仉 偉，紀(jì)志堅(jiān)，渠繼軍

(青島大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，山東 青島 266071)

0 引言

本文的工作主要包括兩部分：首先，基于對(duì)非平凡等價(jià)劃分的不可控情形的研究，考慮了自同構(gòu)結(jié)構(gòu)對(duì)系統(tǒng)可控性產(chǎn)生的影響，本文在命題1中給出了系統(tǒng)存在自同構(gòu)的判定條件，然后討論了單領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)和多領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)的可控性。其次，通過理解領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)稱，將具有對(duì)稱性的單領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)利用置換矩陣推廣到多領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)稱，與文獻(xiàn)[19,23]所做的有所不同，本文研究的不僅僅是具有對(duì)稱性的單領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)，而是更為一般的系統(tǒng)，并在定理2給出了多領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)稱的判定條件，同時(shí)指出領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)稱與系統(tǒng)可控性的關(guān)系，從而為系統(tǒng)可控性研究提供了新的視角。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 圖論

首先，介紹圖論的一些基本內(nèi)容，在多智能體網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，圖中的節(jié)點(diǎn)表示智能體，邊表示智能體之間的相互連接，具有相同邊的節(jié)點(diǎn)相互交流。無向圖G表示為G=(V,E)，由頂點(diǎn)集V(G)和邊集E(G)?V×V組成。其中V={1,2,…,n}，E={(i,j)|i,j∈V(G)}，n表示圖中節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。沒有環(huán)結(jié)構(gòu)及多重邊結(jié)構(gòu)的圖稱為簡(jiǎn)單圖，本文研究的都為簡(jiǎn)單圖。頂點(diǎn)i的相鄰點(diǎn)集合為N(i)={j∈V(G)|(i,j)∈E(G)}。如果圖G中任意兩個(gè)不同的頂點(diǎn)i,j間都存在一條道路，則稱圖G是連通的。外部控制輸入信號(hào)施加在輸入節(jié)點(diǎn)上，輸入節(jié)點(diǎn)集合為S={i1,i2,…,iq}，并且滿足i1

圖G的鄰接矩陣A(G)∈Rn×n描述一個(gè)圖的節(jié)點(diǎn)之間信息交流，A(G)=(aij)n×n，aij定義為

(1)

其中，wij表示邊的權(quán)重，論文中沒有特殊說明的權(quán)重皆設(shè)為1，鄰接矩陣都為對(duì)稱矩陣。度矩陣D(G)=(dij)n×n，dij定義為

(2)

圖G的對(duì)角矩陣D的對(duì)角線元素等于圖G的鄰接矩陣相對(duì)應(yīng)行的所有元素相加之和，也可表示為D(G)=diag(d1,…,dn)，dn為與頂點(diǎn)相連接的邊的總個(gè)數(shù)。

拉普拉斯矩陣L(G)∈Rn×n為表示圖中頂點(diǎn)之間關(guān)系的另一種矩陣，L(G)=(lij)n×n，lij定義為

(3)

下面介紹劃分，等價(jià)劃分和松弛等價(jià)劃分。

定義2如果對(duì)于任意的s,t∈Ci，有

(4)

定義3無向圖G的頂點(diǎn)集V(G)的一個(gè)劃分π的特征矩陣為這樣的矩陣Pπ∈Rn×r，當(dāng)頂點(diǎn)i∈Cj時(shí)，pπ(ij)=1，否則pπ(ij)=0。

1.2 系統(tǒng)模型

對(duì)含有n個(gè)智能體的一階積分器線性系統(tǒng)，其連續(xù)時(shí)間動(dòng)力學(xué)模型可以表示為

(5)

其中，xi(t)∈Rn為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)在時(shí)間t的狀態(tài)，ui為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的外部控制輸入i∈{1,2,…,n}，式(5)即為系統(tǒng)的一致性協(xié)議。在無加權(quán)的多智能體網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，控制輸入?yún)f(xié)議描述為

(6)

在控制輸入?yún)f(xié)議(6)下，系統(tǒng)(5)可寫成具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的整合形式

(7)

