(西安工程大學(xué) 電子信息學(xué)院，陜西 西安 710048)

塔吊也稱塔式起重機，屬于非連續(xù)性搬運重型機械，是一種起重臂安裝在機身頂部，并且起重臂可以旋轉(zhuǎn)工作的機械。它常用于房屋建造和橋梁建造等場所，可以有效地節(jié)省人力、降低成本、提高速率[1]。塔式起重機主要包含一個小車，可在水平面上平移。有效載荷通過電纜連接到小車上，然后將物體掛在繩索上，其長度可以通過提升機構(gòu)來改變。在很早的時候，主要靠有技術(shù)的人員通過駕駛來最小化擺動的幅度，但是人力操作難免會有誤差，有時會造成很大的損失[2]。

近些年來，人們越來越重視塔吊的安全系統(tǒng)，文獻[3]對塔吊防碰撞算法進行研究，增加了時間域，建立了四維模型，利用ZigBee技術(shù)實現(xiàn)防碰撞；文獻[4]對塔吊工作時的圖像進行跟蹤，使用Camshift技術(shù)實時跟蹤圖像；文獻[5]對塔吊進行了模糊化的防擺動控制，雖然可以對擺動進行抑制，但會導(dǎo)致控制精度降低。為了更加高效地抑制塔吊工作時的擺動現(xiàn)象，本系統(tǒng)設(shè)計了LQR(Linear Quadratic Regulator)塔吊防擺動控制器，增加了系統(tǒng)的精度，對塔吊消擺有著十分重要的意義。

1 塔吊系統(tǒng)模型建立

塔吊的工作對于物體的穩(wěn)定度和準確度要求很高，通過控制塔吊的變幅和回轉(zhuǎn)將物體送往指定的地點。物體在進行垂直運動時擺動基本為零，在進行水平運動時不僅小車準確定位，還要實現(xiàn)物體到達指定位置時的擺動為零。從動力學(xué)的方面考慮塔吊的模型，通過對物體受力分析，建立變幅運動時的簡化模型,利用拉格朗日方程對其進行分析，拉格朗日對于多自由度的系統(tǒng)研究十分方便[6-7]，如圖1所示。

圖1 塔吊模型圖

設(shè)圖中小車的質(zhì)量為M,載荷的質(zhì)量為m。參考點到小車的距離為X,懸掛物體的繩長為l，物體與YOZ面的夾角為α，與XOZ面的夾角為φ，塔吊旋轉(zhuǎn)角為θ。不計風(fēng)力和空氣阻尼，塔吊系統(tǒng)是一個多變量動力學(xué)模型，采用拉格朗日方程如式(1)所示。

(1)

式中,L被稱為拉格朗日算子；q表示x(t)和φ(t)的自由度；T表示系統(tǒng)的動能；V表示物體的勢能；Q表示在自由度q所產(chǎn)生的力。由圖1所示，在系統(tǒng)中，負載和小車位置向量為

r={X-lcosαsinφ,lsinα,-lcosαcosφ}

(2)

rx={x,0,0}

(3)

系統(tǒng)的動能為

(4)

系統(tǒng)的勢能為

V=-mglcosαcosφ

(5)

(1) 由于滑軌的摩擦力較小，忽略系統(tǒng)的摩擦力，q(t)=x(t)廣義坐標下的拉格朗日方程為

mφ″lcosαcosφ)+Mx″=F(x)

(6)

(2)q(t)=α(t)廣義坐標下的拉格朗日方程為

x″lsinα-lφ′2sinαcosαcos2φ+lφ′2sinαcosαsin2φ-

lα′φ′cos2α-2x′lφ′sinαcosφ+2α′xlφ′sinαcosφ+

mglsinαcosφ=0

(7)

(3)q(t)=φ(t)廣義坐標下的拉格日方程為

φ″lcosαcosφ+2x′lsinαcosφ+x″cosαsinφ-

2x′lφ′2·cosαsinφ-2α′xlφ′2cosαsinφ+gcosαsinφ=0

(8)

由于現(xiàn)實生活中塔吊在變幅運動時的角度α一般特別小，且在平衡位置的角度為0。所以在式(8)中α∝0，sinα=α,cosα=1;系統(tǒng)研究中進行簡化，只研究自由度x(t)和φ(t)的情況。得到方程組

(9)

對式(9)進行變換得到

(10)

建立系統(tǒng)狀態(tài)方程：

(11)

式中，X=[x,x′,φ,φ′]T,u=F；Y=[x,φ]T。有

(12)

