(遼寧工程技術(shù)大學(xué) 機械工程學(xué)院，遼寧 阜新 123000)

并聯(lián)機器人具有精度高、承載能力強、剛度大、速度快的優(yōu)點，逐漸成為國內(nèi)外研究的熱點，理論也逐漸成熟，尤其對六自由度并聯(lián)機器人的研究越來越廣泛[1]。傳統(tǒng)Stewart平臺具有支鏈運動耦合、工作空間小等缺點。因為實際應(yīng)用中會有局部幾個自由度精度高于其他的自由度的應(yīng)用情況，例如大型望遠鏡的子鏡運動中，其piston 和tilt/tip方向的運動誤差對成像質(zhì)量的影響遠遠高于其他自由度方向的運動誤差，如果采用Stewart平臺，由于平臺的旋轉(zhuǎn)對稱性，為了獲得穩(wěn)定的精度和低程度的振動，需要Stewart平臺的6個驅(qū)動器的精度保持一致，為保證子鏡較高的運動精度而選擇6個高精度的驅(qū)動器很不經(jīng)濟[2]。

1 機構(gòu)介紹

1.1 機構(gòu)模型簡介

如圖1所示，為該機構(gòu)的Pro/E模型圖，該機構(gòu)在等邊三角形底座的3個角上各設(shè)置一個與之垂直的立柱，在這3個豎直圓柱副的輸出構(gòu)件的末端各固定連接一個水平移動副，每個可伸縮的水平擺臂桿與底座的三邊相應(yīng)地成一定角度；每個水平移動副的輸出構(gòu)件末端再固定連接一個球副，用來與上方動平臺連接。為了達到使機構(gòu)運動解耦的目的，每組支鏈中的兩個驅(qū)動器采用正交連接的方式，每組支鏈中的可伸縮立柱采用3個相同精度的線性步進驅(qū)動電機進行豎直方向驅(qū)動，3條水平伸縮擺臂桿采用3個相同精度的水平方向驅(qū)動的線性步進驅(qū)動電機，從而達到運動解耦的效果[3]。

圖1 機構(gòu)的模型示意圖

1.2 機構(gòu)自由度計求解

該機構(gòu)具有3條相同的支鏈，每條支鏈是由運動副和構(gòu)件按一定方式連接而成，組成閉環(huán)結(jié)構(gòu)，從定平臺到動平臺的運動副依次為：圓柱副、移動副、球副，構(gòu)成一種新型的3支鏈六自由度擺臂式并聯(lián)機器人機構(gòu)。

其自由度數(shù)可有下式核定：

(1)

式中，F(xiàn)為機構(gòu)自由度數(shù)；n為機構(gòu)中構(gòu)件數(shù)；g為機構(gòu)中運動副數(shù)；fi為機構(gòu)第i個運動副的自由度數(shù)[4]。

根據(jù)上文描述，在此機構(gòu)中n=1+3+3+1=8，g=3+3+3=9，∑fi=(2+1+3)×3=18。

可以算出：

F=6×(8-9-1)+18=6

該機構(gòu)具有6個自由度。

1.3 機構(gòu)坐標系的建立

為了便于后續(xù)的分析，建立機構(gòu)的坐標系如圖2所示。在機構(gòu)底座上建立靜坐標系O(X-Y-Z)，靜坐標系固連在定平臺上，原點O位于ΔA1A2A3外接圓圓心，X軸沿OA1方向，Z軸垂直于三角形底座豎直向上，由右手螺旋法則可獲得Y軸的方向。動坐標系O′(X′-Y′-Z′)固連于動平臺上，原點O′位于ΔC1C2C3外接圓圓心，在初始位置時與靜坐標系X軸方向一致，Z′軸垂直于動平臺豎直向上，在初始位置時與靜坐標系Z軸在同一直線上，Y′軸由右手螺旋法則獲得。

圖2 機構(gòu)簡圖及坐標系示意圖

2 機構(gòu)運動學(xué)分析

2.1 機構(gòu)反向運動學(xué)求解

對于分析機構(gòu)反向運動學(xué)問題，要根據(jù)給定的3個位置的位移變換和歐拉角變換求出機構(gòu)位置變化后連接點在靜坐標系中的坐標，通過歐氏距離公式可以得到3條豎直可伸縮立柱桿和3條水平可伸縮擺臂桿的長度變化量[5]。因此，建立機構(gòu)動平臺運動前后的相對位置變化的示意圖，如圖3所示。

圖3 機構(gòu)動平臺變化相對位置示意圖

(2)