若用集合Ic={i1,…,im}?{1,…,n}表示控制節(jié)點(diǎn)集。加入外部輸入控制后，系統(tǒng)(7)可轉(zhuǎn)化為以下動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

(8)

2 自同構(gòu)及系統(tǒng)可控性分析

2.1 自同構(gòu)及其判定條件

定義4設(shè)ψ為圖G=(V,E)上的置換，若存在任意節(jié)點(diǎn)i,j∈V和(i,j)∈E，ψ將節(jié)點(diǎn)i映射為ψ(i)，節(jié)點(diǎn)j映射為ψ(j)，當(dāng)且僅當(dāng)(ψ(i),ψ(j))∈E，則稱ψ為圖G的自同構(gòu)映射，簡(jiǎn)稱自同構(gòu)(AUT)。

其中，節(jié)點(diǎn)i,j和(ψ(i),ψ(j))有相同的鄰居關(guān)系，即置換ψ保持各節(jié)點(diǎn)之間的鄰接關(guān)系不變。若i≠ψ(i)，則稱i,ψ(i)為自同構(gòu)節(jié)點(diǎn)。G的所有自同構(gòu)映射構(gòu)成G的自同構(gòu)群記為T。

定義5設(shè)A(G)是圖G的鄰接矩陣，ψ為G的頂點(diǎn)集合V(G)上的一個(gè)置換，則ψ是圖G的一個(gè)自同構(gòu)，當(dāng)且僅當(dāng)AP=PA(等效地LP=PL)，則稱P為ψ的置換矩陣。顯然地，P為非單位矩陣。P表示為

(9)

每一組自同構(gòu)節(jié)點(diǎn)i,ψ(i)可以劃分到同一個(gè)胞腔內(nèi)，進(jìn)而誘導(dǎo)圖的等價(jià)劃分。已知自同構(gòu)可以誘導(dǎo)等價(jià)劃分，則從上述定義可知，等價(jià)劃分是松弛等價(jià)劃分的一種情況，而自同構(gòu)誘導(dǎo)的劃分是等價(jià)劃分的一種情況，所以我們就可以利用自同構(gòu)誘導(dǎo)的等價(jià)劃分來分析系統(tǒng)的可控性。松弛等價(jià)劃分、等價(jià)劃分和自同構(gòu)誘導(dǎo)的劃分之間的關(guān)系如圖1所示。

定義6對(duì)于有連接的非平凡胞腔b|Ci|=k|Cj|，其中b是Cj中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的鄰居數(shù)，k是Ci中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的鄰居數(shù)。如果b=|Cj|，k=|Ci|，則稱非平凡胞腔Ci和Cj的連接為完全連接，否則稱為不完全連接。

圖1 AEP、EP和AUT之間的關(guān)系Fig.1 The relationship among AEP, EP and AUT

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)存在自同構(gòu)，進(jìn)而誘導(dǎo)等價(jià)劃分時(shí)，得到以下幾點(diǎn)。

1)對(duì)于非平凡胞腔，若系統(tǒng)為完全連接，其通信路徑是相同的；若系統(tǒng)為不完全連接，則通信路徑是相似的。

2)如果改變非平凡胞腔內(nèi)節(jié)點(diǎn)的順序，拉普拉斯矩陣L行和列均不變。

3)設(shè)系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在等價(jià)劃分后存在非平凡胞腔，系統(tǒng)存在自同構(gòu)，該系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)一定是具有對(duì)稱性和循環(huán)性的。循環(huán)性即按順序?qū)⒐?jié)點(diǎn)位置依次改變，不考慮標(biāo)號(hào)，邊的位置不變。

引理1[22]設(shè)G=(V,E)的拉普拉斯矩陣為L(zhǎng)，令π={C1,C2,…,Ck}是V的劃分，并且令Pπ是π的特征矩陣。若π是G的松弛等價(jià)劃分，則存在k×k階矩陣Q，使得

LPπ=PπQ

(10)

命題1設(shè)圖G的拉普拉斯矩陣為L(zhǎng)，令P為置換矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)滿足PTLP=L時(shí)，存在非平凡胞腔，使得系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)存在自同構(gòu)。

