(1.蘭州交通大學(xué) 軌道交通電氣化工程實(shí)驗(yàn)室，甘肅 蘭州 730070;2.蘭州交通大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

影響列車追蹤間隔時(shí)間的因素主要有信號(hào)設(shè)備、線路條件、運(yùn)營(yíng)管理技術(shù)和行車組織方式。國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者針對(duì)不同的影響因素對(duì)列車追蹤間隔時(shí)間進(jìn)行了優(yōu)化調(diào)整[1]。

王宏剛、張琦等人采用遺傳算法建立了高速鐵路行車調(diào)整模型對(duì)高速鐵路的行車方式進(jìn)行了模擬[2]；楊欣、邵林等人采用TDE0(六段式參數(shù)配置優(yōu)化模型)對(duì)高速鐵路追蹤間隔時(shí)間的動(dòng)車組制動(dòng)能力進(jìn)行了仿真計(jì)算[3]；2014年日本學(xué)者Takagi為了使列車的追蹤距離最小采用了同步控制策略對(duì)列車追蹤間隔時(shí)間進(jìn)行了優(yōu)化[4]。

上述研究方案都是從信號(hào)設(shè)備和運(yùn)營(yíng)管理技術(shù)的角度出發(fā)對(duì)追蹤間隔時(shí)間進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整，只研究在平直道上追蹤間隔時(shí)間的計(jì)算分析，忽略了線路條件(坡道附加阻力、曲線附加阻力和隧道附加阻力)對(duì)列車追蹤運(yùn)行產(chǎn)生的影響。

本文選用CRH380A型動(dòng)車組及其運(yùn)行參數(shù)，建立列車混合優(yōu)化模型，研究在 CTCS-3級(jí)運(yùn)行條件下，通過(guò)對(duì)制動(dòng)距離進(jìn)行多階段劃分，基于動(dòng)態(tài)規(guī)劃建立動(dòng)車組追蹤間隔時(shí)間的多階段模型，采用COADP(自適應(yīng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃協(xié)同優(yōu)化算法)對(duì)線路坡度化簡(jiǎn)方案進(jìn)行優(yōu)化求解，得到追蹤間隔時(shí)間內(nèi)各階段變量的最優(yōu)解、最優(yōu)決策序列以及最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)[5-6]。最后以成渝高鐵線路數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，通過(guò)動(dòng)車組牽引計(jì)算仿真系統(tǒng)在所取的典型區(qū)間內(nèi)對(duì)追蹤間隔時(shí)間進(jìn)行仿真，得出最優(yōu)坡度下動(dòng)車組運(yùn)行的制動(dòng)距離曲線和追蹤間隔時(shí)間優(yōu)化曲線。

1 列車混合優(yōu)化模型

在不同的工況下，動(dòng)車組牽引的計(jì)算方法不同，如果牽引計(jì)算強(qiáng)調(diào)列車的單質(zhì)點(diǎn)特性，對(duì)車輛之間的車鉤力可以忽略，那么建立列車的單質(zhì)點(diǎn)模型對(duì)于簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程具有很大的意義，通常在列車運(yùn)行圖或者列車時(shí)刻表的調(diào)整中，單質(zhì)點(diǎn)模型的運(yùn)用是比較適合計(jì)算條件的；單質(zhì)點(diǎn)模型雖具有計(jì)算簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)，但不符合本文對(duì)計(jì)算精度的要求。在考慮列車長(zhǎng)度的牽引計(jì)算模型中，列車的多質(zhì)點(diǎn)模型通常是最常見(jiàn)的建模方案，在列車多質(zhì)點(diǎn)模型中，考慮每一節(jié)車輛的受力分析，對(duì)列車運(yùn)行中的每一節(jié)車輛的車鉤力都進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算的精度得到了保證，但是計(jì)算量又很大。

