王凱東，李宏浩

(沈陽工業(yè)大學(xué) 國家稀土永磁電機(jī)工程技術(shù)研究中心，沈陽 110870)

0 引 言

永磁同步電機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡單、運(yùn)行可靠，高效率等特點(diǎn)，在牽引系統(tǒng)、高精密控制系統(tǒng)等場合廣泛應(yīng)用，特別是在高精度數(shù)控機(jī)床。采用永磁同步電機(jī)直接驅(qū)動(dòng)的伺服系統(tǒng)中，不需要經(jīng)過機(jī)械傳動(dòng)結(jié)構(gòu)，負(fù)載與永磁同步電機(jī)直接相連。但采用這種直接連接的方式也帶來許多問題，如負(fù)載擾動(dòng)、參數(shù)變化等，這對(duì)所設(shè)計(jì)的控制器能否保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和抗干擾性能提出了更高的要求。因此，高精度永磁同步伺服電機(jī)系統(tǒng)必須滿足低速重切削、高速重加工以及負(fù)載突然變化系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性，也就是要求系統(tǒng)具有一定的魯棒性。在實(shí)際應(yīng)用中,不可避免地存在外界擾動(dòng)以及系統(tǒng)不確定性, 而模型預(yù)測控制由于能夠方便地處理各種約束。因此,魯棒預(yù)測控制作為模型預(yù)測控制的重要分支,近年來受到各界的廣泛關(guān)注[1-2]。

由于可以方便地描述非線性對(duì)象以及參數(shù)變化對(duì)象等,不確定系統(tǒng)的預(yù)測控制器設(shè)計(jì)獲得普遍應(yīng)用[3-6]。文獻(xiàn)基于不變集理論,采用LMI方法設(shè)計(jì)了魯棒控制器，考慮了H∞指標(biāo)下的有約束預(yù)測控制問題。

文獻(xiàn)[4]考慮了H∞指標(biāo)下的有約束預(yù)測控制問題.文獻(xiàn)[6]通過離線設(shè)計(jì)兩個(gè)橢圓不變集以降低設(shè)計(jì)的保守性,進(jìn)而提出一種有界擾動(dòng)系統(tǒng)的高效魯棒預(yù)測控制器(SD-ERPC)的設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[7]基于微分幾何理論，把系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化為線性模型而設(shè)計(jì)的H∞魯棒控制器。

在實(shí)際應(yīng)用中,人們通?？梢赃x取H2性能指標(biāo)來設(shè)計(jì)魯棒控制器以獲得較好的閉環(huán)控制性能。但是,外界擾動(dòng)也是必須設(shè)計(jì)考慮的因素,否則可能會(huì)對(duì)整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)性能和穩(wěn)定性造成潛在的威脅。因此,對(duì)于實(shí)際應(yīng)用而言,如何在控制器的設(shè)計(jì)中有效地平衡H2和H∞性能指標(biāo)是一個(gè)重要問題。因此,在魯棒控制領(lǐng)域,一些研究者很自然的想到將二者結(jié)合。文獻(xiàn)[8]針對(duì)有擾動(dòng)的線性定常系統(tǒng)采用混合指標(biāo)方法進(jìn)行魯棒預(yù)測控制器設(shè)計(jì), 并將其應(yīng)用到懸掛系統(tǒng)的控制中。文獻(xiàn)[9]的設(shè)計(jì)將給定的H2性能指標(biāo)作為前提條件,通過在線優(yōu)化H2性能指標(biāo)來決定系統(tǒng)的當(dāng)前控制量,可以起到平衡系統(tǒng)的魯棒性和閉環(huán)控制性能的作用。但是,由于文獻(xiàn)[10]仍然采用文獻(xiàn)[4]中的反饋律和Lyapunov函數(shù)的設(shè)計(jì),其設(shè)計(jì)的保守性將導(dǎo)致系統(tǒng)較小可行域和較差的閉環(huán)控制性能。

因此，本文提出了一種基于LMI的混合H2/H∞的永磁同步伺服系統(tǒng)的魯棒預(yù)測控制器，該控制器針永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng),將混合的H2/H∞性能指標(biāo)與模型預(yù)測控制方法相結(jié)合,并且使用LMI進(jìn)行求解，使得系統(tǒng)具有較好的魯棒性能和穩(wěn)定性,同時(shí)具有良好的跟蹤性能和較強(qiáng)的抗干擾能力。

1 永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

永磁同步電機(jī)的在d-q坐標(biāo)下的動(dòng)態(tài)方程

(1)

永磁同步伺服電機(jī)是一個(gè)非線性、強(qiáng)耦合系統(tǒng),并且為隱極式永磁同步電機(jī)，即Ld=Lq,采用id=0的控制策略，則永磁同步電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩方程可以簡化為

(2)

運(yùn)動(dòng)方程

(3)