式中，Rn為坐標變換矩陣[6]；點1′,2′,3′在靜坐標系O(X-Y-Z)中的坐標表示為xn，yn和zn，則

(3)

式中，h0為并聯(lián)機構(gòu)豎直圓柱桿的初始高度，動平臺的平移量由3個變量表示為Δx，Δy和Δz，則

(4)

式中，x，y，z為點1,2,3在靜坐標系O(X-Y-Z)中的坐標。

由于該并聯(lián)機器人的解耦特性，點1′,2′,3′的Z軸坐標只由豎直桿的高度決定，其次并聯(lián)機構(gòu)在不同姿態(tài)下水平擺臂桿的長度li為

(5)

式中，x0和y0分別代表點1,2,3在靜坐標系O(X-Y-Z)中X軸和Y軸的分量，求相應(yīng)桿長度時，分別代入桿端相應(yīng)點的坐標，初始狀態(tài)下3條水平擺臂桿的長度相同，所以3條水平擺臂桿的初始長度l0為

(6)

可以求得3條可伸縮水平擺臂桿的長度變化量Δli為

Δli=li-l0

(7)

2.2 機構(gòu)正向運動學(xué)求解

對于機構(gòu)的運動學(xué)正向運動學(xué)分析，是已知可伸縮豎直圓柱桿和可伸縮水平擺臂桿的長度h1，h2，h3和l1，l2，l3，求解機構(gòu)動平臺的位置姿態(tài)。通常情況下，給定一組豎直桿和水平桿的長度，將會有很多種平臺結(jié)構(gòu)，在數(shù)學(xué)問題中，多解是存在的，而在實踐中，具體情況只有一種。為了解決運動學(xué)正解問題，已經(jīng)研究出很多種方法，其中大多數(shù)是基于迭代的數(shù)值解法[7]。

其基本原理是，選取機構(gòu)位姿坐標作為迭代變量，以某一個適當(dāng)?shù)慕茢?shù)值作為初值，代入坐標轉(zhuǎn)換公式，解出球副點C1、C2、C3的位置坐標。依據(jù)已知的支鏈長度修正點Ci(i=1,2,3)的坐標，重新求解迭代變量，如此反復(fù)，逐次逼近C1、C2、C3的真實位置。

2.2.1 初值的賦值

根據(jù)3-CPS六自由并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)特征，和已知的水平桿、豎直桿的長度，可以采用線性近似的方法，確定初值。這里采用一種簡單的初值給定方法，稱為中立位置賦值法[8]。比較粗糙的初值，既可以檢驗算法對初值的敏感程度，也可以看出算法的廣泛適應(yīng)性。求解近似位姿的初值選取如下：

α0=0，β0=0，γ0=0

式中，α，β，γ分別為機構(gòu)動平臺繞X軸、Y軸、Z軸轉(zhuǎn)動的角度。

2.2.2 迭代求解過程

點Ci(i=1,2,3)在定坐標系O(X-Y-Z)中的坐標Ci0(i=1,2,3)，用坐標轉(zhuǎn)換公式求出Ci，新的Ci的坐標，不一定是真實的上平臺球副中心位置坐標。對于六自由度并聯(lián)機器人，需要修正Ci的3個坐標。為此做如下修正，修正后Ci的坐標為Ci0，設(shè)點Ai和Ci之間的距離為Li，則有

(8)

調(diào)整坐標后的C1、C2、C3更接近機構(gòu)中對應(yīng)的3個球鉸的真實位置。利用修正后C1、C2、C3的坐標，計算得到新的迭代變量。已知不共線的三點構(gòu)成一個平面，計算修正后的Ci0即可得到機構(gòu)的新位姿為

(9)

新的迭代變量姿態(tài)坐標

(10)

式中，γ為機構(gòu)繞Z軸轉(zhuǎn)動的角度。

已知C1、C2、C3三點不共線，以此三點代替動平臺平面，設(shè)該平面的法線方向為(NX,NY,NZ)，由三維空間幾何知識可得

(11)

式中，x1為C10x；y1為C10y；z1為C10z；以此類推。

進一步即可求得機構(gòu)繞X軸轉(zhuǎn)動的角度α和繞Y軸轉(zhuǎn)動的角度β，則

(12)

(13)

迭代次數(shù)越多，誤差越小，判斷迭代收斂的條件為

Δmax≤δ

(14)

