條垂線相交于點X．求證：∠CXF=∠DXE．

(重慶市長壽龍溪中學(xué) 吳 波 401249)

2498設(shè)△ABC三邊長,三個旁切圓半徑分別為

a,b,c,ra,rb,rc,則有

(天津水運高級技工學(xué)校 黃兆麟 300456)

2499如圖，O為△ABC內(nèi)一點，AO平分∠BAC．過點A的直線MN∥BC，射線BO分別交AC,MN于點P,M，射線CO分別交AB,MN于點Q,N．求證：AB=AC的充要條件是PM=QN．

(江蘇省興化市第一中學(xué) 張 俊 225700)

2500設(shè)n是正整數(shù)，且n≥3，證明：對正實數(shù)x1≤x2≤…≤xn，有不等式

≥x1+x2+…+xn.

(上海市七寶中學(xué) 李佳偉 201101)