鐘麗君，賓 晟，袁 敏，孫更新

(青島大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與軟件工程學(xué)院,山東 青島 266071)

0 引言

在現(xiàn)實(shí)中存在的大量復(fù)雜系統(tǒng)都可以通過復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行抽象描述[1]。典型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是由節(jié)點(diǎn)以及節(jié)點(diǎn)間的連邊構(gòu)成，其中系統(tǒng)中的個(gè)體抽象為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)，個(gè)體間的相互關(guān)系抽象為網(wǎng)絡(luò)中的連邊，往往是兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間具有某種特定的關(guān)系則連一條邊，反之則不連邊。因此，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型可以簡單地表示為二元組G=(V,E)，其中V表示節(jié)點(diǎn)的集合，E表示連邊的集合。

綜上所述，在已有的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型中，節(jié)點(diǎn)用來代表真實(shí)系統(tǒng)中不同的個(gè)體，而邊則用來表示個(gè)體間的關(guān)系。而在實(shí)際的復(fù)雜系統(tǒng)中，個(gè)體往往具有多種屬性，在利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型描述復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)，選擇個(gè)體上的不同屬性或?qū)傩约?，將?dǎo)致節(jié)點(diǎn)之間的連邊不同，網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同，從而使得網(wǎng)絡(luò)的功能不同。因此，為了能夠更靈活地描述復(fù)雜系統(tǒng)，同時(shí)考慮到復(fù)雜系統(tǒng)中元素的異質(zhì)性以及多屬性的特點(diǎn)，本文提出多功能復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型。該網(wǎng)絡(luò)模型僅使用節(jié)點(diǎn)來表示，而不涉及到連邊。此外，為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)定義一個(gè)特征屬性向量，通過對(duì)節(jié)點(diǎn)特征屬性的選擇以及節(jié)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)特征屬性下映射規(guī)則定義，實(shí)現(xiàn)不同的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)功能。

1 多功能復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型

1.1 模型定義

定義2 特征屬性映射函數(shù)如果在節(jié)點(diǎn)vi,vj間基于特征屬性Ph建立某種關(guān)聯(lián)，可以通過特征屬性映射函數(shù)fh(vi,vj)實(shí)現(xiàn)。

定義3 特征屬性集映射函數(shù)如果在節(jié)點(diǎn)vi,vj間基于多個(gè)特征屬性(特征屬性集P*(P*?P))建立某種關(guān)聯(lián)，可以通過特征屬性集映射函數(shù)F(vi,vj)實(shí)現(xiàn)。F(vi,vj)=ξ(f1,f2,…,ft),t≤m,表示多功能網(wǎng)中對(duì)應(yīng)給定的特征屬性集P*的映射函數(shù)。

定義4 多功能復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(Multi-functional Complex Network, MFCN)多功能復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(簡稱多功能網(wǎng))由具有某些特征屬性的節(jié)點(diǎn)以及特征屬性集映射函數(shù)構(gòu)成，記作G(V,P,F)。

P是網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)的特征屬性集合，對(duì)于具有m個(gè)特征屬性的多功能網(wǎng)，可用|V|×m的矩陣來描述：

F表示多功能網(wǎng)基于所選擇的特征屬性集的映射函數(shù)，F(xiàn)(vi,vj)=ξ(f1,f2,…，fi，…,ft),t≤m。

圖1 未選擇任何特征屬性前的多功能網(wǎng)Fig.1 Multifunctional complex network without selecting any attributes

圖2a是選擇特征屬性P1時(shí)，基于特征屬性映射函數(shù)f1的多功能網(wǎng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，此時(shí)F(vi,vj)=ξ1(f1)；圖2b則是選擇特征屬性P3時(shí)，基于特征屬性映射函數(shù)f3的多功能網(wǎng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，此時(shí)F(vi,vj)=ξ2(f3)；同時(shí)選擇特征屬性P1,P3時(shí)，將得到如圖2c所示的基于特征屬性集映射函數(shù)F的多功能網(wǎng)，此時(shí)F(vi,vj)=ξ3(f1,f3)。