式中，Δmax為求出的每一個新參數(shù)與上一次參數(shù)差值的絕對值中的最大值，δ作為收斂條件用于控制計算精度。

如果不符合收斂條件，則令x0=x1，y0=y1，z0=z1，α0=α1，β0=β1，γ0=γ1并重新進行迭代。如果符合收斂條件則完成迭代。

3 機構(gòu)速度和加速度分析

根據(jù)機構(gòu)位置正解和逆解的分析，將點Ci和Ai的坐標設(shè)為已知量，進一步對機構(gòu)的速度和加速度進行分析。

3.1 機構(gòu)的速度分析

由向量AiCi并代入點Ci的坐標，則

Li=R[xciycizci]T+T-OAi

(15)

對式(15)兩邊分別求導(dǎo)，由于坐標原點O到點Ai的距離不變?yōu)槌Ａ?，所以求?dǎo)后為0，則

(16)

因為機構(gòu)具有部分解耦特性，式(16)中點乘相應(yīng)的方向向量便可得到機構(gòu)水平桿和豎直桿的速度并整理，則可得

(17)

式中，ω和T的導(dǎo)數(shù)即為機構(gòu)上部動平臺的在靜坐標系下的角速度和平移速度。

3.2 機構(gòu)的加速度分析

在速度分析的基礎(chǔ)上，繼續(xù)作微分求解，即可得到機構(gòu)的加速度，由于水平桿的矢量求導(dǎo)即為向量Li的x和y分量，則可整理得出

(18)

式中，方向向量ni的導(dǎo)數(shù)為

(19)

4 數(shù)值仿真

4.1 機構(gòu)反向運動學(xué)模型的數(shù)值仿真

完成運動學(xué)求解后，對運動學(xué)的逆解進行數(shù)值驗證[9]，從并聯(lián)機構(gòu)的初始狀態(tài)開始，在X軸和Y軸方向進行[-20 mm,20 mm]的平移和[-2.86°,2.86°]的旋轉(zhuǎn)，Z軸方向進行[-10 mm,11 mm]的平移和[-2.86°,2.86°]的旋轉(zhuǎn)，如圖4～圖7所示，為4個典型的上部動平臺在X軸和Z軸方向的平移和旋轉(zhuǎn)的運動學(xué)仿真非線性關(guān)系圖，圖中act1v，act2v，act3v和act4h，act5h，act6h分別代表3個豎直方向的驅(qū)動器和3個水平方向的驅(qū)動器。

從圖4可以看出，在X和Y方向的平移運動主要由3個水平方向驅(qū)動器act4h，act5h，act6h提供。

從圖5可以看出，繞X軸和Y軸方向的旋轉(zhuǎn)運動主要由3個豎直方向驅(qū)動器act1v，act2v，act3v提供，而與Z方向的平移運動和繞Z軸的旋轉(zhuǎn)運動無關(guān)。

圖4 驅(qū)動器在X軸方向直線運動非線性關(guān)系圖

圖5 驅(qū)動器繞X軸旋轉(zhuǎn)運動非線性關(guān)系圖

圖6 驅(qū)動器在Z向直線運動非線性關(guān)系圖

圖7 驅(qū)動器繞Z軸旋轉(zhuǎn)運動非線性關(guān)系圖

從圖6和圖7可以看出，解耦特性主要在Z方向的平移和繞Z軸的旋轉(zhuǎn)，Z方向的平移運動只由3個豎直線性驅(qū)動器act1v，act2v，act3v決定，而繞Z軸的旋轉(zhuǎn)運動只由3個水平方向的線性驅(qū)動器act4h，act5h，act6h來決定，即便并聯(lián)機構(gòu)在任意其他姿態(tài)而不是初始狀態(tài)，其他驅(qū)動器也不會對Z方向的平移和繞Z軸的旋轉(zhuǎn)造成影響。

通過分析4個典型的上部動平臺在X軸和Z軸方向的平移和旋轉(zhuǎn)的運動學(xué)仿真非線性關(guān)系圖，表明該并聯(lián)機構(gòu)按照預(yù)期運動解耦，具有良好的解耦和旋轉(zhuǎn)對稱性[10]。

4.2 機構(gòu)正向運動學(xué)模型的數(shù)值仿真

在正向運動學(xué)求解的基礎(chǔ)上，通過對每一個驅(qū)動器的位移范圍進行掃描，分別對上部動平臺進行6次位移輸出，從而對機構(gòu)的線性度進行了研究，豎直驅(qū)動器運動模擬仿真圖如圖8所示，機構(gòu)運動的非線性影響如圖9所示。

