從建鋒,劉智敏，2,劉 盼,郭金運(yùn)

(1．山東科技大學(xué) 測(cè)繪科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266590；2.山東省基礎(chǔ)地理信息與數(shù)字化技術(shù)實(shí)驗(yàn)室，山東 青島 266590)

北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BeiDou Navigation Satellite System，BDS)采用混合星座組成，包含地球靜止軌道衛(wèi)星(GEO)、傾斜地球同步軌道衛(wèi)星(IGSO)、中地球軌道衛(wèi)星(MEO)[1]。BDS在高精度定位的過(guò)程中，需要數(shù)據(jù)分析中心提供高精度精密星歷獲取衛(wèi)星三維位置坐標(biāo)，但其采樣間隔為15min，而接收機(jī)的采樣間隔一般為30s、10s、5s或1s，因此，如何獲取任意歷元BDS衛(wèi)星位置成為一個(gè)重要問(wèn)題[2-4]。得到任意歷元BDS衛(wèi)星三維坐標(biāo)就必須對(duì)精密星歷進(jìn)行高精度內(nèi)插[5-8]。插值法具有過(guò)程簡(jiǎn)便、高效等優(yōu)點(diǎn)，插值法的基本思想是由很多個(gè)已知離散自變量以及對(duì)應(yīng)的因變量值組成某一近似多項(xiàng)式函數(shù)，可插值出任意離散點(diǎn)的變量值[9]。目前對(duì)衛(wèi)星精密星歷進(jìn)行插值方法有很多，主要有Lagrange插值方法、 Newton插值方法、Chebyshev插值方法、三次樣條插值方法等。文獻(xiàn)[2]采用拉格朗日和切比雪夫多項(xiàng)式實(shí)現(xiàn)對(duì)GPS精密星歷內(nèi)插；文獻(xiàn)[3]采用滑動(dòng)式Lagrange插值方法實(shí)現(xiàn)對(duì)GPS精密星歷進(jìn)行內(nèi)插；文獻(xiàn)[5]和[6]對(duì)實(shí)現(xiàn)GPS精密星歷內(nèi)插不同方法進(jìn)行比較分析。Lagrange插值方法是經(jīng)典的插值方法，但是常規(guī)Lagrange插值方法在插值兩端易產(chǎn)生“龍格”現(xiàn)象，為進(jìn)一步提高Lagrange插值方法在BDS精密星歷內(nèi)插中的精度，需對(duì)比非滑動(dòng)式與滑動(dòng)式Lagrange插值方法對(duì)BDS精密星歷內(nèi)插的影響。BDS與GPS相比，有3種不同類型衛(wèi)星，對(duì)BDS精密星歷內(nèi)插必須考慮到不同類型衛(wèi)星與插值階數(shù)的關(guān)系。本文基于非滑動(dòng)式與滑動(dòng)式Lagrange插值方法對(duì)BDS精密星歷進(jìn)行內(nèi)插，借助武漢大學(xué)IGS數(shù)據(jù)中心提供的采樣間隔為15 min的BDS精密星歷數(shù)據(jù)，用非滑動(dòng)式與滑動(dòng)式Lagrange插值方法分別對(duì)BDS精密星歷進(jìn)行內(nèi)插，結(jié)果表明，滑動(dòng)式Lagrange插值方法精度明顯優(yōu)于非滑動(dòng)式Lagrange插值方法。

1 兩種插值數(shù)學(xué)模型

1.1 Lagrange插值數(shù)學(xué)模型

假設(shè)y=f(xi)在區(qū)間[a,b]上是個(gè)實(shí)函數(shù)，xi是區(qū)間[a,b]上n個(gè)互異實(shí)數(shù)，且函數(shù)y=f(xi)在區(qū)間[a,b]上n+1階可導(dǎo)，那么在區(qū)間[a,b]上任意一點(diǎn)x的n階Lagrange插值多項(xiàng)式代數(shù)表達(dá)式為[10]

(1)

對(duì)BDS精密星歷進(jìn)行n階Lagrange內(nèi)插，可以獲取任意歷元BDS衛(wèi)星位置坐標(biāo)。選擇某一時(shí)刻t作為插值點(diǎn)，并且在進(jìn)行插值的區(qū)間中滿足：插值節(jié)點(diǎn)數(shù)≥插值階數(shù)+1[11]。在插值時(shí)選擇一個(gè)區(qū)間[t0,t1]，將t作為自變量，利用式(1)分別求出任意時(shí)刻衛(wèi)星X，Y和Z方向的坐標(biāo)分量，從而得到任意歷元衛(wèi)星的位置。任意歷元衛(wèi)星位置表示為

