張金良

(浙江省教育廳教研室 310012)

眾所周知，抽象無處不在，抽象無處不有，在人們?nèi)粘Ｉ钆c教學(xué)活動(dòng)中依據(jù)各自的理解被廣泛使用著，比如“這個(gè)內(nèi)容太抽象的”，“你用的方法太抽象了”，等等，但這里所說的抽象，僅僅是人們對(duì)抽象的一種通俗理解，把憑借生活經(jīng)驗(yàn)不易理解的東西歸結(jié)為抽象；但作為學(xué)術(shù)定義，它有一個(gè)明確的界定，“抽象”一詞最早來自拉丁語中的“abstracio”，表示排除、抽取的意思.《辭?！分袑ⅰ俺橄蟆倍x為：從許多事物中，舍棄個(gè)別的、非本質(zhì)的屬性，抽象出共同的、本質(zhì)屬性或特征的思維過程，由此可見抽象的過程是一個(gè)概括、分離和提取的過程.抽象是思維的基礎(chǔ)，是對(duì)同類事物的刻畫與構(gòu)造.而數(shù)學(xué)抽象又有怎樣的內(nèi)涵與特點(diǎn)？數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)又如何去培養(yǎng)呢？下面作深入的分析，供參考.

1 數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)涵及其相關(guān)概念

數(shù)學(xué)抽象是指舍棄事物的一切物理屬性，得到一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的思維過程.它主要從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系兩方面抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的聯(lián)系，從事物與事物之間的聯(lián)系、事物內(nèi)部要素之間的聯(lián)系中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言加以表征.通俗地講數(shù)學(xué)抽象是通過觀察、分析，撇開數(shù)學(xué)對(duì)象的外部的、偶然的、非數(shù)學(xué)的(物理的、化學(xué)的、社會(huì)的)東西，分析與提煉出其本質(zhì)、內(nèi)在、必然的東西，從空間形式和數(shù)量關(guān)系上揭示數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)和規(guī)律的一種數(shù)學(xué)研究方法．?dāng)?shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是通過對(duì)具體而生動(dòng)的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析與提煉，概括出一般結(jié)論，并應(yīng)用于解決新的問題之中來體現(xiàn).數(shù)學(xué)抽象反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)的核心，貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程.

從內(nèi)容上看，數(shù)學(xué)抽象包括數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系的抽象.其中數(shù)學(xué)概念的抽象是指通過抽象活動(dòng)形成數(shù)學(xué)概念；數(shù)學(xué)命題的抽象是指通過抽象建立數(shù)學(xué)概念的因果關(guān)系，形成命題和規(guī)則；數(shù)學(xué)方法的抽象是指通過對(duì)數(shù)學(xué)操作程序的抽象，形成數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想和解決問題的策略；數(shù)學(xué)體系的抽象是指通過對(duì)概念、命題、方法和思想的抽象，建立概念、命題(規(guī)則)之間的普遍聯(lián)系，形成數(shù)學(xué)體系.

數(shù)學(xué)抽象具有一些典型的特點(diǎn).鄭毓信在“數(shù)學(xué)抽象的基本準(zhǔn)則：模式建構(gòu)形式化原則”(《數(shù)學(xué)通報(bào)》，1990(11)：9-11)中認(rèn)為數(shù)學(xué)抽象具有理想化、精確化、模式化的特點(diǎn)，李昌官在《數(shù)學(xué)抽象及其教學(xué)》文中，指出數(shù)學(xué)抽象具有純粹性、精確性、理想化、模式化、形式化五個(gè)特點(diǎn).兩位學(xué)者已表述的很正確，本文吸收上述的觀點(diǎn)，用更具體的語言再說說其特點(diǎn)：數(shù)學(xué)抽象具有高度概括，結(jié)論更具有一般性，表達(dá)簡(jiǎn)約、精確、能用數(shù)量化、符號(hào)化、公式化和圖形化刻畫.

