馬紀(jì)英， 薛力峰， 吳 勇

(石家莊郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 河北 石家莊 050021)

拐點(diǎn)在高等數(shù)學(xué)中是一類比較重要的點(diǎn)，在導(dǎo)數(shù)和微分的應(yīng)用中占有重要的地位，在函數(shù)的凹凸性中表征著平面曲線的一種內(nèi)在幾何特征，在函數(shù)作圖和圖像描繪中分隔著單調(diào)性相同的凹弧和凸弧。

1 拐點(diǎn)的定義

數(shù)學(xué)教材中一般把曲線的凹凸性和拐點(diǎn)放在一起講述，首先定義凹弧和凸弧及其性質(zhì)，然后引出拐點(diǎn)。比如：

例1 如果在某區(qū)間內(nèi)的曲線弧位于其上任意一點(diǎn)切線的上方，則稱此曲線弧在該區(qū)間內(nèi)是凹的；如果在某區(qū)間內(nèi)的曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱曲線弧在該區(qū)間內(nèi)是凸的。并把連續(xù)曲線上凹凸部分的分界點(diǎn)稱為此曲線的拐點(diǎn)。

注：拐點(diǎn)不僅是凹凸部分的分界點(diǎn)，而且必須是曲線的連續(xù)點(diǎn)，即它是一個有序?qū)崝?shù)對(x0,f(x0))[1]。

例2 設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，如果對I上任意兩點(diǎn)x1,x2， 恒有

那么稱f(x) 在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧)；如果恒有

那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧)。

定理 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么

(1)若在(a,b)內(nèi)f″(x)>0，則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的；

(2)若在(a,b)內(nèi)f″(x)<0，則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的。

一般地，設(shè)y=f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，x0是I內(nèi)的點(diǎn)。如果曲線y=f(x)在經(jīng)過點(diǎn)(x0,f(x0))時，曲線的凹凸性改變了，那么就稱點(diǎn)(x0,f(x0))為這曲線的拐點(diǎn)[2]。

總之，我們可以看到這些高等數(shù)學(xué)教材中是把拐點(diǎn)定義為了“曲線上凹凸弧的分界點(diǎn)”，至多是稍微嚴(yán)格了一些，把間斷點(diǎn)排除出來，“連續(xù)曲線y=f(x)上凹凸弧的分界點(diǎn)”。

2 拐點(diǎn)定義的反例

例3 我們考慮單位圓周x2+y2=1上的點(diǎn)(1,0)，我們會發(fā)現(xiàn)平面直角坐標(biāo)系中第一象限的曲線都位于各點(diǎn)切線的下方，即為凸??；第四象限的曲線都位于各點(diǎn)切線的上方，即為凹弧，而點(diǎn)(1,0)即為凹弧與凸弧的分界點(diǎn)，故為拐點(diǎn)，同理點(diǎn)(-1,0)也是圓周的拐點(diǎn)。

由于圓周上的點(diǎn)具有圓對稱性，適當(dāng)?shù)匦D(zhuǎn)平面直角坐標(biāo)系，可以使圓周上的點(diǎn)都位于(1,0)或(-1,0)的位置，可以得到每一點(diǎn)都是拐點(diǎn)！我們發(fā)現(xiàn)，由于平面直角坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)位置不同，曲線上的同一點(diǎn)既可以在這個平面直角坐標(biāo)系下是拐點(diǎn)，又可以在另一個平面直角坐標(biāo)系下不是拐點(diǎn)，顯然這樣定義的拐點(diǎn)不能表征平面曲線的內(nèi)在幾何特征，其定義顯然存在不合理的地方。

例4 考慮曲線

我們發(fā)現(xiàn)，x<0 時，函數(shù)y=f(x)的圖形是凹弧，x≥0時，函數(shù)y=f(x)的圖形是凸弧，點(diǎn)(0,0)正是凹弧和凸弧的分界點(diǎn)，按照上述拐點(diǎn)的定義，曲線上的點(diǎn)(0,0)即為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。

實(shí)際上，根據(jù)《數(shù)學(xué)大辭典》的解釋，這種點(diǎn)稱為尖點(diǎn)，也就是在曲線上該點(diǎn)處存在著不同的左右切線的點(diǎn)。尖點(diǎn)和拐點(diǎn)是不同類型的點(diǎn)，在尖點(diǎn)處不存在曲線的切線。

3 拐點(diǎn)的重新定義

許多著名的著作對拐點(diǎn)的定義更嚴(yán)密，很嚴(yán)格一些。比如：菲赫金哥爾茨著的《微積分學(xué)教程》中就這樣定義：

曲線上一點(diǎn)M(x0,f(x0))叫做曲線的拐點(diǎn)，如果它把使函數(shù)f(x)為凸的那部分曲線(向下凹)和使這函數(shù)為凹的那部分曲線(向上凹)分開；曲線在這點(diǎn)由切線的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)[3]。

所以，我們可以重新定義：

如果在某區(qū)間內(nèi)的曲線弧位于其上任意一點(diǎn)切線的上方，則稱此曲線弧為凹??；如果在某區(qū)間內(nèi)的曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱曲線弧為凸弧。設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處有穿過曲線的切線，且在切點(diǎn)兩側(cè)近旁曲線凹凸向不同，這時稱點(diǎn)(x0,f(x0)為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，過拐點(diǎn)的切線稱為拐切線。

4 拐點(diǎn)的計(jì)算和應(yīng)用

根據(jù)凹凸性和拐點(diǎn)的定義及定理可知，由f″(x)的符號可以判定曲線的凹凸性，而拐點(diǎn)由位于凹弧和凸弧的交界處，所以拐點(diǎn)左、右兩側(cè)鄰近f″(x)符號相異，只要找出f″(x)符號發(fā)生變化的分界點(diǎn)即可，也就是找出f″(x)=0的點(diǎn)和f(x)二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。

所以，若f(x)由一個函數(shù)表達(dá)式表示時，可以總結(jié)如下步驟：

(1)求函數(shù)定義域；

(2)求出f″(x)；

(3)令f″(x)=0，解出方程在討論區(qū)間內(nèi)的實(shí)根，同時求出討論區(qū)間內(nèi)f″(x)不存在的點(diǎn)；

(4)對求出的每一個實(shí)根和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)x0進(jìn)行判斷，檢查f″(x)在x0左、右兩側(cè)鄰近的符號，當(dāng)兩側(cè)符號相反時，點(diǎn)(x0,f(x0)就是拐點(diǎn)，當(dāng)兩側(cè)符號相同時，點(diǎn)(x0,f(x0))不是拐點(diǎn)。

若f(x)不是由一個函數(shù)表達(dá)式表示，而是分段函數(shù)的類型，需要考慮分段點(diǎn)處的情形：(1)分段點(diǎn)處左、右兩側(cè)鄰近f″(x)的符號是否相反；(2)分段點(diǎn)處的切線是否唯一，也即左、右斜率是否相同，也即左、右導(dǎo)數(shù)是否相同。

5 小 結(jié)

拐點(diǎn)絕不是單單用于函數(shù)圖像的描繪，在許多領(lǐng)域，尤其是工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。拐點(diǎn)作為上凹和下凹趨勢的分界點(diǎn)，形成了專門處理各種趨勢的拐點(diǎn)法，在材料力學(xué)、流體力學(xué)、熱力學(xué)、空氣動力學(xué)、土木工程、機(jī)械工程、信號處理，甚至金融學(xué)的股票、期貨分析等方面都有著廣泛而深入的應(yīng)用。

因此，在應(yīng)用之前，弄清楚拐點(diǎn)的確切定義有著非凡的意義。