張玲玲

(常熟市梅李高級(jí)中學(xué) 215500)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《課標(biāo)》)指出：“數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).”數(shù)學(xué)建模具有重要價(jià)值，它“是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本手段，也是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力.”雖然在過去的教學(xué)中，一些教師也關(guān)注到數(shù)學(xué)建模，但多數(shù)教師僅僅限于專題講座或者對于特殊的教學(xué)內(nèi)容在教學(xué)過程中加以體現(xiàn)，并沒有把數(shù)學(xué)建模作為高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)貫穿在日常的教學(xué)過程中.那么，如何結(jié)合具體內(nèi)容的教學(xué)，以具體知識(shí)為載體，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過程，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的方法，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，進(jìn)而養(yǎng)成用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界的思維習(xí)慣，這是值得深入研究的問題，也是教學(xué)觀念的重大轉(zhuǎn)變.本文結(jié)合“指數(shù)函數(shù)”的三次教學(xué)設(shè)計(jì)過程，對此作以探索.

1 關(guān)注載體，為獲得知識(shí)而建模

指數(shù)函數(shù)是學(xué)生在學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)后，學(xué)習(xí)的一個(gè)新的函數(shù)模型，也是運(yùn)用研究函數(shù)的方法研究函數(shù)的一次實(shí)踐．通過指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以進(jìn)一步深化對函數(shù)概念的理解，為研究對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等其他初等函數(shù)打下基礎(chǔ).因此，指數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)、運(yùn)用等基礎(chǔ)知識(shí)非常重要，這些知識(shí)既是進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)，也是學(xué)生經(jīng)歷一次建立數(shù)學(xué)模型過程的有效載體.在第一次教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，我們首先要梳理清楚指數(shù)函數(shù)的知識(shí)體系.

在教學(xué)過程中，為了幫助學(xué)生建立起比較完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)，本節(jié)課就要解決如下問題：

問題1什么是指數(shù)函數(shù)？

問題2怎樣畫出指數(shù)函數(shù)的圖象？

問題3指數(shù)函數(shù)有哪些性質(zhì)？

問題4如何比較下列各組數(shù)的大??？(1)1.52.5,1.53.2;(2)0.51.2,0.5-1.5.

問題5本節(jié)課你學(xué)到了哪些指數(shù)函數(shù)的知識(shí)？

這些問題的解決，可以使學(xué)生獲得指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，形成指數(shù)函數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，為學(xué)生后繼學(xué)習(xí)與思考奠定基礎(chǔ).當(dāng)然，知識(shí)、技能不是課堂教學(xué)的最終目標(biāo)，而應(yīng)是一種有效載體，讓學(xué)生在知識(shí)、技能獲得過程中，獲得建立指數(shù)模型的方法，感悟用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界的觀念，以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的更大價(jià)值.目前一些教學(xué)設(shè)計(jì)，特別是一些“活動(dòng)單”“導(dǎo)學(xué)案”“學(xué)案”的設(shè)計(jì)，都僅僅停留在知識(shí)、技能的獲得層面，無論課堂教學(xué)過程中是否采取“探究”“合作”“交流”活動(dòng)，實(shí)際上學(xué)生得到的只是“是什么”，快速到達(dá)“目的地”.這樣的教學(xué)，貌似提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，其實(shí)對提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)是不利的.

2 關(guān)注過程，為獲得方法而建模

《課標(biāo)》指出，數(shù)學(xué)建模的過程主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、改進(jìn)模型、解決問題等.數(shù)學(xué)建模不僅僅是最后的數(shù)學(xué)模型，更為主要的是借助于日常的數(shù)學(xué)活動(dòng)，以具體的教學(xué)內(nèi)容為載體，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過程，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)建模的基本方法.指數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)典型的數(shù)學(xué)模型，借助于指數(shù)函數(shù)模型的建立過程，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)建模的基本方法，是指數(shù)函數(shù)的重要教學(xué)目標(biāo)之一.在第二次教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，我們認(rèn)真梳理指數(shù)函數(shù)的生成過程與學(xué)生的思維過程.

問題1某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年，這種物質(zhì)剩余的質(zhì)量是原來的84%．如果經(jīng)過x年，該物質(zhì)剩余的質(zhì)量為y，x與y之間具有怎樣的關(guān)系？

你有什么發(fā)現(xiàn)？

問題3結(jié)合以前研究函數(shù)的方法，我們怎樣研究指數(shù)函數(shù)?

