(江南大學 輕工過程先進控制教育部重點實驗室，江蘇 無錫 214122)

永磁同步電機(PMSM)具有結構簡單、功率密度高和高效節(jié)能等優(yōu)點，在工業(yè)制造[1]、國防軍事[2]、電動汽車[3]、航空航天[4]、船舶工業(yè)[5]等領域具有良好的應用前景。高性能的PMSM調速系統(tǒng)一般都需要獲得準確的電機轉子速度和位置信息，可以通過加入機械傳感器直接獲取，但是由于傳感器的安裝，導致電機驅動系統(tǒng)的成本增加、可靠性降低和體積增大，使得PMSM的使用范圍受到了限制，一些特殊場合無法使用，因此電機的無位置傳感器控制方法受到學者們的廣泛關注[6-9]。

對于永磁同步電機控制系統(tǒng)，可從兩方面對電機轉子速度和位置信息進行估算。一是以電動機為控制對象，利用電動機本身的各種可測量物理量，來估算轉子速度和位置的策略，其代表性方法有基波反電動勢檢測法[10]、定子磁鏈估算法[11]、高頻信號注入法[12-13]等。文獻[10]采用基波反電動勢檢測法，利用繞組反電動勢與永磁轉子速度的相互關系進行估算，其原理簡單、設計方便，但在低速時容易失效。文獻[12]采用高頻信號注入法，通過注入特定形式的高頻電流，從而獲得出線端的負序電流，來估算轉子的位置信息。該方法優(yōu)點在于調速范圍寬，但對于電機的凸極效應過于敏感，且對于高頻信號的要求過于苛刻，增加了設計難度。另一面是將轉子速度和位置看成一個狀態(tài)變量，利用控制理論的各種方法進行的轉子速度和位置估算策略，其主要方法是狀態(tài)觀測器法[14-15]。狀態(tài)觀測法不僅具有動態(tài)性能好、穩(wěn)定性高的特點，而且狀態(tài)觀測器是一個在物理上易于實現(xiàn)的動態(tài)系統(tǒng)，它利用待觀測的系統(tǒng)可以量測得到的輸入和輸出信息來估算待觀測系統(tǒng)的狀態(tài)變量，以便用該組狀態(tài)變量的估計值來代替待觀測系統(tǒng)的真實狀態(tài)變量進行狀態(tài)反饋設計，對系統(tǒng)參數(shù)依賴性相對不高。

LPV方法是將非線性系統(tǒng)近似線性化的一種有效方法，通過在凸集內求解Lyapunov穩(wěn)定性條件，能實現(xiàn)參數(shù)變化時的全局魯棒穩(wěn)定性。本文結合LPV線性化方法，首先獲得永磁同步電機LPV數(shù)學模型，并以Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式為基礎，獲得閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件，然后借助奇異值分解，求取永磁同步電機的LPV觀測器反饋增益，設計LPV觀測器，實現(xiàn)電機的速度跟蹤控制，仿真結果表明，該觀測器能夠快速準確地跟蹤上電機轉速。

1 永磁同步電機數(shù)學模型

1.1 永磁同步電機傳統(tǒng)數(shù)學模型

永磁同步電機在旋轉d-q參考坐標系下定子電壓和定子磁鏈方程為

(1)

式中，ud、uq分別為d軸、q軸的定子電壓；id、iq分別為d軸、q軸的電樞電流；Ld、Lq分別為d軸、q軸的電樞電感；ψd、ψq分別為d軸、q軸的定子磁鏈；Rs為定子相電阻；ψf為永磁體磁鏈；ω為電機電角速度，有ω=pωe，其中p為電機極對數(shù)，ωe為電機轉子角速度。

由式(1)可以得出：

(2)

永磁同步電機在旋轉d-q參考坐標系下電磁轉矩方程為

Te=1.5p[(Ld-Lq)id+ψf]iq

(3)

永磁同步電機的轉子動力學方程為

(4)

式中，Te為電機的電磁轉矩；TL為電機的負載轉矩；B為電機的阻尼系數(shù)；J為電機的轉動慣量。

綜上可得，永磁同步電機在d-q參考坐標系內的數(shù)學模型方程為[16]

(5)

1.2 永磁同步電機LPV數(shù)學模型

選取轉子角速度ω為調度變量，選取狀態(tài)變量x=[id,iq,ω]T，控制輸入u=[ud,uq,TL]T，在表貼式永磁同步電機中Ld=Lq，則永磁同步電機的LPV凸多胞形模型可以表示為

(6)

其中，

如果轉子角速度ω的取值范圍已知，且ω∈[ωmin,ωmax]，滿足ω=ρ1ωmin+ρ2ωmax，其中ρ1,ρ2為權重比系數(shù)，且滿足ρ1,ρ2∈[0,1]，ρ1+ρ2=1，則以調度變量ω的取值邊界為LPV凸多胞形頂點的PMSM的LPV模型可寫為

(7)

其中，

2 LPV觀測器設計

考慮以下LPV系統(tǒng)：

(8)

式中，u∈Rm和y∈Rn分別為系統(tǒng)的控制輸入和控制輸出；θ為調度變量；A(θ)、B(θ)、C(θ)、D(θ)均為系統(tǒng)矩陣。

假定系統(tǒng)矩陣均在凸集Ω內變化，即：

[A(θ),B(θ)]∈Ω=Co{[A1,B1],[A2,B2],…,[Ak,Bk]},k≥0

(9)

