張俊暢 楊柳忠

(廣東省大埔縣虎山中學(xué) 514299)

求通項(xiàng)為等差數(shù)列與等比數(shù)列的積的數(shù)列的前n項(xiàng)和，是數(shù)列求和中的一種重要題型.在教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)，此類(lèi)問(wèn)題常用錯(cuò)位相減法解決，解法比較單一，計(jì)算量大，合并化簡(jiǎn)時(shí)，學(xué)生很容易搞錯(cuò)，那么此類(lèi)問(wèn)題還有哪些解法,他們各自的優(yōu)缺點(diǎn)在哪里，怎樣進(jìn)行合理的選擇等等，此文將對(duì)此做些研究.

以2017年天津高考理科數(shù)學(xué)18題為例：已知{an}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2+b3=12,b3=a4-2a1，S11=11b4.

(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項(xiàng)和(n∈N*).

分析由題中的條件易求an=3n-2，bn=2n.我們來(lái)重點(diǎn)關(guān)注第二個(gè)問(wèn)的求法，這里給出兩種不同解法.

一、錯(cuò)位相減法

解設(shè)數(shù)列{a2nb2n-1}的前項(xiàng)和為T(mén)n，由a2n=6n-2，b2n-1=2×4n-1，有a2nb2n-1=(3n-1)×4n，故

Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n，

4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1，

上述兩式相減，得

-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1

所以，數(shù)列{a2nb2n-1}的前項(xiàng)和為

解法提煉錯(cuò)位相減法求和是求解由等差數(shù)列與等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的和的標(biāo)準(zhǔn)解法，主要考查同學(xué)們數(shù)列公式的掌握程度和數(shù)式的運(yùn)算化簡(jiǎn)能力.同學(xué)們?cè)阱e(cuò)位相減后用等比數(shù)列求和時(shí)容易把數(shù)列的項(xiàng)數(shù)搞錯(cuò)，還有運(yùn)算化簡(jiǎn)很容易犯錯(cuò)，這也是這種方法的弊端.

二、公式法

我們發(fā)現(xiàn)由等差數(shù)列與等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列都可化為形如{(an+b)·qn-1}的形式，現(xiàn)在我們來(lái)詳細(xì)研究此類(lèi)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：

1.問(wèn)題：設(shè)cn=(an+b)·qn-1，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.

2.猜想：觀察上例，我們不難看到此類(lèi)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積與一個(gè)常數(shù)的和，嘗試幾個(gè)例子后，也有相同的結(jié)論，那么此類(lèi)問(wèn)題的一般結(jié)論是什么？它們之間到底存在怎樣的關(guān)聯(lián)呢？

3.公式推導(dǎo)：記an=an+b，bn=qn-1則

Sn=a1b1+a2b2+…+an-1bn-1+anbn…①,

qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1…②.

由②-①得：

(q-1)Sn=-a1b1-d(b2+b3+…+bn)+anbn+1

4.結(jié)論：形如{(an+b)·qn-1}的數(shù)列的前n項(xiàng)和是一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積減該一次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng).

5.應(yīng)用此結(jié)論解上題：

解設(shè)數(shù)列{a2nb2n-1}的前項(xiàng)和為T(mén)n，由a2n=6n-2，b2n-1=2×4n-1，有a2nb2n-1=(3n-1)×4n.

設(shè){(3n-1)×4n}的前n項(xiàng)和為T(mén)n=(An+B)·4n-B,

則T1=a1=4A+3B=8…①.

∵T2=a1+a2=88,∴T2=32A+15B=88…②.

由①②解得：

也可以這樣解：∵(3n-1)×4n=(12n-4)×4n-1，設(shè)其前n項(xiàng)和為T(mén)n=(An+B)·4n-B，

在這里還得說(shuō)明一下，由于此公式課本上并沒(méi)有給出，所以在做解答題時(shí)不能直接使用，但我們可以按方法1的步驟求解后，用此法來(lái)檢驗(yàn)最后結(jié)果的正誤.當(dāng)然在做此類(lèi)問(wèn)題的選擇填空題上，直接運(yùn)用公式法，可繞開(kāi)中間繁瑣的運(yùn)算化簡(jiǎn)的過(guò)程，從而快速得出準(zhǔn)確的結(jié)果，效果會(huì)比較好.

巴甫洛夫說(shuō)過(guò)：“復(fù)雜現(xiàn)象只是逐步逐段的被科學(xué)所認(rèn)識(shí)，但它總是越來(lái)越多地逐漸背科學(xué)完全掌握.”

我們?cè)跀?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與實(shí)踐中要善于觀察，求同存異，大膽猜想，勇敢探索，逐步逐段的接近真理，直至完全掌握它.這種對(duì)學(xué)生進(jìn)行逐次漸進(jìn)的解題意識(shí)和能力的培養(yǎng)，也正是新時(shí)期我們教育教學(xué)的一個(gè)努力方向.