圖1 列車混合優(yōu)化模型受力示意圖

本文在動(dòng)車組牽引計(jì)算中，綜合考慮鐵路線路坡度節(jié)點(diǎn)和列車長(zhǎng)度的關(guān)系，建立了列車混合優(yōu)化模型，避免了高速列車實(shí)際運(yùn)行中多質(zhì)點(diǎn)模型計(jì)算量大的缺點(diǎn)，同時(shí)又對(duì)動(dòng)車組牽引計(jì)算的精確度沒(méi)有較大的影響[7]。所建立的動(dòng)車組牽引計(jì)算模型的基本思路是：將動(dòng)車組按變坡點(diǎn)劃分為相互連接的若干段，每一段中所有車輛都處在同一坡度，所以把同一坡度中的這些車輛看作一個(gè)整體，在質(zhì)量上按比例將整列車的質(zhì)量分?jǐn)傇诿總€(gè)處于同一坡段的車輛上，這樣在同一坡段中就不需要計(jì)算車輛之間的車鉤力，只在變坡點(diǎn)處計(jì)算車鉤力。這樣建立起來(lái)的列車混合優(yōu)化模型不僅簡(jiǎn)化了動(dòng)車組的牽引計(jì)算過(guò)程，合理地簡(jiǎn)化了相同坡段上列車車鉤力的計(jì)算，而且突出了在坡度節(jié)點(diǎn)處的動(dòng)車組各車輛間的縱向(車鉤力)計(jì)算。

列車混合優(yōu)化模型最突出的特點(diǎn)是大大減低了坡道附加阻力的計(jì)算過(guò)程，通過(guò)列車混合優(yōu)化模型的基本原理可以得出式(1)所示列車處在兩個(gè)不同坡段時(shí)坡道附加阻力的計(jì)算表達(dá)式：

(1)

式中，Wi1和Wi1分別為列車處于不同坡度部分的坡道附加阻力；L為列車長(zhǎng)度。在坡道附加阻力的計(jì)算中，只需要計(jì)算不同坡段中各段車輛的坡道附加阻力，然后按照列車處于不同坡段的長(zhǎng)度比例計(jì)算整個(gè)列車的坡道附加阻力[7-9]。在參考文獻(xiàn)[7]～文獻(xiàn)[9]后分析得出，如果按照本文中所取的列車編組進(jìn)行計(jì)算，以8節(jié)車輛編組計(jì)算，則列車總長(zhǎng)度為200 m左右，而以成渝高鐵的線路數(shù)據(jù)為例，最小坡長(zhǎng)為379 m，這樣整列車最多會(huì)同時(shí)占用兩個(gè)坡段，如果車輛編組為16節(jié)，那么同時(shí)占用的不同坡段也不會(huì)超過(guò)3個(gè)，即使出現(xiàn)超過(guò)3個(gè)的情況也可以按照混合優(yōu)化模型進(jìn)行分段計(jì)算。

2 不同坡度化簡(jiǎn)方案下的分段計(jì)算過(guò)程

2.1 不同坡度化簡(jiǎn)方案的多階段模型

列車制動(dòng)距離是在坡度化簡(jiǎn)后，通過(guò)牽引計(jì)算得到的各分段距離的累加和。以圖2所示的一個(gè)制動(dòng)距離內(nèi)的縱斷面分段示意圖為例，以ΔS=400 m為等間隔距離劃分列車制動(dòng)距離，并建立制動(dòng)距離的多階段決策模型。

將總長(zhǎng)3600 m的實(shí)例區(qū)段以400 m (可適當(dāng)調(diào)整)為間隔劃分為9個(gè)子階段，在每一分段上有不同的坡度、曲線以及隧道附加阻力，都會(huì)對(duì)坡度化簡(jiǎn)產(chǎn)生不同的影響，由此計(jì)算得出的制動(dòng)距離也不盡相同，在每個(gè)制動(dòng)距離上依次劃分，通過(guò)動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法求解制動(dòng)距離的最優(yōu)值函數(shù)[10]。

圖2所示的一個(gè)求制動(dòng)距離最小值的9階段決策問(wèn)題，圖中共含4段曲線，并給出了各曲線路段的參數(shù)，如第1段曲線的曲線半徑、曲線長(zhǎng)度和曲率分別為453 m、1000 m和26°；同時(shí)包含有4個(gè)坡段，如第1個(gè)坡段的坡度千分?jǐn)?shù)和坡長(zhǎng)分別為5.2和800 m。選取每一階段的初始運(yùn)行速度作為每一個(gè)階段的狀態(tài)變量xk，每一階段的運(yùn)行距離作為每一個(gè)階段的階段變量，則可以得出圖3所示的動(dòng)態(tài)規(guī)劃多階段模型圖。通過(guò)COADP算法求解得到每一個(gè)階段的最優(yōu)值函數(shù)uk，最后得到整體的最優(yōu)值指標(biāo)函數(shù)J。