數(shù)學(xué)抽象的類型很多，根據(jù)抽象對(duì)象的不同，數(shù)學(xué)抽象可分為性質(zhì)抽象、關(guān)系抽象、等價(jià)抽象等.所謂性質(zhì)抽象是指關(guān)于研究對(duì)象某一方向的性質(zhì)或?qū)傩缘某橄?；所謂關(guān)系抽象是指關(guān)于研究對(duì)象的數(shù)量關(guān)系或空間位置關(guān)系的抽象，如直線與平面平行、平面與平面垂直是關(guān)系抽象的結(jié)果；等價(jià)抽象是按某種等價(jià)關(guān)系，抽取一類對(duì)象共同性質(zhì)特征的抽象.自然數(shù)概念是等價(jià)抽象的結(jié)果，其本質(zhì)是某類等價(jià)集合的標(biāo)記，即集合間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，它們是“對(duì)等”的．根據(jù)抽象方向的不同，數(shù)學(xué)抽象可分為同向與逆向思維的數(shù)學(xué)抽象，悖向思維的數(shù)學(xué)抽象與審美直覺的數(shù)學(xué)抽象.所謂同向思維的數(shù)學(xué)抽象，即延續(xù)已有的思維方向思考問題，它主要包括弱抽象和類比聯(lián)想等方法；其中的弱抽象，也叫做“擴(kuò)張式抽象”，是指對(duì)事物某一方面特征(或側(cè)面)加以概括，從而形成比原對(duì)象更為一般的概念或理論的一種抽象方式．如“正方體→長(zhǎng)方體→直平行六面體→直棱柱→斜棱柱”順序進(jìn)行的抽象就是弱抽象．弱抽象的特點(diǎn)是研究對(duì)象的外延不斷擴(kuò)大，內(nèi)涵不斷縮小，把結(jié)論推廣到更一般的情形；逆向思維的數(shù)學(xué)抽象.指與原思維方向反向地思考與探究問題，它主要包括強(qiáng)抽象、精確化與完備化的思維方法．其中的強(qiáng)抽象，也叫做“強(qiáng)化結(jié)構(gòu)式抽象”，是指通過擴(kuò)大研究對(duì)象的特征，從而形成比原對(duì)象更為特殊的概念或理論的一種抽象方式．如按“斜棱柱→直棱柱→直平行六面體→正四棱柱→正方體”順序進(jìn)行的抽象就是強(qiáng)抽象．強(qiáng)抽象的特點(diǎn)是研究對(duì)象的外延不斷縮小，內(nèi)涵不斷擴(kuò)大，更深刻地認(rèn)識(shí)事物某一方面的特征.悖向思維的數(shù)學(xué)抽象，即背離原來的認(rèn)識(shí)并在直接對(duì)立的層面上探索新的發(fā)展可能性，是立體型的抽象.

2 數(shù)學(xué)抽象的教育意義

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)發(fā)展最基本的手段與方式，也是理性思維的主要特征之一，它貫穿于數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的各個(gè)過程之中，在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展與應(yīng)用中起了不可替代的作用，使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級(jí)的體系.也正是數(shù)學(xué)抽象使人們獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系.

在數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的形成過程中，通過積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生能更好地理解數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)的方法和體系，能通過抽象、概括去認(rèn)識(shí)、理解、把握事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)，能逐漸養(yǎng)成一般性思考問題的習(xí)慣，能在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中主動(dòng)運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式解決問題.因此，通過數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)，學(xué)生可以很好地理解那些復(fù)雜的公式和定理，清楚這些公式和定理的來龍去脈，真正明白其中的含義，在更高的層面上理解數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)，更好地把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)屬性，養(yǎng)成從更一般意義和方法上思考問題的習(xí)慣，提升概括抽象能力，促進(jìn)理性思維的發(fā)展與提高.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生只有具備了良好的思維水平和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，才能透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，這對(duì)學(xué)生來說不僅僅是一個(gè)獲取知識(shí)的過程，也是一個(gè)探究發(fā)展的過程，對(duì)于學(xué)生的全面發(fā)展都有十分重要的作用和意義.

3 數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)途徑與方法

3.1 了解數(shù)學(xué)抽象的基本過程與方法

數(shù)學(xué)抽象的基本過程與方法前人已做過許多研究，其中徐利治認(rèn)為，數(shù)學(xué)研究中的抽象思維過程基本上經(jīng)歷四個(gè)階段：第一階段主要研究數(shù)學(xué)現(xiàn)象問題；第二階段主要是對(duì)各種具體數(shù)學(xué)屬性進(jìn)行分析，逐步去掉非本質(zhì)屬性；第三階段，對(duì)于已經(jīng)了解其結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)事實(shí)，確定其本質(zhì)屬性或特征；第四階段，對(duì)基本上被確定的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行不斷純化.按照抽象的程度不同，史寧中把數(shù)學(xué)抽象分為簡(jiǎn)約階段、符號(hào)階段、普適階段等三個(gè)階段，其中簡(jiǎn)約階段主要是把握事物在數(shù)量或圖形方面的本質(zhì)，把繁雜問題簡(jiǎn)單化、條理化，并清晰地表達(dá)；符號(hào)階段主要是去掉具體內(nèi)容，利用符號(hào)和關(guān)系術(shù)語，表述已經(jīng)簡(jiǎn)約化的事物；普適階段主要是通過假設(shè)和推理，建立法則、模式和模型，在一般意義上描述一類事物的特征或規(guī)律.

