林新建

(福建省漳州第一中學(xué) 363000；閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 363000)

無(wú)論進(jìn)行怎樣的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)直觀”是非常重要的.本文從一道試題解法的探析入手，就其自然性的啟示闡述“數(shù)學(xué)直觀”在發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)上的意義和途徑.

1 “自然”的啟示

例1(2010年高考全國(guó)卷理科21題)

設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.

(Ⅰ)若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0，求a的取值范圍.

解析本題是2010年課標(biāo)全國(guó)卷理科壓軸題，試題的第(Ⅱ)問(wèn)難住了眾多師生，而高考標(biāo)準(zhǔn)答案同樣也讓他們費(fèi)解——這樣的解答是如何想到的呢？

這樣的解答深?yuàn)W難懂，解法極不自然，就是我們老師都看不懂，我們又該如何去跟學(xué)生講應(yīng)該這樣解呢？

有沒(méi)有較為自然簡(jiǎn)潔的解法呢？若有，怎么想到的呢？

注意到這是函數(shù)問(wèn)題，我們不妨從“直觀上”加以理解.

首先，“當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0”，直觀意義即“f(x)在(0,+∞)上的圖象位于x軸的上方”.

由于f(x)=ex-1-x-ax2，f(0)=0，f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，所以直觀f(x)的圖象在x=0右側(cè)附近必須遞增，從而f′(x)≥0對(duì)x=0右側(cè)附近成立.

其次，因?yàn)閒'(x)=ex-1-2ax，f′(0)=0，f′(x)的圖象也過(guò)原點(diǎn)，所以直觀f′(x)的圖象在x=0右側(cè)附近必須遞增，從而f″(x)≥0對(duì)x=0右側(cè)附近成立.

有了這個(gè)結(jié)果就好辦了！接下來(lái)我們只要證明：

一道難題，由于對(duì)“直觀意義”的挖掘，我們將解答進(jìn)行得如此輕松！

2 直觀的意義：抽象推理建模的思維基礎(chǔ)

回顧以上探究歷程，我們不難明白問(wèn)題得以解決的關(guān)鍵所在——對(duì)題目意思所作的“直觀理解”與最終結(jié)果的“直觀預(yù)測(cè)”.

通常在理解題目階段，需要對(duì)題目中的隱含條件和信息進(jìn)行發(fā)掘，將抽象變具體，將隱含變清晰.而如何將“抽象變具體，將隱含變清晰”，這需要“數(shù)學(xué)直觀”地“從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”，在這個(gè)過(guò)程中，“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”得到了培養(yǎng)和發(fā)展.

如何引領(lǐng)學(xué)生思考“按照怎樣的線索、用什么方法去研究問(wèn)題、解決問(wèn)題”，

這需要“數(shù)學(xué)直觀”地去“歸納、類比、聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)”.在這個(gè)過(guò)程中，“邏輯推理素養(yǎng)”得到了培養(yǎng)和發(fā)展.

如何引領(lǐng)學(xué)生思考“面對(duì)一個(gè)新的研究對(duì)象，從哪些角度發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的問(wèn)題？”這需要“數(shù)學(xué)直觀”地去“發(fā)現(xiàn)模型、構(gòu)建模型”.在這個(gè)過(guò)程中，“數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)”得到了培養(yǎng)和發(fā)展.

例2(2012年高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科21題)

(Ⅰ)求f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間；

解析第(Ⅰ)問(wèn)簡(jiǎn)單，難在第(Ⅱ)問(wèn).

現(xiàn)在的問(wèn)題是，如何由ex≥(a+1)x+b，求(a+1)b的最大值呢？

這是難點(diǎn)，似乎無(wú)從下手，還得從“直觀上”加以理解.

首先，直觀函數(shù)y=ex與y=(a+1)x+b的圖象，要使上式恒成立，必須a+1>0，從而知要使(a+1)b最大，必須b>0.

這是“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出規(guī)律和結(jié)構(gòu)”的“數(shù)學(xué)抽象”過(guò)程，所依賴的是“數(shù)學(xué)直觀——直觀理解”.

其次，直觀要使得ex≥(a+1)x+b恒成立，函數(shù)y=ex與y=(a+1)x+b的圖

象必須相切.

這是“從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題”的“邏輯推理”過(guò)程，所依賴的是“數(shù)學(xué)直觀——直觀判斷”.

至此，只要設(shè)出切點(diǎn)(x0,y0)，利用相切條件得出a、b、x0之間的關(guān)系，進(jìn)而得到(a+1)b關(guān)于a、b或x0的目標(biāo)函數(shù)，問(wèn)題不難獲解.

這是“用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型(函數(shù)模型)解決問(wèn)題”的“數(shù)學(xué)建模”過(guò)程，所依賴的是“數(shù)學(xué)直觀——直觀預(yù)測(cè)”.