圖2 縱斷面分段示意圖

圖3 列車區(qū)間追蹤間隔運(yùn)行圖

2.2 基于分段迭代算法的制動(dòng)距離多階段劃分

分段迭代算法的基本原理是將制動(dòng)距離按一定的間隔距離分段進(jìn)行計(jì)算，將上一階段的動(dòng)車組運(yùn)行末速度作為下一階段的運(yùn)行初速度，計(jì)算每一段的動(dòng)車組制動(dòng)走行距離[11]。然后將各階段的走行距離累加得到制動(dòng)距離。通過(guò)牽引計(jì)算的分段迭代算法可得到動(dòng)車組運(yùn)行時(shí)間和運(yùn)行距離的近似計(jì)算公式：

運(yùn)行時(shí)間：

(2)

t=∑Δt

(3)

運(yùn)行距離：

(4)

S=∑ΔS

(5)

式中，ζ=127/(1+γ)取決于回轉(zhuǎn)重量系數(shù)γ；cp為Δt時(shí)間內(nèi)的單位合力[12]。

同時(shí)按照分段迭代算法的階段劃分，建立動(dòng)車組制動(dòng)距離的基于動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的多階段模型，動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本原理是將一個(gè)復(fù)雜的決策問(wèn)題分解劃分為n個(gè)階段，從動(dòng)車組追蹤間隔時(shí)間的追蹤點(diǎn)出開(kāi)始，向后列車往后縮減防護(hù)距離進(jìn)行多階段的劃分，其分段間隔必須與分段迭代算法的分段間隔一致，這樣結(jié)合動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法和分段迭代算法求解制動(dòng)距離最優(yōu)解。計(jì)算過(guò)程采用典型的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的逆序原理，從后往前計(jì)算求解每一個(gè)分段內(nèi)的制動(dòng)走行距離最優(yōu)解，同時(shí)從每一個(gè)階段的備選方案中逆推得到每一階段的坡度化簡(jiǎn)最優(yōu)方案，最后將所有階段的最優(yōu)決策序列所求得的各子階段最優(yōu)解函數(shù)整合起來(lái)得到動(dòng)車組制動(dòng)距離的最優(yōu)解函數(shù)[13-15]。

列車追蹤間隔時(shí)間的計(jì)算公式為

(6)

式中，3.6為單位換算系數(shù)；L防為安全防護(hù)距離，取110 m；L閉為閉塞分區(qū)長(zhǎng)度，取1500 m；L列為列車長(zhǎng)度，取8節(jié)編組的CRH380A型動(dòng)車組長(zhǎng)度為200 m；v區(qū)間為列車區(qū)間運(yùn)行速度，取320 km/h;L制為列控車載設(shè)備監(jiān)控制動(dòng)距離，查找文獻(xiàn)[16]～文獻(xiàn)[18]得到CRH380A型動(dòng)車組在制動(dòng)初速度為320 km/h時(shí)的緊急制動(dòng)距離應(yīng)小于6300 m，取3600 m分段進(jìn)行計(jì)算，并根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法進(jìn)一步優(yōu)化；t附加的取值在CTCS-3條件下一般為14 s[16]。將制動(dòng)過(guò)程劃分為間隔距離為ΔS=400 m的n個(gè)階段作為COADP算法的多階段劃分。動(dòng)車組制動(dòng)距離的多階段劃分如圖4所示。

圖4 分布迭代算法曲段劃分示意圖

列車制動(dòng)距離的多階段劃分不僅關(guān)系到制動(dòng)距離的計(jì)算，而且直接為后續(xù)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃優(yōu)化求解提供多階段模型，兩者必須完全契合才能進(jìn)一步選取動(dòng)車組非線性關(guān)系模型的階段變量、狀態(tài)變量和最優(yōu)解序列以及最優(yōu)解目標(biāo)函數(shù)，最終得到制動(dòng)距離的最優(yōu)解[15]。以圖3所示的列車區(qū)間追蹤間隔時(shí)間圖為例進(jìn)行分段迭代算法的多階段劃分，并以此建立追蹤間隔時(shí)間的多階段決策模型，如圖5所示。

圖5 多階段決策模型示意圖

3 基于COADP算法的過(guò)程求解

動(dòng)車組制動(dòng)距離的優(yōu)化過(guò)程是一個(gè)非線性問(wèn)題，因此可以通過(guò)以上的多階段劃分將優(yōu)化過(guò)程看作在離散時(shí)域內(nèi)的非線性關(guān)系模型[18]：

xk+1=F(xk,uk),k=0,1,2,…

(7)