史寧中認(rèn)為，抽象有兩個(gè)層次，一個(gè)是直觀描述，另一個(gè)是符號(hào)表達(dá).他指出第一次抽象是有物理背景的，用自然語言表達(dá)的，這種抽象具體、直觀，容易創(chuàng)造，但是也容易有反例；第二次抽象的特點(diǎn)是符號(hào)化，符號(hào)化的特點(diǎn)是挑不出毛病，嚴(yán)謹(jǐn)，但是抽象，沒有物理背景.他建議老師在講課時(shí)也必須講第一次抽象，講具體的背景，不要遨游于一大堆抽象的符號(hào)之間，要有感性認(rèn)識(shí)，要建立起直觀來，有了直觀，才能判斷.站在數(shù)學(xué)教學(xué)視角，按通常情況下學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)認(rèn)知的先后順序，浙江李昌官把數(shù)學(xué)抽象分為感知與識(shí)別、分類與概括、想象與建構(gòu)、定義與表征、系統(tǒng)化與結(jié)構(gòu)化[1]等五個(gè)階段.事實(shí)上，數(shù)學(xué)抽象針對(duì)一個(gè)具體問題或?qū)ο螅紫纫罁?jù)某一要素屬性、進(jìn)行區(qū)分、提煉、概括，使問題或?qū)ο笞兊妹骼省⒑?jiǎn)約和理想化，其次用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表征，使問題或?qū)ο髷?shù)學(xué)化，同時(shí)進(jìn)行一般化，普適化，最后進(jìn)行應(yīng)用與系統(tǒng)化.最后，用邏輯方法建立概念之間的聯(lián)系，形成概念系統(tǒng).如概念體系，公理系統(tǒng)，新數(shù)學(xué)系統(tǒng).

了解數(shù)學(xué)抽象的基本過程與方法是引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)抽象的必要條件.在第一次抽象中教師要引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、類比、聯(lián)想和結(jié)構(gòu)分析，從中區(qū)分提煉出各種屬性，并能建構(gòu)出各種典型模型；在概括和普適化階段中要求教師引導(dǎo)學(xué)生把典型模型一般化，通過類比、歸納和聯(lián)想概括出一般化后的數(shù)學(xué)對(duì)象所具備的本質(zhì)的公共的屬性，并借助式子、圖表等進(jìn)行表示；在定義與符號(hào)化中，則重點(diǎn)要求表達(dá)準(zhǔn)確、簡(jiǎn)約；在系統(tǒng)化階段，則要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平進(jìn)行方向引領(lǐng).

3.2 以數(shù)學(xué)概念形成教學(xué)為抓手，讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象

