王雅琪 于偉東 汪燕銘

(1.北京教育考試院 100083；2. 北京交通大學(xué)附屬中學(xué) 100081；3. 北京師大二附中 100088)

“數(shù)學(xué)文化”一詞，是由美國數(shù)學(xué)家懷爾德(R.L.Wilder)于1981年在他的代表作《作為一種文化體系的數(shù)學(xué)》(Mathematics as a Culture System)中提出的，他從數(shù)學(xué)人類學(xué)的角度提出了“數(shù)學(xué) —— 一種文化體系”的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀．這一觀點(diǎn)，為研究數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來了一個(gè)新的視角．同時(shí)，也為數(shù)學(xué)教育的研究帶來了很大影響．

越來越多的學(xué)者開始關(guān)注對“數(shù)學(xué)文化”的研究，并從定義及其內(nèi)涵，發(fā)展的歷史，在數(shù)學(xué)教育中的重要作用等若干方面提出了自己的研究見解．然而，迄今為止在學(xué)術(shù)界并沒有一個(gè)對“數(shù)學(xué)文化”的統(tǒng)一定義．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下文中簡稱《課標(biāo)(2017版)》)中借鑒了諸多學(xué)者的觀點(diǎn)，指出: “數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)．”[1]關(guān)于“課程的性質(zhì)與基本理念”，《課標(biāo)(2017版)》明確提出要在高中數(shù)學(xué)課程中“注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系”，并在“高考命題建議的命題原則”章節(jié)中，強(qiáng)調(diào)了考查內(nèi)容要“融入數(shù)學(xué)文化”．

“數(shù)學(xué)文化中體現(xiàn)出來的人文價(jià)值和科學(xué)價(jià)值，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教育中扮演著重要角色，也是高考試題的重要考查內(nèi)容．”[2]基于對 “數(shù)學(xué)文化是在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中與理性思維有關(guān)的精神活動(dòng)及其產(chǎn)品”的認(rèn)識(shí)，高考數(shù)學(xué)北京卷一直進(jìn)行著有益的命題探索與實(shí)踐工作．積極努力地探索如何將“數(shù)學(xué)文化”的考查要素落實(shí)于試題中，落實(shí)于體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)里．在命題設(shè)計(jì)中，致力于將數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)有機(jī)結(jié)合，通過編制的試題，引導(dǎo)學(xué)生“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界．”

高考數(shù)學(xué)北京卷力爭把數(shù)學(xué)文化中的理性精神和勇于克服困難的科學(xué)態(tài)度考出來，把數(shù)學(xué)文化中嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治鰡栴}解決問題的思維方法考出來．在素材選取上既關(guān)注中國古代數(shù)學(xué)，提煉文化精髓，弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，也兼顧近現(xiàn)代中外數(shù)學(xué)文化的發(fā)展，在對素材的總結(jié)提煉過程中充分發(fā)掘其中理性思維的成分．

1 融于人類生活，用理性思維指導(dǎo)日?；顒?dòng)

“數(shù)學(xué)源于實(shí)際生活， 隨著科學(xué)研究的發(fā)展和進(jìn)步，數(shù)學(xué)概念與方法空前廣泛地滲透到數(shù)學(xué)之外的其他學(xué)科領(lǐng)域和我們的生活．”[3]運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維，通過數(shù)學(xué)的語言來解決實(shí)際的問題，考查學(xué)生將數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際問題的分析和處理能力是數(shù)學(xué)文化考查的一個(gè)重點(diǎn)．要求學(xué)生具有一定的建模意識(shí)，能夠從真實(shí)的場景中將數(shù)學(xué)模型提煉出來，然后應(yīng)用對應(yīng)的數(shù)學(xué)規(guī)律刻畫有關(guān)量之間的關(guān)系，進(jìn)而完成問題解決．高考數(shù)學(xué)北京卷歷來注重對學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)的考查．

例1 2019年高考數(shù)學(xué)北京卷文理科第14題

李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%．

① 當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；

② 在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為________．

本題以大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)為背景，需要學(xué)生建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來解決這個(gè)實(shí)際問題．通過運(yùn)用歸納、分析、推理的方法理解題意，從中提煉出數(shù)學(xué)模型，在模型分析的過程中，形成建模意識(shí)、發(fā)展理性思維．