1.2 多功能復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的矩陣表示

在多功能網(wǎng)G(V,P,F)中，對(duì)?vi,vj∈V(i=1,2,…,|V|)，h表示節(jié)點(diǎn)vi,vj基于特征屬性Ph建立的關(guān)聯(lián)，它可以是有序偶或者無序偶，有序偶表示關(guān)聯(lián)有方向，無序偶表示關(guān)聯(lián)無方向，其關(guān)聯(lián)通過映射函數(shù)fh(vi,vj)實(shí)現(xiàn)?；谠撎卣鲗傩杂成浜瘮?shù)，可以使用一個(gè)|V|×|V|階的鄰接矩陣Ah=(aij)h表示這種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下的節(jié)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，aij表示鄰接矩陣Ah中第i行第j列的元素：

(1)

其中，wh為節(jié)點(diǎn)vi,vj在特征屬性Ph的映射函數(shù)fh下的關(guān)聯(lián)權(quán)值，如果節(jié)點(diǎn)vi,vj在特征屬性Ph映射函數(shù)fh下僅體現(xiàn)有無關(guān)聯(lián)關(guān)系，則

(2)

當(dāng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)擁有m個(gè)特征屬性時(shí)，多功能網(wǎng)G在所有特征屬性的映射函數(shù)下，存在m個(gè)|V|×|V|階矩陣：A1,A2,…,Am，其中，A1=(aij)1表示在特征屬性P1的映射函數(shù)f1下的鄰接矩陣，A2=(aij)2表示在特征屬性P2的映射函數(shù)f2下的鄰接矩陣，Am=(aij)m表示在特征屬性Pm的映射函數(shù)fm下的鄰接矩陣。

圖2 基于所選特征屬性集的多功能網(wǎng)Fig.2 Multifunctionalcomplex network based on selected attributes set

2 多功能復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用

基于多功能復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，對(duì)作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行研究與分析。從功能上講，作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)依靠多種特征屬性間的信息傳遞來發(fā)揮作用。根據(jù)作戰(zhàn)力量在戰(zhàn)場上扮演的不同角色，作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)中的作戰(zhàn)力量可以分為偵察實(shí)體S、決策實(shí)體C、影響實(shí)體I以及敵方目標(biāo)T。在作戰(zhàn)過程中，敵我雙方偵察類、決策類、影響類以及目標(biāo)類實(shí)體之間在不同屬性下相互影響、相互配合，完成不同的使命任務(wù)。

作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)對(duì)戰(zhàn)場信息獲取、傳輸、加工和利用等作戰(zhàn)環(huán)節(jié)主要是通過網(wǎng)絡(luò)化的信息裝備實(shí)現(xiàn)，即作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)中的偵察類節(jié)點(diǎn)VS、決策類節(jié)點(diǎn)VC、影響類節(jié)點(diǎn)VI、目標(biāo)類節(jié)點(diǎn)VT，則作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)描述為G(V,P,F)，其中，V=VS∪VC∪VI∪VT，F(xiàn)代表作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)基于作戰(zhàn)功能選取的特征屬性集的映射函數(shù)。

某導(dǎo)彈防御體系由4個(gè)偵察監(jiān)視類裝備天基紅外系統(tǒng)、改進(jìn)的早期預(yù)警雷達(dá)、X波段雷達(dá)、AN/SPY雷達(dá)，1個(gè)指揮控制類實(shí)體作戰(zhàn)管理中心，3個(gè)影響類裝備實(shí)體標(biāo)準(zhǔn)-3導(dǎo)彈、愛國者-3導(dǎo)彈、AIM-120攔截彈組成，同時(shí)該導(dǎo)彈防御體系面臨2個(gè)敵方目標(biāo)威脅。則該作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)G的節(jié)點(diǎn)集合V={vS1,vS2,vS3,vS4,vC1,vI1,vI2,vI3,vT1,vT2}。

假設(shè)暫取偵察率、指揮控制與通信率、?；鶖r截率、陸基攔截率、空基攔截率等特征屬性描述作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)，這里，網(wǎng)絡(luò)的特征維數(shù)m=5,網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的特征屬性集合P(V)={P1,P2,P3,P4,P5}，其中，P1代表偵察率特征屬性、P2代表指揮控制與通信特征屬性、P3代表?；鶖r截率特征屬性、P4代表陸基攔截率特征屬性、P5代表空基攔截率特征屬性。則作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)在以上所述的特征屬性下可以用一個(gè)|V|×m，即10×5的矩陣來描述：