COADP算法是基于ADP算法的一種優(yōu)化算法，主要過(guò)程是將選取好的階段變量xk和狀態(tài)變量uk輸入執(zhí)行網(wǎng)絡(luò)以及前面得到的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的非線性關(guān)系模型得到下一個(gè)階段變量的輸入xk+1，得到此子過(guò)程的最優(yōu)解函數(shù)J(xk+1)，然后再與前一階段的決策變量U(xk,uk)比對(duì)，這樣通過(guò)訓(xùn)練得到評(píng)判網(wǎng)絡(luò)，然后在進(jìn)行任意階段的計(jì)算時(shí)，繼續(xù)前面的過(guò)程，通過(guò)評(píng)判網(wǎng)絡(luò)比較選取最優(yōu)的狀態(tài)變量xk+1，最后通過(guò)式(8)所示的最優(yōu)決策變量得出式(9)所示的k子過(guò)程的最優(yōu)解狀態(tài)方程[17]。這樣把劃分好的各階段都進(jìn)行以上運(yùn)算，遞推得到全部各階段的最優(yōu)解函數(shù)，就得到了整個(gè)過(guò)程的最優(yōu)解函數(shù)J(xk,uk)。

(8)

(9)

由于過(guò)程越復(fù)雜，動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的計(jì)算量越大，計(jì)算維數(shù)也越來(lái)越大，所以傳統(tǒng)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法容易形成“維數(shù)災(zāi)”，采用COADP算法對(duì)基于坡度化簡(jiǎn)的制動(dòng)距離進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，COADP計(jì)算過(guò)程分為n個(gè)進(jìn)程，可以通過(guò)評(píng)判網(wǎng)絡(luò)尋找得到各階段的最優(yōu)解，進(jìn)而得到整個(gè)過(guò)程的最優(yōu)解序列，既保證了多階段序列的求解模型能夠合理建立，也避免了傳統(tǒng)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法容易形成“維數(shù)災(zāi)”的問(wèn)題。

圖6為COADP算法的結(jié)構(gòu)圖，選取動(dòng)車組速度作為動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的狀態(tài)變量xk，制動(dòng)過(guò)程開(kāi)始后到列車追蹤點(diǎn)的距離作為動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的階段變量uk=(uk，uk+1，…)，性能指標(biāo)函數(shù)即制動(dòng)距離最優(yōu)解函數(shù)為

(10)

圖6 COADP算法結(jié)構(gòu)圖

圖7為COADP算法的流程圖。由貝爾曼最優(yōu)性定理[19]，得出式(11)所示的制動(dòng)距離的最優(yōu)性能指標(biāo)函數(shù)的貝爾曼方程和式(12)所示的第k個(gè)子階段的制動(dòng)距離最優(yōu)控制策略：

(11)

(12)

圖7 COADP算法流程圖

4 牽引計(jì)算仿真分析

4.1 運(yùn)行阻力

以成渝高鐵的部分線路數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分別采用ADP和COADP在幾個(gè)典型區(qū)段上兩種算法對(duì)列車制動(dòng)距離進(jìn)行了仿真計(jì)算,以車輛編組為8節(jié)的CRH380A型動(dòng)車組為例，動(dòng)車組定員質(zhì)量為429000kg[20]，通過(guò)式(13)和式(14)計(jì)算，可以得到在不同坡度上CRH380A型動(dòng)車組的運(yùn)行阻力為

W=10-3M(w0+wj)g

(13)

單位運(yùn)行阻力為

w=w0+wj

(14)

式中，M為列車質(zhì)量；g為重力加速度；w0為基本阻力；wj為附加阻力。

4.2 空氣制動(dòng)力

其他條件相同時(shí)不同類型的動(dòng)車組單位空氣制動(dòng)力的大小是相同的，取320 km/h作為動(dòng)車組運(yùn)行的初始速度。常用制動(dòng)時(shí)，β取0.75 m/s2，通過(guò)計(jì)算得到單位空氣制動(dòng)力為81.04 N/kN(N/kN表示列車單位重力的空氣制動(dòng)力)；緊急制動(dòng)時(shí)，β取1.35 m/s2，通過(guò)計(jì)算得到單位空氣制動(dòng)力等于145.87 N/kN。