當系統(tǒng)狀態(tài)量不可直接獲取時，可以選擇以下形式的狀態(tài)觀測器估計其狀態(tài)向量：

(10)

圖1為狀態(tài)觀測器結構框圖，利用原系矩陣A(θ)、B、C，實現(xiàn)對系統(tǒng)狀態(tài)信息的重構，并通過增益矩陣L(θ)調節(jié)輸出誤差，使得觀測系統(tǒng)與原系統(tǒng)的逐步逼近。

圖1 狀態(tài)觀測器結構框圖

根據(jù)式(8)和式(10)，則系統(tǒng)的狀態(tài)誤差的動態(tài)方程可以描述為

(11)

因此，觀測器的設計問題可以轉化為一個尋找能夠使系統(tǒng)(11)魯棒漸進穩(wěn)定收斂于零的參數(shù)L(θ)的問題。

定理1 對于給定的正可調參數(shù)γ∈R，如果存在對稱的正定矩陣P(θ)、矩陣Y(θ)以及單位矩陣I∈Rs×s和一個正定因子ε∈R，滿足下列不等式條件[17-18]：

P(θ)=PT(θ)，ε>0

(12)

(13)

其中,

Π(θ)=P(θ)A(θ)+AT(θ)P(θ)-Y(θ)C-CTY(θ)+εγI

則設計的LPV觀測器能夠確保觀測矩陣A(θ)-L(θ)C穩(wěn)定，同時具有較快的估計速度和估計精度。其中，* 表示矩陣對稱，從而得到LPV觀測器增益為

L(θ)=P-1(θ)Y(θ)

(14)

證明:根據(jù)式(10)中狀態(tài)誤差表達式，結合式(8)，并對其求導可得：

=[A(θ)-L(θ)C]ex

(15)

考慮誤差擾動φ，式(15)可重寫為

(16)

(17)

將式(16)帶入式(17)，有：

(18)

引理1[19]如果存在適維矩陣M、N和不確定矩陣F，以及正定標量ε，且對于F有FFT≤I，則

(MFN)T+MFN≤ε-1MMT+εNTN

(19)

令φ=γex，γ是正可調參數(shù)，使用引理1，不等式

(20)

等價于：

(21)

其中ε>0。

則只要：

AT(θ)P(θ)-CΤLΤ(θ)P(θ)+P(θ)A(θ)-
P(θ)L(θ)C+ε-1P2(θ)+εγI<0

(22)

3 仿真分析

針對永磁同步電機數(shù)學模型，設計LPV觀測器，其觀測器模型為

(23)

以永磁同步電機轉速范圍邊界為工作點的觀測器LPV頂點模型為

(24)

式中，L1、L2分別為凸多胞頂點ω=ωmin和ω=ωmax處的觀測器反饋增益矩陣，ρ1、ρ2表達式為

永磁同步電機參數(shù)表如表1所示，根據(jù)表1參數(shù)，帶入式(24)，利用定理1中的不等式條件式(12)和式(13)，分別求得電機工作在ωmin=-1000 r/min和ωmax=1000 r/min處的反饋增益矩陣：

表1 永磁同步電機參數(shù)設置

仿真選取期望轉速n=1000 r/min，在t=0.25 s時跳變?yōu)閚=-1000 r/min，負載轉矩初始值為1 N·m，在t=0.1 s時跳變?yōu)? N·m，仿真時長0.4 s，并在工作點處設計線性觀測器進行比較，對兩種方法觀測到的跟蹤曲線進行比較分析。其仿真系統(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2 仿真系統(tǒng)框圖

圖3、圖4分別為所設計無LPV結構的線性觀測器的轉速跟蹤曲線和誤差曲線，圖5、圖6分別為LPV觀測器的轉速跟蹤曲線和誤差曲線。

圖3 無LPV結構觀測器轉速跟蹤曲線

圖4 無LPV結構觀測器轉速跟蹤誤差曲線

圖5 LPV觀測器轉速跟蹤曲線

圖6 LPV觀測器轉速跟蹤誤差曲線

由圖3、圖4可以看出，無LPV結構的觀測器在負載擾動變化時，觀測轉速誤差峰峰值在4 r/min左右，轉速變化時轉速誤差峰峰值可達10 r/min以上，能較為準確地觀測出電機轉速信息，且恢復穩(wěn)定時間較長。由圖5、圖6可以看出，所設計LPV觀測器觀測到的轉速在負載擾動變化時轉速誤差峰峰值僅在1 r/min，轉速變化時轉速誤差峰峰值在4 r/min以內，不僅觀測誤差小，而且在負載變化和轉速變化時也能快速跟蹤上實際轉速，且超調小。通過圖7兩種方法的觀測誤差比較，更能直觀地看出所設計LPV觀測器在t=0.1 s轉矩變化和t=0.25 s轉速變化時依然保持對轉速的高精度跟蹤，且調節(jié)時間短，達到設計要求。

圖7 轉速跟蹤誤差對比曲線

4 結束語

針對永磁同步電機無速度傳感器矢量控制，提出了一種基于LPV結構的轉速觀測器設計方法。所提出的基于LPV模型的觀測器相對于傳統(tǒng)觀測器而言，有效解決了系統(tǒng)參數(shù)不確定性問題，提高了抗負載擾動能力，且通過仿真結果表明，該觀測器在負載擾動變化、轉速變化時依然能保持系統(tǒng)魯棒性，可快速、準確地觀測出系統(tǒng)轉速信息。