注1置換矩陣為每一行和每一列都只有一個(gè)元素為1，其余的元素為0。當(dāng)一個(gè)矩陣乘上一個(gè)置換矩陣時(shí)，得到的新矩陣是原來矩陣的行或列經(jīng)過置換后得到的。置換矩陣也被定義為單位矩陣的某些行或列交換后得到的矩陣。

證明：設(shè)圖G的拉普拉斯矩陣為L(zhǎng)，令π是G的松弛等價(jià)劃分。以下是對(duì)定理1的充分性和必要性的證明。

(充分性)假設(shè)可以找出一個(gè)非單位矩陣P，使得PTLP=L，此時(shí)非單位矩陣P在改變?cè)撓到y(tǒng)的拉普拉斯矩陣L的行和列后，系統(tǒng)的拉普拉斯矩陣L不變，邊的位置不變，連接情況沒變。則P一定為置換矩陣，G的頂點(diǎn)集合V(G)上存在置換，該系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)一定存在自同構(gòu)。

例1圖2驗(yàn)證自同構(gòu)代數(shù)等式條件PTLP=L，圖2a，2b為自同構(gòu)。

圖2 七節(jié)點(diǎn)無向圖Fig.2 Seven-node undirected graph

圖2b為圖2a圖的自同構(gòu)，經(jīng)計(jì)算得出A1=A2,D1=D2,L1=L2。圖2a到圖2b僅僅是節(jié)點(diǎn)2與節(jié)點(diǎn)3交換位置，即標(biāo)號(hào)位置發(fā)生改變，整體的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)未發(fā)生變化，邊的連接情況也沒發(fā)生變化，則可以找到一個(gè)P

使得PTL1P=L2，即L1=L2。則可知圖2a所示的系統(tǒng)滿足自同構(gòu)的代數(shù)等式條件，該系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)存在自同構(gòu)，圖2b為圖2a圖自同構(gòu)的一種情況，節(jié)點(diǎn)2與節(jié)點(diǎn)3為自同構(gòu)節(jié)點(diǎn)，顯然地，節(jié)點(diǎn)4與節(jié)點(diǎn)6也為自同構(gòu)節(jié)點(diǎn)。從圖2上的這兩種自同構(gòu)可以看出節(jié)點(diǎn)2與節(jié)點(diǎn)3有對(duì)稱關(guān)系，節(jié)點(diǎn)4與節(jié)點(diǎn)6也有對(duì)稱關(guān)系，由此可以引出以下領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)稱的定義。

2.2 可控性分析

定義7若系統(tǒng)中只有一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者l1，存在n×n階置換矩陣P，使得P(-Lf)=(-Lf)P，則稱系統(tǒng)關(guān)于l1對(duì)稱，即為單領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)稱系統(tǒng)。

其中，Lf為選取一個(gè)節(jié)點(diǎn)作為領(lǐng)導(dǎo)者后跟隨者系統(tǒng)的拉普拉斯矩陣，P(-Lf)=(-Lf)P，PT(-Lf)P=(-Lf)，跟隨者系統(tǒng)中存在自同構(gòu)，即跟隨者系統(tǒng)是對(duì)稱的，系統(tǒng)為單領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)稱系統(tǒng)。

若圖G的自同構(gòu)ψ滿足ψ(i)=i，將所有節(jié)點(diǎn)i的自同構(gòu)節(jié)點(diǎn)ψ(i)構(gòu)成的子群記為Ti。保持每個(gè)節(jié)點(diǎn)不變的置換稱為自同構(gòu)群的單位元。Ti中元素既保持每個(gè)節(jié)點(diǎn)間的鄰接關(guān)系不變，又固定節(jié)點(diǎn)i不動(dòng)，記Ti>1表示Ti中含有非單位元，下面將對(duì)稱性推廣到多領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)。在圖G的自同構(gòu)群T中，所有跟隨者中Ti的集合記為Tf。用Tf>1表示Tf中含有非單位元，對(duì)于多領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)稱系統(tǒng)，定義如下。