4.3 再生制動(dòng)力

動(dòng)車組采用空氣制動(dòng)和再生制動(dòng)的復(fù)合制動(dòng)模式，而且空氣制動(dòng)力是隨著所需制動(dòng)力和再生制動(dòng)力的差值不斷變化的，所以動(dòng)車組的再生制動(dòng)力并沒(méi)有明確的計(jì)算方法。但是通過(guò)運(yùn)行參數(shù)和經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)動(dòng)車組所需制動(dòng)力沒(méi)有超過(guò)再生制動(dòng)力的閾值，那么動(dòng)車組制動(dòng)力全部由再生制動(dòng)力提供，此時(shí)沒(méi)有空氣制動(dòng)力；當(dāng)動(dòng)車組所需制動(dòng)力超過(guò)了再生制動(dòng)力所能提供的閾值，那么再生制動(dòng)力不能提供的部分將由空氣制動(dòng)力提供。

4.4 算法仿真

通過(guò)C#和Microsoft Access平臺(tái)的動(dòng)車組牽引計(jì)算仿真系統(tǒng)，取320 km/h作為仿真計(jì)算的動(dòng)車組制動(dòng)初速度，由上述CRH380A型動(dòng)車組參數(shù)仿真得出在兩種算法下的列車制動(dòng)距離的優(yōu)化力度曲線如圖8所示，COADP算法相比較傳統(tǒng)的ADP算法能夠?qū)χ苿?dòng)距離有顯著的優(yōu)化，而且能夠更快速準(zhǔn)確地找到各子階段的最優(yōu)解函數(shù)。

圖8 兩種算法對(duì)制動(dòng)距離的優(yōu)化曲線

兩種算法下的列車制動(dòng)距離的優(yōu)化力度曲線如圖8所示，COADP算法相比較傳統(tǒng)的ADP算法能夠?qū)χ苿?dòng)距離有顯著的優(yōu)化，而且能夠更快速準(zhǔn)確地找到各子階段的最優(yōu)解函數(shù)。圖9為兩種算法下得到的動(dòng)車組制動(dòng)時(shí)間曲線。

由圖9所示的制動(dòng)時(shí)間仿真結(jié)果可知，未優(yōu)化的最小追蹤間隔時(shí)間為224 s，由ADP算法得到的最小追蹤間隔時(shí)間為198 s，由COADP算法仿真得到的最小追蹤間隔時(shí)間結(jié)果為169 s，通過(guò)COADP算法優(yōu)化得到的最小追蹤間隔時(shí)間較優(yōu)化前減少了55 s。圖10和圖11為優(yōu)化前后動(dòng)車組最小追蹤間隔時(shí)間的仿真曲線，通過(guò)對(duì)最小追蹤間隔時(shí)間仿真結(jié)果圖的對(duì)比可以得出優(yōu)化后的最小追蹤間隔時(shí)間比優(yōu)化前明顯縮短，由此可見(jiàn)COADP算法對(duì)于高速鐵路追蹤間隔時(shí)間有顯著的優(yōu)化效果。

圖9 兩種算法對(duì)制動(dòng)時(shí)間的優(yōu)化曲線

圖10 優(yōu)化前最小追蹤間隔時(shí)間仿真圖

圖11 優(yōu)化后最小追蹤間隔時(shí)間仿真圖

5 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)線路坡度和列車長(zhǎng)度的分析，建立了列車混合優(yōu)化模型，通過(guò)對(duì)動(dòng)車組的制動(dòng)距離分為多個(gè)間隔區(qū)段，得到動(dòng)態(tài)規(guī)劃的多階段模型，采用COADP算法對(duì)列車線路坡度化簡(jiǎn)方案進(jìn)行逆推尋優(yōu)，求解動(dòng)車組制動(dòng)過(guò)程內(nèi)各階段的最優(yōu)階段變量、最優(yōu)狀態(tài)變量、決策序列最優(yōu)解以及制動(dòng)距離最優(yōu)解的指標(biāo)函數(shù)，得到基于列車參數(shù)和線路坡度的追蹤間隔時(shí)間最優(yōu)解函數(shù)。有效避免了傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法“維數(shù)災(zāi)”的問(wèn)題，并對(duì)ADP和COADP算法的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行了仿真比對(duì)，結(jié)果表明COADP算法的優(yōu)化力度更加明顯。動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法在列車追蹤間隔時(shí)間方面的應(yīng)用也對(duì)線路坡度的設(shè)計(jì)提供了更好的方案，對(duì)鐵路運(yùn)輸能力和通過(guò)能力的提高具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。