利用向前差分對(duì)狀態(tài)方程離散化,得到以下離散化模型：

(4)

(5)

其中，s(k)=[id,iq,ωiq,ω]；u(k)=[ud,uq]；ω(k)=[0,0,0,TL]。式中，ud、uq、id、iq、Ld、Lq分別為d、q軸上的定子電壓、電流和電感；Rs為定子相繞組電阻；ψf為永磁磁鏈；ω為轉(zhuǎn)子角速度；J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；B為粘滯摩擦系數(shù)；Te為電磁轉(zhuǎn)矩；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；np為極對(duì)數(shù)；t為時(shí)間步長。

2 基于LMI的混合H2/H∞魯棒預(yù)測控制器的設(shè)計(jì)

(1)H∞性能指標(biāo),即擾動(dòng)ω(k)到系統(tǒng)輸出z(k)的傳遞函數(shù)Tzω滿足

‖Tzω‖∞≤γ

(6)

(2)H2性能指標(biāo),即系統(tǒng)輸出z(k)滿足

(7)

基于上述設(shè)計(jì)目標(biāo)，一般事先給定其中的一個(gè)性能指標(biāo)，優(yōu)化另一個(gè)指標(biāo)來設(shè)計(jì)控制器。文獻(xiàn)[8]通過擴(kuò)展文獻(xiàn)[3]的方法給出了針對(duì)線性定常系統(tǒng)的混合H2/H∞魯棒預(yù)測控制的方法,并未考慮系統(tǒng)的不確定性。對(duì)于文獻(xiàn)[9]的方法由于擾動(dòng)的存在無法保證系統(tǒng)的遞歸可行性。鑒于以上問題,本文提出了一種混合H2/H∞的魯棒預(yù)測控制綜計(jì)方法。

對(duì)控制策略中的反饋控制律u(k)=kx(k),設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)V(x)=xTPx,且P>0。令φ(k)=A(k)+B(k)K，則

(8)

其中，

(9)

上式可轉(zhuǎn)化

(10)

由式(10)可知：

(1)根據(jù)魯棒控制理論,性能指標(biāo)即擾動(dòng)ω(k)到系統(tǒng)輸出z(k)的傳遞函數(shù)Tzω滿足‖Tzω‖∞≤γ；因此，當(dāng)x(0)=0時(shí)擾動(dòng)到輸出的傳遞性能為

(11)

所以若式(10)中M(k)≤0成立,則式(11)得以滿足,即H∞性能指標(biāo)得以滿足。

(2)當(dāng)M(k)≤0時(shí)，若

(12)

滿足,則H2性能指標(biāo)得以滿足。其中M(k)≤0可改寫為

(13)

式(13)可以轉(zhuǎn)化為

(14)

應(yīng)用Schur補(bǔ)性質(zhì),式(13)可寫成LMI形式

(15)

由式(14)可知,如果不確定系統(tǒng)模型的每個(gè)頂點(diǎn)都滿足式(14),則其凸組合也必然滿足式(14)。令Q=αP-1,K=YQ-1并將式(14)左、右乘以diag(P-1,I,I,I,I),可得若

(16)

滿足，則式(14)可以滿足。

考慮系統(tǒng)的不確定性時(shí),式(16)即退化為文獻(xiàn)[8]中的結(jié)論。綜上所述,當(dāng)系統(tǒng)滿足式(15)和式(16)時(shí),系統(tǒng)同時(shí)滿足H2和H∞的性能指標(biāo)。

3 系統(tǒng)可行性條件

考慮式(8),式(12)和式(15)可知,式(15)僅僅保證M(k)≤0。由式(8)可知,由于擾動(dòng)存在,式(11)和式(12)不能保證γ2ωT(k)ω(k)-zT(k)z(k)<0始終成立。也就是說,當(dāng)擾動(dòng)存在時(shí),不能保證Lyapunov函數(shù)遞減。因此,即便M(k)≤0,V(x(k+1))-V(x(k))≤0不是始終成立。這也就意味著,即便當(dāng)前狀態(tài)x(k)屬于集合{x|xTQ-1x≤1},下一時(shí)刻狀態(tài)x(k+i)不能保證屬于{x|xTQ-1x≤1}。文獻(xiàn)[8]并沒有注意到這個(gè)問題,因此其算法不能保證遞歸可行性。設(shè)當(dāng)前系統(tǒng)狀態(tài)為x(k), 則下一時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)為φ(k)x(k)+Bωω(k),令V(k)=Bωω(k),x(k+1)為名義系統(tǒng)狀態(tài),要使系統(tǒng)狀態(tài)x(k+1)處于橢圓內(nèi),即要求xT(k+1)Q-1x(k+1)≤xT(k)Q-1x(k)≤1,等價(jià)于

(17)

[Bωω(k)ω(k)]T[Bωω(k)ω(k)]≤λωmaxI

式(18)可分解為

(18)