定義8設(shè)系統(tǒng)中有N個(gè)領(lǐng)導(dǎo)l1,l2,…,lN，若Tf>1，則稱系統(tǒng)關(guān)于l1,l2,…,lN對(duì)稱，即為多領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)稱系統(tǒng)。

定理1當(dāng)且僅當(dāng)l1,l2,…,lN的跟隨者子圖中自同構(gòu)群Tf>1，系統(tǒng)關(guān)于領(lǐng)導(dǎo)者l1,l2,…,lN對(duì)稱。

證明：設(shè)系統(tǒng)中有n個(gè)跟隨者和N個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者l1,l2,…,lN，對(duì)所有跟隨者從1到n進(jìn)行標(biāo)記，領(lǐng)導(dǎo)者的標(biāo)號(hào)為n+1,n+2,…,n+N。根據(jù)跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者的劃分，將圖G的鄰接矩陣和拉普拉斯矩陣寫成如下的分塊矩陣。

其中，Af為所有跟隨者構(gòu)成的子圖Gf的鄰接矩陣。δn+1,…,δn+N為n維列向量，領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者之間的鄰接情況表示為

(充分性)設(shè)系統(tǒng)關(guān)于領(lǐng)導(dǎo)者l1,l2,…,lN對(duì)稱，則存在n×n階的置換矩陣Pf使得Pf(-Lf)=(-Lf)Pf，即PfAf=AfPf。

注2在圖G中選擇l1,l2,…,lN為領(lǐng)導(dǎo)者，若系統(tǒng)為多領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)稱的系統(tǒng)，此時(shí)跟隨者系統(tǒng)一定至少存在一個(gè)自同構(gòu)Ti，即系統(tǒng)存在自同構(gòu)，則可利用跟隨者系統(tǒng)中的自同構(gòu)結(jié)構(gòu)來研究系統(tǒng)可控性。

圖3 六節(jié)點(diǎn)無向圖Fig.3 Six-node undirected graph

例2在圖3所示的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中，選取不同的領(lǐng)導(dǎo)者來說明單領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)稱與多領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)稱。

在圖3所示拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中，ψ(2)=3，ψ(3)=2，ψ(4)=5，ψ(5)=4，系統(tǒng)存在自同構(gòu)。選取節(jié)點(diǎn)1作為領(lǐng)導(dǎo)者，自同構(gòu)誘導(dǎo)的劃分為πl(wèi)1={{1},{2,3},{4,5},{6}}。此時(shí)存在6×6階非單位置換矩陣P，使得Pf(-Lf)=(-Lf)Pf，則系統(tǒng)是關(guān)于l1對(duì)稱的系統(tǒng)。同理，分別選取節(jié)點(diǎn)2，3，4，5，6作為領(lǐng)導(dǎo)者，系統(tǒng)都是關(guān)于所選領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)稱的系統(tǒng)，即為單領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)稱系統(tǒng)，共有6種選取方式。選取節(jié)點(diǎn)1，2作為領(lǐng)導(dǎo)者，自同構(gòu)誘導(dǎo)的劃分為πl(wèi)1,l2={{1,2},{3},{4,5},{6}}，此時(shí)T3=1,T4=2>1,T5=2,T6=1，系統(tǒng)關(guān)于l1,l2對(duì)稱。選取節(jié)點(diǎn)1，2，3作為領(lǐng)導(dǎo)者，自同構(gòu)誘導(dǎo)的劃分為πl(wèi)1,l2,l3={{1,2,3},{4,5},{6}}，此時(shí)T4=2>1,T5=2>1,T6=1，系統(tǒng)關(guān)于l1,l2,l3對(duì)稱。選取節(jié)點(diǎn)1，2，3，6作為領(lǐng)導(dǎo)者，自同構(gòu)誘導(dǎo)的劃分為πl(wèi)1,l2,l3,l6={{1,2,3,6},{4,5}}，此時(shí)T4=2>1,T5=2>1，系統(tǒng)關(guān)于l1,l2,l3,l6對(duì)稱。共有21種選取領(lǐng)導(dǎo)者方式使系統(tǒng)為多領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)。若選取節(jié)點(diǎn)1，2，4作為領(lǐng)導(dǎo)者，自同構(gòu)誘導(dǎo)的劃分為πl(wèi)1,l2,l4={{1,2,4},{3},{5},{6}}，此時(shí)T3=1,T5=1,T6=1，系統(tǒng)不是領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)稱系統(tǒng)。