章建躍在《樹立課程意識(shí)落實(shí)核心素養(yǎng)》中提到：“眾所周知，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重，而得出數(shù)學(xué)概念的過程是最典型的數(shù)學(xué)抽象的過程”.概念是思維的“細(xì)胞”，概念組成命題，命題形成判斷，數(shù)學(xué)方法和思想是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括.概念的形成過程是經(jīng)歷豐富的感性認(rèn)識(shí)到深刻的理性認(rèn)識(shí)的轉(zhuǎn)變.在轉(zhuǎn)變的過程中，需要經(jīng)過多層次的分析、比較、抽象和歸納等加工.因此，概念的形成正是高度抽象和概括的過程，對(duì)概念的理解過程正是對(duì)這種抽象概括內(nèi)容的剖析過程.在教學(xué)中，教師選取學(xué)生熟悉的典型實(shí)例，提供豐富材料，讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)完整的概念教學(xué)流程：辨別(刺激模式)→分化(各種屬性)→類化(共同屬性)→抽象(本質(zhì)屬性)→檢驗(yàn)(確認(rèn))→概括(形成概念)→形式化(符號(hào)表達(dá))，對(duì)比數(shù)學(xué)抽象的基本方法，熟悉數(shù)學(xué)抽象的“基本套路”，在概念形成的學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象.從辨別到概括可視為第一次抽象，表現(xiàn)為用自然語言表達(dá)的直觀描述；概括到形式化，完成符號(hào)表達(dá)為第二次抽象.比如在函數(shù)周期性教學(xué)時(shí)，首先可例舉生活中大量的周期現(xiàn)象，如春夏秋冬四季輪回、海水漲落的潮汐、彈簧振子運(yùn)動(dòng)、摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)有共同特征，經(jīng)過相同時(shí)刻所考察對(duì)象可重復(fù)出現(xiàn)，其次例舉數(shù)學(xué)中的周期變化，如“數(shù)列an=1+(-1)n的項(xiàng)”、“f(x)=x-[x]圖象”、“在直角坐標(biāo)系uOv中，角x的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與Ou軸正半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P(cosx，sinx)．當(dāng)角x的終邊繞原點(diǎn)從Ou軸的正半軸開始，按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)按照由1減少到-1，再由-1增大到1的規(guī)律連續(xù)地、周而復(fù)始地變化，縱坐標(biāo)也有類似的變化規(guī)律”等，同樣有一個(gè)共同特征，經(jīng)過相同時(shí)刻后考察對(duì)象可重復(fù)出現(xiàn)，將其特征抽象直觀描述函數(shù)經(jīng)過不同的自變量值，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)第一次抽象，有了這些經(jīng)驗(yàn)后，用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)語言及f(x+T)=f(x)加以表征實(shí)現(xiàn)第二次抽象.

3.3 鼓勵(lì)學(xué)生自主總結(jié)歸納，養(yǎng)成抽象概括的習(xí)慣

學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是從點(diǎn)點(diǎn)滴滴的細(xì)微處開始培養(yǎng)，是日積月累的潛移默化的過程.當(dāng)我們上完一節(jié)課或者學(xué)習(xí)完一個(gè)章節(jié)時(shí)，教師就可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié).可用列表的方式歸納本章節(jié)的基礎(chǔ)知識(shí)是什么，知識(shí)間的前后關(guān)聯(lián)是什么，解題的思想方法是什么，解題要令是什么，也可以用畫思維導(dǎo)圖的方式尋找本章節(jié)知識(shí)點(diǎn)與數(shù)學(xué)思想方法相互間的聯(lián)系.這種概括不但是對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)與鞏固，而且從中能鍛煉學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的提煉與概括能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).例如學(xué)習(xí)完圓錐曲線可引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)圓錐曲線是一門用代數(shù)方法研究圓錐曲線幾何性質(zhì)的一門學(xué)科，常見的較難題是求軌跡方程及與圓錐曲線有關(guān)的綜合計(jì)算問題、范圍問題、最大值最小值問題、是否存在問題、定點(diǎn)定值定向問題、對(duì)稱問題、求證問題，解題常用方法有定義法、弦長(zhǎng)韋達(dá)定理聯(lián)用法、設(shè)而不求整體處理法、設(shè)參用參消參法、平面幾何法等,事實(shí)上根據(jù)題型的通法解決問題是從一般到特殊的強(qiáng)抽象.因此，復(fù)習(xí)課、方法總結(jié)課是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的一類重要課型.

3.4 學(xué)會(huì)聯(lián)想、推廣、變式、類比等方法，掌握數(shù)學(xué)抽象的必要方法

教師在教授立體幾何時(shí)可讓學(xué)生類比平面幾何的性質(zhì)，教授等比數(shù)列時(shí)可類比等差數(shù)列，雙曲線可類比橢圓，計(jì)數(shù)原理中分類和分步的類比等等，這不僅能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能給學(xué)生提供鍛煉數(shù)學(xué)抽象概括能力的機(jī)會(huì).例如在學(xué)習(xí)扇形面積、球體體積時(shí)，用類比思想讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到圓面積公式與三角形面積公式，球體體積公式與錐體體積本質(zhì)上都是分別相同的.事實(shí)上，借助極限思想，將圓周n等分，當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，每一等分可看成一個(gè)小三角形，這些三角形面積的和的極限就是圓的面積，由此可見，圓面積公式與三角形面積公式結(jié)構(gòu)相同，抽象地看圓面積公式與三角形面積公式是一致的，是三角形面積公式的推廣，同理球體體積公式可抽象成錐體體積的推廣.