問題4指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以解決哪些問題？

這些問題的解決，讓學(xué)生從實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，先建立特殊的指數(shù)函數(shù)模型，進(jìn)而得到一般的指數(shù)函數(shù)模型，并對其中的參數(shù)進(jìn)行討論，畫出圖象，探究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而用這些性質(zhì)去解決一些簡單的問題.在建立與研究指數(shù)函數(shù)模型的過程中，學(xué)生體會(huì)并獲得建立數(shù)學(xué)模型的基本方法.同時(shí)，也獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí).這里的過程，既是數(shù)學(xué)建模的過程，也是學(xué)生思維的過程，只有讓學(xué)生經(jīng)歷這樣的過程，才能獲得一般的研究方法，進(jìn)而形成思考一類問題的思維習(xí)慣，學(xué)生不僅獲得“是什么”，同時(shí)獲得“怎么做”.

3 關(guān)注理念，為表達(dá)世界而建模

為了實(shí)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)的教育價(jià)值，使指數(shù)函數(shù)成為學(xué)生研究函數(shù)一般方法與過程的典型案例、成為學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過程的有效載體，讓學(xué)生在指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中體驗(yàn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界、感悟數(shù)學(xué)與自然的緊密聯(lián)系.在第三次教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，我們重新思考，堅(jiān)持培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的理念，對本節(jié)課的明線(知識(shí))、暗線(過程與方法)進(jìn)行重新梳理，有機(jī)融合.

在教學(xué)過程中，要幫助學(xué)生養(yǎng)成“為表達(dá)世界而建?！钡乃季S習(xí)慣，讓學(xué)生在獲得指數(shù)函數(shù)的知識(shí)過程中，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的方法，本節(jié)課最終教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

(1)創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

情境2某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年，這種物質(zhì)剩余的質(zhì)量是原來的84%．如果經(jīng)過x年，該物質(zhì)剩余的質(zhì)量為y，x與y之間具有怎樣的關(guān)系？

情境3《莊子·天下篇》中有一句話，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”．如果經(jīng)過x天，該木棰剩余的長度為y，x與y之間具有怎樣的關(guān)系？

問題1你能寫出這幾個(gè)問題的函數(shù)模型嗎？

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生建立具體的指數(shù)函數(shù)模型，感受指數(shù)函數(shù)與自然世界的聯(lián)系．讓學(xué)生感受到這些模型與初中已經(jīng)掌握的一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)是不一樣的，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問題，提出問題.

(2)建立模型，獲得概念

問題2通過這幾個(gè)函數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生從具體實(shí)例中概括典型特征，從“特殊”到“一般”進(jìn)行抽象，建立指數(shù)函數(shù)模型，并嘗試自己給出指數(shù)函數(shù)的定義. 讓學(xué)生在建立指數(shù)函數(shù)模型過程中，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，再用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

數(shù)據(jù)挖掘系統(tǒng)構(gòu)架按不同層次劃分為4部分：云計(jì)算平臺(tái)、數(shù)據(jù)準(zhǔn)備、數(shù)據(jù)挖掘算法和數(shù)據(jù)分析(圖3).云計(jì)算作為整個(gè)系統(tǒng)架構(gòu)的底層計(jì)算平臺(tái)，借助云計(jì)算的處理能力，完成數(shù)據(jù)的清洗、集成、選擇和加載等準(zhǔn)備過程.為了支持?jǐn)?shù)據(jù)挖掘算法中的分析型查詢操作，同時(shí)還需為數(shù)據(jù)建立索引.借助于這些方法便可實(shí)現(xiàn)面向大數(shù)據(jù)的各種應(yīng)用，如時(shí)空模式發(fā)現(xiàn)、可視化分析等.

(3)研究模型，感悟方法

問題3怎樣研究指數(shù)函數(shù)呢？

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生回顧初中研究一次函數(shù)，二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的研究內(nèi)容和方法，從兩個(gè)角度思考：

(i)從指數(shù)模型的解析式出發(fā)，從“數(shù)”的角度去研究這個(gè)模型.

對于一般的數(shù)學(xué)模型，怎樣選擇“突破口”？在探究學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生可以通過選擇一些“特殊”的數(shù)進(jìn)行探究，也可以對“式”進(jìn)行邏輯分析，推理出一些結(jié)論. 例如：對于y=2x，可以對自變量x賦值，觀察與之對應(yīng)的y是如何變化的；也可以令其中的x為-x，觀察對應(yīng)得到的y的變化情況.