下面利用等價(jià)劃分來分析系統(tǒng)存在領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)稱與可控性之間的關(guān)系，對(duì)于具有領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)中共有N個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者l1,l2,…,lN和n個(gè)跟隨者，所有跟隨者及跟隨者之間形成的連接關(guān)系圖記為Gf，πf為Gf的等價(jià)劃分。

定義9若N個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者各自獨(dú)占一個(gè)胞腔Cr+1={l1},Cr+2={l2},…,Cr+N={lN}。令πl(wèi)1,l2,…,lN=πf∪Cr+1∪Cr+2∪…∪Cr+N，則πl(wèi)1,l2,…,lN稱為圖G的多領(lǐng)導(dǎo)者的等價(jià)劃分。

引理2[20]若系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖G存在非平凡的松弛等價(jià)劃分，則系統(tǒng)不可控。

注3由等價(jià)劃分與松弛等價(jià)劃分的定義可知，等價(jià)劃分是松弛等價(jià)劃分的一種情況，若系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖G存在非平凡的等價(jià)劃分πl(wèi)1,l2,…,lN，則系統(tǒng)不可控。

定理2若自同構(gòu)誘導(dǎo)的劃分為非平凡的等價(jià)劃分πl(wèi)1,l2,…,lN，系統(tǒng)為領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)稱系統(tǒng)，跟隨者系統(tǒng)存在非平凡胞腔，則系統(tǒng)不可控。

證明：系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖G存在自同構(gòu)誘導(dǎo)的非平凡等價(jià)劃分πl(wèi)1,l2,…,lN，設(shè)劃分含有m+N個(gè)胞腔，若|Ci|=θi，即胞腔Ci中含有θi個(gè)節(jié)點(diǎn)，對(duì)Ci中的點(diǎn)用θi個(gè)連續(xù)數(shù)字進(jìn)行標(biāo)記，考慮N個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的情況。

設(shè)l1與s個(gè)胞腔Co1,Co2,…,Cos相鄰接，l2與t個(gè)胞腔Cp1,Cp2,…,Cpt相鄰接，…，lN與k個(gè)胞腔Cq1,Cq2,…,Cqk相鄰接，按圖G的劃分形式對(duì)矩陣A和B進(jìn)行相應(yīng)分塊。

其中，Ai,j為θi×θj階矩陣，

由鄰接矩陣A定義可知，Ai,j的每行元素之和相等。已知跟隨者系統(tǒng)存在自同構(gòu)，那么至少存在兩個(gè)自同構(gòu)節(jié)點(diǎn)，使可控性判別矩陣C中同一胞腔中的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的行向量相等，故rank(C)≤m。又因?yàn)棣衛(wèi)1,l2,…,lN是非平凡的劃分，可知rank(C)

注4系統(tǒng)在選取領(lǐng)導(dǎo)者后系統(tǒng)仍存在自同構(gòu)，自同構(gòu)誘導(dǎo)的劃分為非平凡的等價(jià)劃分πf，此時(shí)系統(tǒng)不可控，領(lǐng)導(dǎo)者無法將存在自同構(gòu)的非平凡胞腔里的跟隨者區(qū)別開來，從而無法將它們實(shí)現(xiàn)單獨(dú)控制，這便導(dǎo)致了系統(tǒng)的不可控性。

圖4 自同構(gòu)誘導(dǎo)頂點(diǎn)集合V(G)的等價(jià)劃分Fig.4 Automorphism induces the equivalent partion of vertex set V(G)