數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，對數(shù)學(xué)語言的正確理解是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化的重要途徑，學(xué)生需要具備通過閱讀數(shù)學(xué)文本理解提煉數(shù)學(xué)模型的能力．?dāng)?shù)學(xué)文本的表達(dá)形式經(jīng)常包含圖表、圖像等，這種文本被稱為非連續(xù)文本，對于非連續(xù)文本的閱讀理解需要學(xué)生把圖表轉(zhuǎn)化為有用信息、對信息進(jìn)行再加工、從所獲取的信息中提煉出數(shù)學(xué)模型，再應(yīng)用所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題．高考數(shù)學(xué)北京卷在關(guān)注非連續(xù)性文本閱讀能力的考查上，做了一些探索工作．希望可以讓學(xué)生體會(huì)提取加工的過程，即在非連續(xù)文本中提煉有效信息，排除干擾，確定已知和未知，找到它們之間的聯(lián)系，選擇解決問題的途徑．

例2 2017年高考數(shù)學(xué)北京卷理科第14題

三名工人加工同一種零件，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中點(diǎn)Ai的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn)Bi的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，i=1,2,3.

①記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則Q1，Q2，Q3中最大的是________；

②記pi為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工，則p1,p2,p3中最大的是________．

本題以工人加工零件為背景，條件以坐標(biāo)的形式給出，學(xué)生需要從坐標(biāo)中讀懂零件加工時(shí)間和件數(shù)的相關(guān)信息，在解決第一個(gè)問題時(shí)要理解縱坐標(biāo)表達(dá)的含義，找到Qi的直觀表示，在解決第二問時(shí)要發(fā)現(xiàn)斜率與pi的關(guān)系，既要完成信息的有效處理，還要利用圖表直觀地找到解決問題的方法．

2 奠基科學(xué)技術(shù)，用理性能力厚植科研地基

數(shù)學(xué)科學(xué)是自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)等科學(xué)的基礎(chǔ)，并在經(jīng)濟(jì)科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、人文科學(xué)的發(fā)展中發(fā)揮著越來越大的作用．李大潛教授指出：“數(shù)學(xué)是一個(gè)有力的工具．?dāng)?shù)學(xué)在人們的日常生活及生產(chǎn)中隨時(shí)隨地發(fā)揮著重要的作用．”高考數(shù)學(xué)北京卷在試題的設(shè)計(jì)中，注重背景素材和數(shù)學(xué)學(xué)科恰當(dāng)?shù)慕Y(jié)合，比如2019年高考數(shù)學(xué)北京卷選擇了“星等”為命題的切入點(diǎn)，不僅找到了星等與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，更是找到了天文學(xué)中數(shù)學(xué)的核心價(jià)值．

例3 2019年高考數(shù)學(xué)北京卷文科第7題，理科第6題

(A)1010.1(B)10.1

(C)lg10.1 (D)10-10.1

本題以天文學(xué)中如何刻畫天體的明暗程度為背景來設(shè)計(jì)，簡單明了的普森公式精確地刻畫了星等與亮度的關(guān)系，關(guān)系式融合了數(shù)學(xué)知識(shí)、地理知識(shí)和物理知識(shí)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，是刻畫自然規(guī)律和社會(huì)規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具．

3 助力社會(huì)發(fā)展，用理性精神規(guī)劃未來藍(lán)圖

數(shù)學(xué)文化試題的設(shè)計(jì)要找到背景素材和數(shù)學(xué)學(xué)科恰當(dāng)?shù)慕Y(jié)合點(diǎn)，把人類優(yōu)秀文化的符號(hào)提煉出來并深入研究，使學(xué)生通過推理和運(yùn)算，對文化本身有更深入甚至是全新的理解，同時(shí)感受數(shù)學(xué)對推動(dòng)人類發(fā)展所起的巨大作用，這是高考數(shù)學(xué)北京卷一直秉承的命題立意和導(dǎo)向．設(shè)計(jì)試題時(shí)，在深入了解試題背景材料所蘊(yùn)含的傳統(tǒng)文化的前提下，力求在試題呈現(xiàn)和能力考查上突出體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的核心．考查的重點(diǎn)是數(shù)學(xué)的必備知識(shí)、關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度認(rèn)識(shí)文化，思考文化中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題，感悟文化中的理性精神，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)．