2 LQR最優(yōu)控制

2.1 塔吊線性二次最優(yōu)控制器

如果所研究的系統(tǒng)是線性的，且性能指標為狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)，則最優(yōu)控制型問題被稱作是控制型問題。由于線性二次型問題的最優(yōu)解具有統(tǒng)一的解析表達式，且可導(dǎo)致一個簡單的線性狀態(tài)反饋控制律，易于構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)反饋，便于工程的實現(xiàn)，所以在實際生活中被普遍應(yīng)用[8]。如式(11)所示，本系統(tǒng)的狀態(tài)方程是一個標準的線性二次型問題，構(gòu)建最優(yōu)性能指標函數(shù)如式(13)所示。

(13)

塔吊控制系統(tǒng)是一個單輸入雙輸出的系統(tǒng)，如果采用經(jīng)典控制的PID控制需要兩個控制器反饋校正裝置，本系統(tǒng)用LQR只需一個即可，只要是上述的J函數(shù)在最小處[9]。控制結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

圖2 LQR控制結(jié)構(gòu)框圖

2.2 塔吊線性二次最優(yōu)控制器設(shè)計

線性二次型最優(yōu)控制是基于空間設(shè)計優(yōu)化的動態(tài)控制器，具有狀態(tài)反饋的線性最優(yōu)控制系統(tǒng)，在Matlab中調(diào)用形式為

[K,S,E]=lqr(A,B,Q,R,N)

(14)

式中，A為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣；B為系統(tǒng)的輸出矩陣；Q為給定的半正定實對稱矩陣;R為給定的正定實對稱矩陣；N代表一般大加權(quán)矩陣；K為最優(yōu)反饋矩陣；S為最Riccati的唯一正定解P；E為矩陣A-BK的特征值[10]。通過設(shè)計比較，本系統(tǒng)采用輸入反饋，系統(tǒng)的性能指標為

(15)

(16)

3 系統(tǒng)仿真

由圖3(a)可以看出，當(dāng)時間到達18 s時，系統(tǒng)的擺動距離基本趨于穩(wěn)定在5 m處，擺角在-1°～1°之間徘徊。所以選取的Q11陣依舊有問題，應(yīng)當(dāng)繼續(xù)修改，通過不停的修改，Q12設(shè)定為x=100，y=30000時的圖像如圖3(b)所示,當(dāng)時間為13 s的時候擺動具體曲線趨于穩(wěn)定在0.5 m，擺角曲線在12 s的時候便穩(wěn)定在了0，超調(diào)量和穩(wěn)定時間也符合設(shè)計要求，所以選取Q12為下面實驗采用的LQR最優(yōu)控制器參數(shù)。

LQR控制器設(shè)計完成后，對PID控制和LQR控制時系統(tǒng)擺動長度和擺角的性能進行比較。對PID參數(shù)進行選取，經(jīng)過不停整定，得到一組最優(yōu)參數(shù)，其中KP=12，Ki=0.23，KD=0.01[11]。首先選取m=20 kg，l=5 m,分別用兩種方法進行控制，得到圖4所示的控制曲線；然后再選取m=20 kg，l=10 m，分別用兩種方法進行控制，得到圖5所示的控制曲線。

根據(jù)仿真結(jié)果(圖4和圖5)，對兩種控制方法進行性能匯總，得到匯總表如表1所示。其中物體的質(zhì)量選取為20 kg,通過擺長觀察性能指標。

由表1中的數(shù)據(jù)分析可得，PID控制控制位移超調(diào)量雖然很小，但是這種控制方式擺動角度過大，穩(wěn)定時間也過長，實際運用時會導(dǎo)致塔吊無法快速穩(wěn)定下來，且角度相比于LQR控制明顯增加許多，所以LQR最優(yōu)控制器為理想的控制器。

圖3 LQR控制器設(shè)計圖

圖4 m=20 kg，l=5 m時控制曲線圖

圖5 m=20 kg，l=10 m時控制曲線圖

控制方法擺長距離/m擺長超調(diào)量/rad擺動最大角度/rad擺動穩(wěn)定時間/s控制條件l=5l=10L=5l=10l=5l=10l=5l=10PID性能指標0.590.600.110.270.700.422726LQR性能指標0.580.570.340.350.350.211817

4 結(jié)束語

針對復(fù)雜的塔吊控制系統(tǒng)，利用拉格朗日方程對其模型進行分析，得到了系統(tǒng)狀態(tài)變量方程，然后對系統(tǒng)設(shè)計LQR最優(yōu)控制器，通過仿真實驗，得到預(yù)期結(jié)果。本系統(tǒng)的優(yōu)點有以下3點：

① 使系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)更加簡化，建模更加簡單清楚；

② PID控制建模簡單，但最優(yōu)參數(shù)選擇困難，LQR最優(yōu)控制器參數(shù)容易整定選??；

③ 應(yīng)用LQR這種方法對系統(tǒng)進行防擺抑制，精度更高，擺角抑制更加明顯。