例3如圖4所示，自同構(gòu)群T=AUT(G)由轉(zhuǎn)置ψ1={1,2},ψ2={5,6,7}生成，則自同構(gòu)誘導(dǎo)頂點(diǎn)集合的等價(jià)劃分為π={C1,C2,C3,C4}，其胞腔為C1={1,2},C2={3},C3={4},C4={5,6,7}。施加固定的外部控制輸入，控制輸入矩陣為B=[ei1,…,eim]。此時(shí)選取不同的領(lǐng)導(dǎo)者，來分析系統(tǒng)存在自同構(gòu)誘導(dǎo)的等價(jià)劃分時(shí)，系統(tǒng)不可控的情況。

1)選取一個(gè)節(jié)點(diǎn)作為領(lǐng)導(dǎo)者時(shí)，系統(tǒng)為單領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)。選胞腔C1中的節(jié)點(diǎn)1作為領(lǐng)導(dǎo)者施加固定的控制輸入時(shí)，T5=3>1,T6=3>1,T7=3>1，系統(tǒng)為單領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)稱系統(tǒng)，胞腔C4中節(jié)點(diǎn)5，6，7，收到的控制輸入是完全一致的，胞腔內(nèi)不能實(shí)現(xiàn)對(duì)某個(gè)節(jié)點(diǎn)的單獨(dú)控制，該系統(tǒng)不可控。同理，節(jié)點(diǎn)2，3，4，5，6，7作為領(lǐng)導(dǎo)者，系統(tǒng)也不可控，僅考慮單領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)有7種選擇是不可控的。

2)選取多個(gè)節(jié)點(diǎn)作為領(lǐng)導(dǎo)者時(shí)，系統(tǒng)為多領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)。選取胞腔C1中的節(jié)點(diǎn)1，胞腔C4中的節(jié)點(diǎn)5作為兩個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者加控制輸入，此時(shí)T6=2>1,T7=2>1，系統(tǒng)為多領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)稱系統(tǒng)，胞腔C4存在自同構(gòu)，系統(tǒng)不可控。同理，選取胞腔C1中的節(jié)點(diǎn)1，2，胞腔C4中的節(jié)點(diǎn)5作為三個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者加控制輸入，此時(shí)T6=2>1,T7=2>1，系統(tǒng)也為多領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)稱系統(tǒng)，胞腔C4存在自同構(gòu)，系統(tǒng)不可控。對(duì)于多領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)，共有72種選擇使系統(tǒng)不可控。

綜上所述，例3假設(shè)系統(tǒng)的輸入固定，那么個(gè)體間形成的信息交換圖存在自同構(gòu)時(shí)，選取了不同領(lǐng)導(dǎo)者分析可控性，總共有126種領(lǐng)導(dǎo)者選取方式。選取平凡胞腔作為領(lǐng)導(dǎo)者施加控制輸入，系統(tǒng)不可控。選取存在自同構(gòu)的非平凡胞腔作為領(lǐng)導(dǎo)者施加不同的輸入時(shí)，若跟隨者系統(tǒng)中的胞腔仍然有非平凡的，則不論跟隨者之間的連接情況如何，系統(tǒng)總是不可控的，共有79種不可控選擇。

3 總結(jié)

本文利用圖論知識(shí)作為工具，研究了自同構(gòu)誘導(dǎo)的等價(jià)劃分以及領(lǐng)導(dǎo)者選擇對(duì)可控性產(chǎn)生的影響。首先，命題1中給出了自同構(gòu)的判定條件，即給出了基于圖論來判斷存在自同構(gòu)的系統(tǒng)可控性的方法。其次，將單領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)稱系統(tǒng)的概念推廣到多領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)稱系統(tǒng)，并在定理1中給出了判定條件。最后，利用等價(jià)劃分研究了一類由于系統(tǒng)存在自同構(gòu)造成的不可控系統(tǒng)，同時(shí)也研究了跟隨者系統(tǒng)中存在自同構(gòu)造成的不可控系統(tǒng)。本文可以看出，多智能體可控性與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有著密不可分的關(guān)系，多智能體可控性可以看作等價(jià)于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖的可控性。因此，利用圖論工具來研究可控性具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義，作為未來的研究方向，我們要研究多智能體網(wǎng)絡(luò)可控性的充要條件。