其中，若實(shí)體存在偵察率特征屬性P1，則取相應(yīng)值，否則取0；若實(shí)體存在指揮控制與通信率特征屬性P2，則取相應(yīng)值，否則取0；若實(shí)體存在?；鶖r截率特征屬性P3，則取相應(yīng)值，否則取0；若實(shí)體存在路基攔截率特征屬性P4，則取相應(yīng)值，否則取0；若實(shí)體存在空基攔截率特征屬性P5，則取相應(yīng)值，否則取0。

在偵察率特征屬性P1映射函數(shù)f1下，節(jié)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)關(guān)系具體表現(xiàn)為矩陣A1：

在指揮控制與通信特征屬性P2映射函數(shù)f2下，節(jié)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)關(guān)系具體表現(xiàn)為矩陣A2：

在P3，P4，P5特征屬性映射函數(shù)f3,f4,f5下，標(biāo)準(zhǔn)-3導(dǎo)彈的?；鶖r截目標(biāo)概率為80%，愛國者-3的陸基攔截目標(biāo)概率為70%，AIM-120導(dǎo)彈的空基攔截目標(biāo)概率為50%，節(jié)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)關(guān)系分別表現(xiàn)為矩陣A3,A4,A5，如下所示：

圖3 選擇P1，P2，P3屬性時(shí)的導(dǎo)彈防御體系作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)Fig.3 Missile defense operational network based on selected attributesP1，P2 and P3

圖4 選擇P1，P2，P4屬性時(shí)導(dǎo)彈防御體系作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)Fig.4 Missile defense operational network based on selected atttibutes P1，P2 and P4

由于?；㈥懟?、空基導(dǎo)彈的打擊攔截力量的差異，當(dāng)選擇偵查率特征屬性P1、通信與控制特征屬性P2、?；鶖r截率特征屬性P3時(shí)，基于特征屬性集的映射函數(shù)，確定了一種如圖3所示的作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

對(duì)于此結(jié)構(gòu)下的作戰(zhàn)環(huán)，例如，vT1→vS1→vS2→vC1→vI1→vT1，該環(huán)表示為目標(biāo)vT1信息被偵察節(jié)點(diǎn)vS1獲取，vS1與同級(jí)偵察節(jié)點(diǎn)vS2協(xié)同作用，然后vS2將信息傳給指控節(jié)點(diǎn)vC1，vC1對(duì)獲取的信息分析處理后下指令至vI1，vI1對(duì)目標(biāo)vT1實(shí)施打擊攔截的過程。

由圖3所示的作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)可知，當(dāng)選擇上述3種特征屬性，基于特征屬性集映射函數(shù)，該導(dǎo)彈防御體系可以通過?；鶖r截導(dǎo)彈標(biāo)準(zhǔn)-3導(dǎo)彈對(duì)敵方目標(biāo)vT1實(shí)施攔截打擊。

當(dāng)選擇偵查率特征屬性P1、通信與控制特征屬性P2、陸基攔截率特征屬性P4時(shí)，基于特征屬性集的映射函數(shù)，確定了一種如圖4所示的作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

由圖4所示的作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)可知，當(dāng)選擇上述3種特征屬性，基于特征屬性集映射函數(shù)，該導(dǎo)彈防御體系通過陸基攔截導(dǎo)彈愛國者-3導(dǎo)彈對(duì)敵方目標(biāo)vT1實(shí)施攔截打擊。

當(dāng)選擇偵查率特征屬性P1、通信與控制特征屬性P2、空基攔截率特征屬性P5時(shí)，基于特征屬性映射規(guī)則，確定了一種如圖5所示的作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

由圖5所示的作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)可知，當(dāng)選擇上述3種特征屬性，基于特征屬性集映射函數(shù)，該導(dǎo)彈防御體系通過空基攔截導(dǎo)彈AIM-120導(dǎo)彈對(duì)敵方目標(biāo)vT2實(shí)施攔截打擊。