(2)

式中：i≠j，Xt，Yt，Zt是t時(shí)刻衛(wèi)星位置三維坐標(biāo)分量。該方法數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單，是經(jīng)典的插值方法，采用MATLAB語(yǔ)言編程實(shí)現(xiàn)。

1.2 滑動(dòng)式Lagrange插值數(shù)學(xué)模型

滑動(dòng)式Lagrange插值方法是使用Lagrange插值數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上不斷改變插值區(qū)間，使待插值點(diǎn)一直保持在插值區(qū)間的中間點(diǎn)上，以此來(lái)提高插值的精度。對(duì)BDS精密星歷進(jìn)行n階Lagrange內(nèi)插，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，生成n-1(奇數(shù))階插值多項(xiàng)式，如選擇16個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，可以生成15階插值多項(xiàng)式，此時(shí)求得的插值結(jié)果只保留第8和第9插值節(jié)點(diǎn)中間的插值結(jié)果；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，生成n-1(偶數(shù))階插值多項(xiàng)式，如選擇15個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，可以生成14階插值多項(xiàng)式，此時(shí)求得的插值結(jié)果只保留第7和第8、第8和第9插值節(jié)點(diǎn)中間的插值結(jié)果?；瑒?dòng)式Lagrange插值可以抑制插值區(qū)間兩端插值結(jié)果的震蕩[11]，使插值精度達(dá)到最優(yōu)，其插值設(shè)計(jì)如圖1所示。

圖1 滑動(dòng)式 Lagrange插值設(shè)計(jì)

2 實(shí)例測(cè)試與分析

為了得到任意歷元BDS衛(wèi)星位置坐標(biāo)，選取由武漢大學(xué)IGS數(shù)據(jù)中心(http://www.igs.gnsswhu.cn)提供的采樣間隔為15min精密星歷數(shù)據(jù)，起始?xì)v元為2017-06-02 00:00:00，終止歷元為2017-06-02 23:30，以每30 min間隔的衛(wèi)星三維坐標(biāo)作為已知插值節(jié)點(diǎn)，以每15 min間隔的衛(wèi)星三維坐標(biāo)作為真值，將計(jì)算得到的內(nèi)插值與真值進(jìn)行求差得到殘差，以殘差的均方差根作為插值效果的精度因子。由于BDS包含不同軌道衛(wèi)星，為了驗(yàn)證插值方法對(duì)于不同衛(wèi)星的影響，采用非滑動(dòng)式與滑動(dòng)式Lagrange插值方法分別對(duì)北斗GEO、IGSO、MEO 3種不同類型衛(wèi)星進(jìn)行內(nèi)插，分析不同插值方法、不同階數(shù)對(duì)衛(wèi)星類型、插值精度產(chǎn)生的影響，具體操作流程如圖2所示[12]。實(shí)驗(yàn)中任選PC02(GEO)、PC06(IGSO)、PC12(MEO)3顆衛(wèi)星進(jìn)行插值，插值結(jié)果如表1、表2和表3所示。

圖2 精密星歷內(nèi)插流程

2.1 GEO衛(wèi)星精密星歷內(nèi)插精度分析

對(duì)于非滑動(dòng)式Lagrange插值方法，從表1和圖3中可以看出， GEO衛(wèi)星的插值精度隨著插值階數(shù)的增加而改變。GEO衛(wèi)星X和Y坐標(biāo)分量在插值階數(shù)為8階時(shí)插值效果最佳，Z坐標(biāo)分量在插值階數(shù)為7階時(shí)插值效果最佳。插值階數(shù)在5～7階變化時(shí)，GEO衛(wèi)星三維坐標(biāo)分量隨著插值階數(shù)的增加RMS值逐漸變小，插值效果逐漸變好；插值階數(shù)在8～20階變化時(shí)，GEO衛(wèi)星三維坐標(biāo)分量隨著插值階數(shù)的增加RMS值逐漸增大，精度效果逐漸變差。從圖4可以看出，對(duì)于滑動(dòng)式Lagrange插值方法，GEO衛(wèi)星插值精度隨著插值階數(shù)的增加，插值效果先逐漸變好，最后趨于穩(wěn)定。GEO衛(wèi)星在插值階數(shù)為7～20階時(shí)三維坐標(biāo)分量的插值精度都能達(dá)到亞mm級(jí)的精度，且精度效果相當(dāng)，RMS值趨于穩(wěn)定。