圖8 豎直驅(qū)動器運動模擬仿真圖

圖9 驅(qū)動器運動線性關(guān)系影響圖

從圖8和圖9可以看出，在實際位移跨度超過[0,11]mm的范圍時，動平臺的6個位移均呈現(xiàn)出超線性，其中線性度最大的偏差為2.5%。旋轉(zhuǎn)中的非線性可以忽略不計，X和Y方向的旋轉(zhuǎn)只有約0.1‰的偏差，而Z向旋轉(zhuǎn)驅(qū)動11 mm只導(dǎo)致了小于1 arcmin的誤差[11]。

5 誤差分析

完成機構(gòu)運動學(xué)仿真分析后，對該六自由度并聯(lián)機器人驅(qū)動器的精度進行了誤差分析。采用的是蒙特卡羅(Monte Carlo，MC)仿真分析方法，MC方法同時又可稱為統(tǒng)計實驗法或隨機模擬法，是一種以概率論為理論基礎(chǔ)的可靠性評估方法，MC分析方法在機構(gòu)的精度評估中已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用[12]。

首先選定兩種自由度組合，分別是X軸和Y軸方向的移動，繞X軸和Y軸的轉(zhuǎn)動，基于高斯的中心極限定理，通過Matlab仿真軟件進行仿真計算[13]，得出并聯(lián)機器人動平臺在選定的兩種自由度組合下的誤差分布圖，X軸和Y軸方向的移動誤差分布圖如圖10所示，X軸和Y軸方向的旋轉(zhuǎn)誤差分布圖如圖11所示，可以以其標準偏差為評估值，1σ代表動平臺在X和Y方向移動1.7 μm，繞X軸、Y軸旋轉(zhuǎn)1.7 arcsec 的誤差值。

圖10 X和Y方向移動誤差分布圖

圖11 X和Y方向旋轉(zhuǎn)誤差分布圖

X和Y方向的移動是由3個水平方向的驅(qū)動器來控制的，因此從圖10可以看出3個水平方向的驅(qū)動器的誤差均勻地分布在[-7 μm,7 μm]范圍內(nèi)。

X和Y方向的旋轉(zhuǎn)是由3個豎直驅(qū)動器來控制的，因此從圖11中可以看出，3個豎直方向的驅(qū)動器的誤差均勻地分布在[-5 arcsec,5 arcsec]范圍內(nèi)。

從圖10和圖11中可以看出每個驅(qū)動器的誤差均勻地分布在一個有界范圍[-5σ,5σ]內(nèi)，并且根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，正負誤差具有對稱性[14]，所以傳遞到末端動平臺位姿誤差也是有界的。研究表明，該機構(gòu)的3個相同豎直驅(qū)動器的精度與傳統(tǒng)六自由度Stewart并聯(lián)機器人中采用的高精度驅(qū)動器精度相同，而3個水平驅(qū)動器采用3個相同的普通精度的驅(qū)動器即可滿足大型天文望遠鏡子鏡較高的運動精度，相比傳統(tǒng)六自由度Stewart并聯(lián)機器人，3-CPS并聯(lián)機器人可以用3個相同高精度驅(qū)動器和3個普通精度驅(qū)動器代替?zhèn)鹘y(tǒng)六自由度Stewart并聯(lián)機器人中6個相同高精度驅(qū)動器，從而降低了生產(chǎn)成本。

6 結(jié)束語

本文運動學(xué)分析中應(yīng)用了矩陣代數(shù)法和數(shù)值迭代法，進一步推廣了這兩種方法在并聯(lián)機器人運動學(xué)分析中的應(yīng)用，是運動學(xué)分析方便有效的工具。

通過運動學(xué)仿真分析，表明該三支鏈六自由度的并聯(lián)機構(gòu)具有獨特的運動解耦優(yōu)勢，有利于運動控制，并且具有良好的線性和旋轉(zhuǎn)對稱性，允許動平臺和底座平面共面和相互穿越，適用于工作空間高度小而位移及自轉(zhuǎn)范圍較大的場合[15]，解決了傳統(tǒng)Stewart平臺支鏈運動耦合、工作空間小的問題。

由于該機構(gòu)獨特的構(gòu)型設(shè)計，可以應(yīng)用于大型天文望遠鏡支撐平臺。通過誤差分析表明，該機構(gòu)的豎直驅(qū)動器采用3個相同的高精度驅(qū)動器，3個水平驅(qū)動器采用3個相同的普通精度驅(qū)動器即可，大大降低了生產(chǎn)成本，使得該機器人更適用于生產(chǎn)實踐。