(ii)從指數(shù)函數(shù)的圖象出發(fā)，從“形”的角度去研究這個(gè)模型.

如何畫出指數(shù)函數(shù)的圖象？先回顧初中時(shí)掌握的“描點(diǎn)法”的作圖步驟：列表，描點(diǎn)，連線；然后結(jié)合這些步驟，給學(xué)生布置任務(wù)：選取數(shù)據(jù)，畫出圖象，觀察特點(diǎn)，歸納性質(zhì).

問題4指數(shù)函數(shù)具有哪些性質(zhì)？

設(shè)計(jì)意圖在探究性質(zhì)這個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生小組合作，無論是從“數(shù)”的角度、還是從“形”的角度出發(fā)，都要注意“代表性”、“邏輯性”. 例如，在同一個(gè)坐標(biāo)系中多作幾個(gè)函數(shù)圖象，進(jìn)而“讀”出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，再嘗試進(jìn)行簡單的證明或者說明.

通過探究活動(dòng)，使學(xué)生對指數(shù)函數(shù)的研究過程與方法有了深刻的認(rèn)識(shí)．學(xué)生可以從“數(shù)”的角度去“讀”，是對符號(hào)語言的理解，學(xué)生也可以從“形”的角度去“讀”，觀察圖象，是對圖形語言的理解，為以后研究函數(shù)模型乃至數(shù)學(xué)模型奠定方法基礎(chǔ)．

引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從“特殊”→“一般”→“特殊”的認(rèn)知過程，從合作交流、共同探討中的氛圍中，認(rèn)識(shí)指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，同時(shí)了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景和研究函數(shù)的基本方法；體會(huì)分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，增強(qiáng)學(xué)生識(shí)圖用圖的的能力.

(4)運(yùn)用模型，解決問題

問題5怎樣比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大??？

(1)1.52.5,1.53.2;(2)0.51.2,0.5-1.5;(3)1.50.3,0.81.2.

設(shè)計(jì)意圖通過指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的簡單應(yīng)用，體會(huì)構(gòu)造函數(shù)的思想(同底和不同底的兩種類型)，再運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決問題，也包含了指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的逆用.

(5)回顧反思，提升素養(yǎng)

問題6我們是怎樣研究指數(shù)函數(shù)的？

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生回顧指數(shù)函數(shù)的研究過程：提出問題、建立模型、研究模型、運(yùn)用模型.

進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生回顧每個(gè)環(huán)節(jié)：怎樣在具體情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題？建立數(shù)學(xué)模型的一般過程與方法是什么？怎樣研究數(shù)學(xué)模型？怎樣運(yùn)用函數(shù)模型解決問題？

進(jìn)而讓學(xué)生感悟：研究指數(shù)函數(shù)的基本過程與方法，也是研究函數(shù)的一般過程與方法，為以后研究新的函數(shù)奠定基礎(chǔ)．

本節(jié)課力圖實(shí)現(xiàn)“為表達(dá)世界而建模”的理念. 首先是精心設(shè)計(jì)問題情境，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)是從自然世界中來，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型研究，再回到自然世界中去. 這樣，既有助于增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，又有助于增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐意識(shí). 概而言之，建模意識(shí)和能力是在有價(jià)值的問題情境及數(shù)學(xué)應(yīng)用情境中得到激發(fā)和培育的. 其次是注重?cái)?shù)學(xué)建模過程，重視培養(yǎng)學(xué)生能從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型的能力，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界. 本節(jié)課的目的就是要呈現(xiàn)給學(xué)生一個(gè)比較完整的研究指數(shù)函數(shù)的過程，為以后其他基本初等函數(shù)的學(xué)習(xí)樹立標(biāo)桿. 換言之，在教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念和原理獲得過程的價(jià)值，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過運(yùn)用它去機(jī)械解題的能力. 知其然，還要知其所以然，過程往往比結(jié)果更重要. 第三是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣. 數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)的抽象，用數(shù)學(xué)的思維分析，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng). 數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式. 數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本手段，也是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力. 養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)建模的思維習(xí)慣，有助于學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和發(fā)展，也是培養(yǎng)創(chuàng)新性人才的必備素養(yǎng). 不僅要獲得指數(shù)函數(shù)“是什么”，而且以“是什么”作為載體，通過探究“是什么”的“怎么做”的過程，知道“為什么”.