通過(guò)表1數(shù)據(jù)對(duì)比可以看出，非滑動(dòng)式Lagrange插值方法精度達(dá)到最佳時(shí)，GEO衛(wèi)星X，Y，Z坐標(biāo)分量殘差RMS值分別為1.33 mm、0.65 mm、0.61 mm，而滑動(dòng)式Lagrange插值方法精度最佳時(shí)GEO衛(wèi)星X，Y，Z坐標(biāo)分量殘差RMS分別為0.20 mm、0.23 mm、0.22 mm，插值精度效果有較大幅度的提高。從圖5可以看出，GEO衛(wèi)星9階滑動(dòng)式Lagrange插值的殘差在區(qū)間[-1,1]范圍內(nèi)波動(dòng)，三維坐標(biāo)分量插值殘差波動(dòng)幅度相當(dāng)。

表1 GEO衛(wèi)星兩種方法內(nèi)插結(jié)果 mm

表2 IGSO衛(wèi)星兩種方法內(nèi)插結(jié)果 mm

表3 MEO衛(wèi)星兩種方法內(nèi)插結(jié)果 mm

2.2 IGSO衛(wèi)星精密星歷內(nèi)插精度分析

對(duì)于非滑動(dòng)式Lagrange插值方法，從表2和圖6中可以看出， IGSO衛(wèi)星X坐標(biāo)分量在插值階數(shù)為11～16階、Y坐標(biāo)分量在10～14階、Z坐標(biāo)分量在7～16階時(shí)插值精度能達(dá)到mm級(jí)。X和Y坐標(biāo)分量在12階時(shí)插值精度最高，Z坐標(biāo)分量在10階時(shí)插值精度最高。X和Y坐標(biāo)分量在插值階數(shù)為5～12階時(shí)，隨著插值階數(shù)的增加精度效果逐漸提高，在插值階數(shù)為13～20階時(shí)，隨著插值階數(shù)的增加精度逐漸降低。Z坐標(biāo)分量在插值階數(shù)為5～10階時(shí)，隨著插值階數(shù)的增加精度逐漸提高，在11～20階時(shí)，隨著插值階數(shù)的增加精度逐漸降低。對(duì)于滑動(dòng)式Lagrange插值方法，從圖7可以看出，IGSO衛(wèi)星在插值階數(shù)為9～20階時(shí)三維坐標(biāo)分量的插值精度能達(dá)到mm級(jí)，隨著插值階數(shù)的增加，RMS值趨于穩(wěn)定，衛(wèi)星三維坐標(biāo)分量插值效果相當(dāng)。

圖3 GEO衛(wèi)星非滑動(dòng)式插值效果

圖4 GEO衛(wèi)星滑動(dòng)式插值效果

圖5 GEO衛(wèi)星9階滑動(dòng)式插值殘差分布圖

通過(guò)表2數(shù)據(jù)對(duì)比可以看出，非滑動(dòng)式Lagrange插值方法精度達(dá)到最佳時(shí)，GEO衛(wèi)星X,Y,Z坐標(biāo)分量殘差RMS值分別為1.09 mm、2.43 mm、0.49 mm，而滑動(dòng)式Lagrange插值方法精度最佳時(shí)GEO衛(wèi)星X,Y,Z坐標(biāo)分量殘差RMS值分別為0.24 mm、0.25 mm、0.32 mm，插值效果最優(yōu)時(shí)，滑動(dòng)式效果插值精度更佳。從圖8可以看出，IGSO衛(wèi)星9階滑動(dòng)式Lagrange插值的殘差在區(qū)間[-4,4]范圍內(nèi)波動(dòng)，三維坐標(biāo)分量插值殘差波動(dòng)幅度相當(dāng)。