從以上的求解過(guò)程中，我們不難明白，正是緣于“直觀理解”，我們對(duì)題目中的隱含條件和信息進(jìn)行抽象，將抽象變具體，將隱含變清晰，同時(shí)借助“直觀判斷”對(duì)問(wèn)題進(jìn)行“邏輯推理”，借助“直觀預(yù)測(cè)”進(jìn)行“數(shù)學(xué)建?！?在這個(gè)“直觀理解、直觀判斷、直觀預(yù)測(cè)”的“數(shù)學(xué)直觀”過(guò)程中，“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建?！钡葦?shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到了培養(yǎng)和發(fā)展.

“數(shù)學(xué)直觀”是我們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的前提，是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的思維基礎(chǔ).

3 直觀的途徑：直觀引來(lái)“簡(jiǎn)潔美”

眾所周知，“具體”中蘊(yùn)含的信息具有豐富性、多樣性，觀察也可以有不同角度，因而從同一事例中可發(fā)現(xiàn)不同規(guī)律；同時(shí)，表面的東西大家都能看到，“藏在”背后的才有“含金量”.

所以，面對(duì)具體事例，關(guān)鍵是“你怎么看”？這是看問(wèn)題的角度、高度以及切入點(diǎn)，需要知識(shí)的支撐，還需要?dú)v練.

學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)“不是做不到，而是想不到”的尷尬，主要是他們的閱歷還不足以使自己“想得到”.

教學(xué)中教師要在“你怎么看”上下功夫，即在如何“直觀”上下功夫，引領(lǐng)學(xué)生直觀問(wèn)題的本質(zhì)，感知問(wèn)題特征，努力使他們“想得到”，將問(wèn)題解答得簡(jiǎn)潔完美.

3.1 直觀圖形內(nèi)隱特征

很多題目與圖形密切相關(guān)，但圖形的特征是內(nèi)隱的，不容易被發(fā)現(xiàn).若能將其特征予以直觀，可以獲得簡(jiǎn)單巧妙的解法.

例3(2013年高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科16題)

若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，則f(x)的最大值是.

解析本題按常規(guī)方法求解較為繁瑣，運(yùn)算量也不小，若能直觀函數(shù)的圖形內(nèi)隱特征，則可輕松將問(wèn)題解決，且?guī)缀鯖](méi)有計(jì)算量.

首先，直觀函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)-1和1，又因?yàn)楹瘮?shù)圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，所以感知f(x)還有兩個(gè)零點(diǎn)-3和-5，從而得f(x)=-(x-1)(x+1)(x+3)(x+5).

其次，直觀若將f(x)的圖像向右平移兩個(gè)單位，其最大值不會(huì)改變，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(x)=-(x-3)(x-1)(x+1)(x+3)的最大值.

易知g(x)=-(x2-9)(x2-1)=-(x2-5)2+16，其最大值為16，這多簡(jiǎn)潔！

評(píng)析由于“直觀”，我們“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出函數(shù)具有4個(gè)零點(diǎn)”，同時(shí)從條件出發(fā)，“依據(jù)邏輯推出若將f(x)的圖像向右平移兩個(gè)單位，其最大值不會(huì)改變”這一命題.在這個(gè)過(guò)程中，“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理”等核心素養(yǎng)得到了發(fā)展.

3.2 直觀變量變化規(guī)律

變量的變化必然有其規(guī)律，只有直觀變化規(guī)律，方能便于我們感知，進(jìn)而依據(jù)變化規(guī)律將其輕松求解.

例4(2014高考課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ第8題)

解析本題按常規(guī)方法求解較為繁瑣，也需要耗費(fèi)一定的時(shí)間，若能直觀變量α、β的變化規(guī)律，問(wèn)題瞬間可解.

評(píng)析由于“直觀”，我們“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系中抽象出α與β的關(guān)系及β的變化規(guī)律”，同時(shí)“依據(jù)邏輯進(jìn)行推理”.在這個(gè)過(guò)程中，“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理”等核心素養(yǎng)得到了發(fā)展.

3.3 直觀點(diǎn)線運(yùn)動(dòng)軌跡

點(diǎn)線運(yùn)動(dòng)有軌跡，只有直觀軌跡特征，方能便于感知，進(jìn)而依據(jù)軌跡特征將問(wèn)題輕松求解.

例5(2009年高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科第10題)

A．a(chǎn)2+b2≤1 B．a(chǎn)2+b2≥1

解析本題按常規(guī)方法求解似乎無(wú)從下手，若能直觀動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，問(wèn)題可輕松獲解.

評(píng)析由于“直觀”，我們“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一般規(guī)律”，并“依據(jù)邏輯規(guī)則進(jìn)行推理”，將問(wèn)題的求解進(jìn)行得輕松自在.在這個(gè)過(guò)程中，“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理”核心素養(yǎng)得到了發(fā)展.