在教學(xué)過程中，教師可以通過一題多解，一題多變，多題一解，引導(dǎo)學(xué)生從不同思路、不同的視角認(rèn)識(shí)問題，將同一問題抽象為不同的數(shù)學(xué)模型或經(jīng)過多題一解抽象出一個(gè)模型，從中培養(yǎng)學(xué)生的歸納和概括的能力.例如函數(shù)教學(xué)時(shí)，可給出如下一組問題，引導(dǎo)學(xué)生概括.

(4)(2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽吉林初賽)方程2(x-1)sinπx+1=0在區(qū)間[-2,4]內(nèi)所有解之和等于；

這樣的題不勝枚舉，但通過抽象概括，有一個(gè)共同規(guī)律是合理配對(duì)，對(duì)稱求和.

開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自身所處的生活環(huán)境，選擇諸如池塘里浮萍增長(zhǎng)問題、汽車與油耗問題、打球受傷吃藥殘留量問題、酒后何時(shí)可駕車問題、潮汐現(xiàn)象與輪船進(jìn)港問題、摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)等有意義的實(shí)際問題進(jìn)行加工提煉，抽象成數(shù)學(xué)模型，體驗(yàn)實(shí)際問題數(shù)學(xué)化過程，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的意識(shí)和能力.

4 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的一個(gè)教學(xué)案例

案例摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑游樂設(shè)施,游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉(zhuǎn)時(shí)，可以從高處俯瞰四周景色.假定摩天輪的每一個(gè)座艙都在做同一勻速圓周運(yùn)動(dòng)．你能用一個(gè)合適的函數(shù)模型來刻畫座艙(視為質(zhì)點(diǎn))距離地面的相對(duì)高度與時(shí)間的關(guān)系嗎？

分析這是一個(gè)生活實(shí)例，首先將摩天輪抽象成一個(gè)幾何圖形，把這個(gè)生活實(shí)例變成一個(gè)數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)語言抽述，實(shí)現(xiàn)第一次抽象，完成數(shù)學(xué)抽象的簡(jiǎn)約階段.假設(shè)摩天輪的中心離地面的高度為h0，半徑為r，座艙按逆時(shí)針方向以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，座艙的初始位置P0處出發(fā)，某游客從圖中P0經(jīng)過時(shí)間ts時(shí)后到達(dá)P點(diǎn)，試求該游客離開地面的高度？

其次，探索上述各參數(shù)間相互關(guān)系，建立座艙P(yáng)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)語言表征，實(shí)現(xiàn)二次抽象，完成數(shù)學(xué)抽象的符號(hào)階段.

如圖1，以O(shè)為原點(diǎn)，以與地面AB平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．設(shè)t=0時(shí)，座艙M位于點(diǎn)P0，以O(shè)P0為終邊的角為φ，經(jīng)過ts后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P(x，y)．于是，以O(shè)P為終邊的角為ωt+φ，并且有y=rsin(ωt+φ)．所以，座艙M距離地面的高度H與時(shí)間t的關(guān)系是H=rsin(ωt+φ)+h0．

再次，應(yīng)用模型解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題，進(jìn)入數(shù)學(xué)抽象的普適階段.

應(yīng)用1如圖2，設(shè)摩天輪的半徑為1(單位長(zhǎng)度)，摩天輪按逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為1rad/min(每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)1弧度).假如你在摩天輪上的P點(diǎn)位置，若P點(diǎn)從圖中P1點(diǎn)處開始計(jì)算時(shí)間．在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，請(qǐng)問大家能否計(jì)算出在確定時(shí)間tmin時(shí)，你相對(duì)摩天輪中心的高度h(單位長(zhǎng)度)．

圖1

圖2

應(yīng)用2某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120 m，轉(zhuǎn)盤直徑為110 m，設(shè)置有48個(gè)座艙，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30 min．

(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)tmin后距離地面的高度為Hm，求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，H關(guān)于t的函數(shù)解析式；

(2)求游客甲在開始轉(zhuǎn)動(dòng)5 min后距離地面的高度；

(3)若甲、乙兩人分別坐在兩個(gè)相鄰的座艙里，在運(yùn)行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h(單位：m)關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值(精確到0.1)．

0≤t≤30；

(2)游客甲距離地面的高度

(3)甲、乙兩人距離地面的高度差