例4 2018年高考數(shù)學(xué)北京卷理科第4題，文科第5題

十二平均律是目前世界上最通用的音律體系，其歷史非常悠久，最早可以追溯到公元400年左右的中國人承天．公元16世紀(jì)的明朝人朱載堉將十二平均律發(fā)展為完整的理論．律學(xué)專家黃翔鵬先生對十二平均律有高度評價(jià)，因?yàn)樗恢皇且魳仿晫W(xué)的成果，還涵蓋了物理學(xué)、數(shù)學(xué)、計(jì)量學(xué)、天文學(xué)等多學(xué)科的內(nèi)容，是中國樂律學(xué)博大精深的成果．朱載堉應(yīng)用自制的雙排大算盤共八十一檔，開平方、開立方求出十二平均律的參數(shù)，詳盡程度超過我國古代的數(shù)學(xué)專著．朱載堉的成就不遜于中國歷史上任何科學(xué)家，歐洲人盛贊并實(shí)踐著朱載堉的發(fā)明．在高考試題中引入這個(gè)中國傳統(tǒng)文化因素，意在引發(fā)學(xué)生的思考，增加愛國主義情感，同時(shí)也使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)在各種領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用．如前文所述，數(shù)學(xué)文化試題要深入“文化”本身，考點(diǎn)的設(shè)置要觸及文化核心的內(nèi)容；希望學(xué)生通過數(shù)學(xué)的運(yùn)算或者推理，對文化本身有更深入甚至是全新的理解．臺(tái)灣學(xué)者陳萬鼐高度評價(jià)朱載堉，認(rèn)為他的精確和耐心勝于自古以來的數(shù)學(xué)家．這也是理性精神的一個(gè)呈現(xiàn)方面．

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅是掌握知識(shí)的過程，更重要的是學(xué)生思維習(xí)慣的培養(yǎng)和探索意識(shí)的形成．探索精神也是理性精神的要素之一．在試題中可以通過設(shè)置開放性試題、探究性試題等來進(jìn)行相應(yīng)的考查．

例5 2019年高考數(shù)學(xué)北京卷理科第12題，文科第13題

已知l,m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：

①l⊥m； ②m//α； ③l⊥α．

以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：________．

這是一道開放性問題，考查的是線、面平行或垂直的性質(zhì)與判定. 要求學(xué)生能夠根據(jù)經(jīng)驗(yàn)將題目給出的三個(gè)論斷有機(jī)組合，并判斷形成命題的真、假．學(xué)生需要讀懂?dāng)?shù)學(xué)的語言和符號(hào)，從不同的角度認(rèn)識(shí)問題．開放性試題的設(shè)計(jì)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)探索的條件，同時(shí)讓數(shù)學(xué)的張力得以體現(xiàn)．學(xué)生在解決這類非常規(guī)和結(jié)構(gòu)不良問題時(shí)，需要打破常規(guī)進(jìn)行發(fā)散性思考．讓學(xué)生從標(biāo)準(zhǔn)答案中解放出來，發(fā)展他們的創(chuàng)造性思維能力．

結(jié)束語

高考作為教育的一個(gè)必要環(huán)節(jié)， 要通過試題的考查達(dá)到育人、化人的教育功能．?dāng)?shù)學(xué)文化試題的設(shè)計(jì)充分挖掘數(shù)學(xué)文化的精髓，讓學(xué)生在解決問題的過程中，潛移默化地接受試題背后的文化滲透，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的理性精神、數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)在日常生活的廣泛應(yīng)用等．

在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中，可以挖掘的數(shù)學(xué)文化的要素還有很多，北京卷將繼續(xù)努力探索，呈現(xiàn)更多優(yōu)秀的題目引領(lǐng)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力．