3.4 直觀模型結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

直觀模型結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，進(jìn)而借助模型求解問(wèn)題，可將問(wèn)題輕松予以解決.

由于“直觀”，我們“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系中抽象出一般的模型和結(jié)構(gòu)”，并“用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決了問(wèn)題”.這是一個(gè)抽象、建模、推理的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，“數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理”等核心素養(yǎng)得到了發(fā)展.

例6(2011年高考大綱全國(guó)卷第12題)

解析本題按常規(guī)方法求解異常繁瑣，若能直觀其模型結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，問(wèn)題輕松可解.

也是由于“直觀”，我們“從數(shù)量與數(shù)量的關(guān)系中抽象出一般的模型和結(jié)構(gòu)”，并“用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決了問(wèn)題”，在這個(gè)“抽象、建模、推理”的過(guò)程中，“數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理”等核心素養(yǎng)得到了發(fā)展.

3.5 直觀思想立意要領(lǐng)

對(duì)于解題，絕大部分學(xué)生不是不會(huì)方法，而是由于沒(méi)有站在思想的高度來(lái)思考和引領(lǐng)方法，或者是因?yàn)樗枷氩幻鞔_而想不起來(lái)用什么方法來(lái)處理問(wèn)題.因此，指導(dǎo)學(xué)生直觀思想立意要領(lǐng)，運(yùn)用思想引領(lǐng)方法就顯得尤為重要了！

例7(2010年高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科11題)

若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，則abc的取值范圍是( )

A．(1,10) B．(5，6)

C．(10,12) D．(20,24)

由于“直觀”，我們“從數(shù)量與數(shù)量的關(guān)系中抽象出一般規(guī)律——問(wèn)題的一般性”，再立意于“特殊與一般思想”對(duì)問(wèn)題“從特殊到一般、一般到特殊”地推理，在這個(gè)過(guò)程中，“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理”等核心素養(yǎng)得到了發(fā)展.

例8(2011年高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科16題)

解析本題是三角形求解問(wèn)題，解決問(wèn)題的通法是“知三求三”，但是直觀題目只給出一邊一角，顯然條件少了.

直觀這是最值求解問(wèn)題，需要引入變量，構(gòu)造出待求最值關(guān)于這個(gè)變量的函數(shù)，為此不妨設(shè)∠A=θ，則∠C=120°-θ，由正弦定理得：

從而AB+2BC=2sin(120°-θ)+4sinθ

由于“直觀”，我們“從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題(最值求解問(wèn)題)，并提出問(wèn)題、分析問(wèn)題，構(gòu)建模型(函數(shù)模型)”，再“依據(jù)邏輯規(guī)則進(jìn)行推理”， 這是一個(gè)抽象、建模、推理的過(guò)程.在這個(gè)過(guò)程中，“數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理”等核心素養(yǎng)得到了發(fā)展.

4 結(jié)語(yǔ)：“直觀”恒久，素養(yǎng)終成

經(jīng)驗(yàn)之中有規(guī)律，是我們認(rèn)識(shí)問(wèn)題的一般過(guò)程和方法，也闡明了一個(gè)簡(jiǎn)單但很深刻的教學(xué)原理：經(jīng)驗(yàn)是具體的，規(guī)律則是抽象的.規(guī)律不是從天而降的，而是從具體經(jīng)驗(yàn)中經(jīng)過(guò)不斷歸納、概括才能得到的.

如何才能培養(yǎng)學(xué)生“從經(jīng)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律”的能力呢？

首先，要培養(yǎng)學(xué)生從“從一般規(guī)律的高度考察具體事例”的意識(shí)，逐步養(yǎng)成“透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)”的習(xí)慣.這是觀念問(wèn)題，是思維習(xí)慣問(wèn)題，也是思想方法問(wèn)題，需要一個(gè)長(zhǎng)期的、潛移默化的過(guò)程，需要有意識(shí)地培養(yǎng).

其次，要讓學(xué)生掌握觀察事例、從經(jīng)驗(yàn)中歸納規(guī)律、把具體事例中得到的東西概括到全體中去的基本方法，使他們逐步學(xué)會(huì)歸納、學(xué)會(huì)抽象、學(xué)會(huì)概括，進(jìn)而形成“從經(jīng)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律”的能力.

簡(jiǎn)言之，就是培養(yǎng)學(xué)生“直觀”的習(xí)慣與“感知”的能力！

“直觀”是一個(gè)人長(zhǎng)期進(jìn)行數(shù)學(xué)思維形成的，是逐漸養(yǎng)成的一種思維習(xí)慣，這個(gè)習(xí)慣日積月累就形成了數(shù)學(xué)素養(yǎng).