(19)

其中0≤α≤1，如果保證式(18)和式(19)成立，則式(17)成立，既保證了系統(tǒng)狀態(tài)x(k+1)處于橢圓里面。α為給定量，并且式(19)等價(jià)于

(20)

由文獻(xiàn)[10]，若

π=(1-α)(Q-λωmaxIα-1),i=1,2,…

(21)

成立，則是式(16)和式(19)成立。

如果系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)x(k)滿足式 (15), 則其處于集合{x|xTQ-1x≤1}中; 如果同時(shí)式 (18) 和式(19) 也滿足, 則可保證x(k+1)仍處于該集合中。 因?yàn)?1-α)Q≥(1-α)(Q-ωmaxIα-1), 由式 (21) 可得, 較大的α?xí)斐上到y(tǒng)可行域減小。

類似文獻(xiàn)[3]，對(duì)于集合{x|xTQ-1x≤1}，如果滿足

(22)

可以滿足，則約束條件式(4)可以保證，其中Zii為矩陣Z的對(duì)角線元素。對(duì)于約束條件(5)可以類似表示為

(23)

綜上所述，當(dāng)給定H∞性能指標(biāo)γ，可以表示為

(24)

s.t.式(21)，式(22)，式(23)

式(24)中，式(21)保證了系統(tǒng)H2/H∞指標(biāo)，式(22)、式(23)保證系統(tǒng)輸出和輸入的約束。通過LMI求解工具，解出預(yù)測控制器K。

對(duì)于控制器(24),給定H2指標(biāo)α，反過來也可以類似地給定H∞指標(biāo)γ為優(yōu)化目標(biāo)得到H∞魯棒預(yù)測控制器。

定理1 對(duì)于系統(tǒng)(5),在k時(shí)刻，式(23)可行，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

4 仿真及分析結(jié)果

為了驗(yàn)證混合H2/H∞魯棒預(yù)測控制器有效性，采用Matlab/Simulink進(jìn)行仿真研究。PMSM伺服系統(tǒng)的參數(shù)為:磁鏈ψf=0.812 Wb，定子電阻Rs=0.506Ω,電感0.6385mH。帶入離散狀態(tài)方程，得到狀態(tài)方程參數(shù)分別為

根據(jù)式(22)，利用Matlab自帶的LMI工具箱進(jìn)行求解，求得的混合H2/H∞魯棒預(yù)測控制器K為

圖1、圖2分別為采用PI調(diào)節(jié)器和魯棒預(yù)測控制器K的閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線，從圖中可以看出永磁電機(jī)在空載下，采用魯棒預(yù)測控制器K時(shí)的閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)要比采用PI調(diào)節(jié)器快，超調(diào)量小，且不影響其穩(wěn)定性，改善了永磁伺服電機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)能力，滿足其對(duì)快速性的要求。

由于永磁伺服電機(jī)系統(tǒng)易受負(fù)載擾動(dòng)的影響。因此，當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，負(fù)載轉(zhuǎn)矩突然變大。采用混合H2/H∞魯棒預(yù)測控制器K所得到的閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖3所示。仿真結(jié)果表明，當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩發(fā)生較大變化，所設(shè)計(jì)的控制器K仍能使閉環(huán)系統(tǒng)在較短時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，而且超調(diào)較小，這說明伺服系統(tǒng)對(duì)參數(shù)變化具有較強(qiáng)的魯棒穩(wěn)定性。

在t=0.3s時(shí)加擾動(dòng)TL=2Te，混合H2/H∞魯棒預(yù)測控制器閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖4所示。仿真結(jié)果表明，在突加負(fù)載擾動(dòng)情況下，閉環(huán)系統(tǒng)仍能短時(shí)間內(nèi)恢復(fù)穩(wěn)定，說明系統(tǒng)具有較強(qiáng)的抗干擾能力，滿足了永磁電機(jī)伺服系統(tǒng)對(duì)抗干擾能力的要求。

圖1 閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線(PI調(diào)節(jié)器)

圖2 閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線(魯棒預(yù)測)

圖3 閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線(混合H2/H∞魯棒)

圖4 t=0.3s閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線(混合H2/H∞魯棒)

5 結(jié) 論

由于數(shù)控車床采用永磁電機(jī)直接驅(qū)動(dòng)技術(shù)，因而易受外界及自身擾動(dòng)的影響，這直接影響了系統(tǒng)的伺服性能。本文基于LMI設(shè)計(jì)的混合H2/H∞魯棒預(yù)測控制器同時(shí)考慮兩個(gè)重要的魯棒性能指標(biāo)，不但保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，改善了閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能，還使系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性，在一定程度上解決了快速性和魯棒性之間的矛盾，滿足了高精度直接驅(qū)動(dòng)永磁電機(jī)伺服系統(tǒng)對(duì)快速性和魯棒性的要求。