2.3 MEO衛(wèi)星精密星歷內(nèi)插精度分析

對(duì)于非滑動(dòng)式Lagrange插值方法，從表3和圖9中可以看出，MEO衛(wèi)星三維坐標(biāo)插值階數(shù)過(guò)低或過(guò)高，插值精度效果都較差。MEO衛(wèi)星X和Y坐標(biāo)分量只有在插值階數(shù)為12階時(shí)表現(xiàn)出cm級(jí)的精度、Z坐標(biāo)分量在10～14階表現(xiàn)出cm級(jí)精度。在階數(shù)為7～12階時(shí)，MEO衛(wèi)星X和Y坐標(biāo)分量隨著插值階數(shù)的提高，插值精度效果逐漸變好，在階數(shù)為7～11階時(shí)，MEO衛(wèi)星Z坐標(biāo)分量隨著插值階數(shù)的提高，插值精度效果變好。在階數(shù)為13～20階時(shí)，隨著插值階數(shù)的增加，三維坐標(biāo)分量插值精度效果都變差。對(duì)于滑動(dòng)式Lagrange插值方法，從圖10可以看出，MEO衛(wèi)星在插值階數(shù)為11～20階時(shí)三維坐標(biāo)分量的插值精度都能達(dá)到mm級(jí)的精度。隨著插值階數(shù)的增加，三維坐標(biāo)分量的殘差RMS值逐漸變小，最后趨于穩(wěn)定。

圖6 IGSO衛(wèi)星非滑動(dòng)式插值效果

圖7 IGSO衛(wèi)星滑動(dòng)式中插值效果

圖8 IGSO衛(wèi)星9階滑動(dòng)式插值殘差分布圖

通過(guò)表3數(shù)據(jù)對(duì)比可以看出，非滑動(dòng)式Lagrange插值方法精度達(dá)到最佳時(shí)，GEO衛(wèi)星X,Y,Z坐標(biāo)分量殘差RMS值分別為92.99 mm、79.23 mm、7.40 mm，而滑動(dòng)式Lagrange插值方法插值精度最佳時(shí)GEO衛(wèi)星X,Y,Z坐標(biāo)分量殘差RMS值分別為0.98 mm、0.69 mm、0.38 mm。從圖11可以看出，MEO衛(wèi)星13階滑動(dòng)式Lagrange插值的殘差在區(qū)間[-10,8]范圍內(nèi)波動(dòng)，Y坐標(biāo)分量殘差波動(dòng)相對(duì)劇烈些。

圖9 MEO衛(wèi)星非滑動(dòng)式插值效果

圖10 MEO衛(wèi)星滑動(dòng)式內(nèi)插效果

圖11 MEO衛(wèi)星13階滑動(dòng)式插值殘差分布圖

3 結(jié)束語(yǔ)

基于非滑動(dòng)式和滑動(dòng)式Lagrange插值方法，分別對(duì)BDS的GEO、IGSO、MEO 3種不同類型衛(wèi)星精密星歷的三維坐標(biāo)進(jìn)行內(nèi)插，實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析表明：

1)非滑動(dòng)式Lagrange插值方法內(nèi)插BDS衛(wèi)星精密星歷時(shí)，插值階數(shù)過(guò)低或者過(guò)高，插值精度效果都較差；滑動(dòng)式Lagrange插值方法隨著插值階數(shù)的提高，插值精度效果逐漸變好，最后趨于穩(wěn)定。對(duì)于不同類型衛(wèi)星插值精度達(dá)到最佳時(shí)，插值階數(shù)不相同，同一類型衛(wèi)星不同的坐標(biāo)分量插值達(dá)到最佳精度時(shí)的插值階數(shù)也不相同。

2)非滑動(dòng)式Lagrange插值方法對(duì)GEO衛(wèi)星在6階時(shí)達(dá)到mm級(jí)精度，對(duì)IGSO在11階時(shí)達(dá)到mm級(jí)精度，對(duì)MEO衛(wèi)星在12階時(shí)達(dá)到cm級(jí)精度；滑動(dòng)式Lagrange插值方法，對(duì)GEO衛(wèi)星在6階時(shí)達(dá)到mm級(jí)精度，對(duì)IGSO衛(wèi)星在9階時(shí)達(dá)到mm級(jí)精度，對(duì)MEO衛(wèi)星在11階達(dá)到mm級(jí)精度。不同插值方法在同一插值階數(shù)時(shí)，滑動(dòng)式Lagrange插值方法插值精度明顯優(yōu)于非滑動(dòng)式Lagrange插值方法。