該導(dǎo)彈防御體系為完全保衛(wèi)我方安全，須同時(shí)解除來自敵方目標(biāo)vT1,vT2的威脅。根據(jù)作戰(zhàn)實(shí)體的特征屬性信息，若達(dá)到此目的，需要在考慮攔截率的前提下，選擇偵查率特征屬性P1、通信與控制特征屬性P2、海基攔截率特征屬性P3，陸基攔截率特征屬性P4，基于特征屬性集映射函數(shù)，此時(shí)該導(dǎo)彈防御體系作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖6所示，可同時(shí)解除來自敵方目標(biāo)vT1,vT2的威脅。

圖5 選擇P1，P2，P5屬性時(shí)導(dǎo)彈防御體系作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)Fig.5 Missile defense operational network based on selected attributes P1，P2 and P5

圖6 選擇P1，P2，P3，P4屬性時(shí)導(dǎo)彈防御體系作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)Fig.6 Missile defense operational network based on selected attributesP1，P2,P3 and P4

另外，當(dāng)考慮作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)的通信成本時(shí)，任意兩個(gè)作戰(zhàn)實(shí)體之間要建立通信都要首先依托戰(zhàn)場信息建立信息交互關(guān)系，實(shí)體之間的通信成本規(guī)則設(shè)置為f6。同時(shí)，考慮到作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)的的現(xiàn)實(shí)連通性，vS→vI、vS→vT、vC→vT、vI→vS、vI→vC、vI→vI、vT→vC、vT→vI、vT→vT這9類節(jié)點(diǎn)在現(xiàn)實(shí)作戰(zhàn)環(huán)境中不存在連通或連通概率較小，暫不作考慮，通信成本關(guān)系矩陣中的值置為∞。具體的，置vT→vS通信成本為2萬，vS→vS通信成本為4萬，vS→vC通信成本為6萬，vC→vS通信成本為7萬，vC→vC通信成本為3萬，vC→vI通信成本為5萬，vI→vT通信成本為8萬，特殊的，aii=0。則這種映射規(guī)則下的矩陣表示為A6:

通過對(duì)網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)算，可得到其他多層次的網(wǎng)絡(luò)信息，如上面所述的實(shí)體間的通信成本即是依賴于信息交互關(guān)系分析所得。類似這樣的網(wǎng)絡(luò)運(yùn)算很多，可根據(jù)現(xiàn)實(shí)需求，針對(duì)特定功能，選擇相應(yīng)特征屬性分析運(yùn)算，從而進(jìn)一步作出決策。

3 總結(jié)

現(xiàn)實(shí)復(fù)雜系統(tǒng)中的個(gè)體往往具有多種屬性，選擇不同的屬性(集)，個(gè)體間的相互關(guān)系將會(huì)不同，進(jìn)而使得網(wǎng)絡(luò)的整體功能也將不同。但現(xiàn)有的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型在構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)時(shí)，其網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涠际枪潭ǖ?，不能根?jù)節(jié)點(diǎn)上的不同屬性(集)來靈活地構(gòu)建具有不同功能的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。本文在研究現(xiàn)有復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型定義的基礎(chǔ)上，提出并建立了多功能復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型。該網(wǎng)絡(luò)模型僅使用節(jié)點(diǎn)及其關(guān)聯(lián)的屬性集來描述，在網(wǎng)絡(luò)模型定義中不涉及到連邊，而是動(dòng)態(tài)地選擇節(jié)點(diǎn)特征屬性(集)，依據(jù)映射規(guī)則來確定網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，進(jìn)而定義網(wǎng)絡(luò)的具體功能。從而實(shí)現(xiàn)利用一個(gè)網(wǎng)絡(luò)模型，根據(jù)不同屬性(集)構(gòu)件具有不同功能的網(wǎng)絡(luò)的目的。對(duì)于包含異類、多屬性元素的復(fù)雜系統(tǒng)，多功能復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型提供了從不同屬性(集)角度，構(gòu)建不同網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和不同網(wǎng)絡(luò)功能的新方法，為復(fù)雜系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)分析提供了新的研究思路。在今后的研究中，對(duì)于多功能復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型上的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)將作為主要的研究方向。