李 玲 鮑志暉

（黃山學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 黃山 245041）

貯備系統(tǒng)有熱貯備 （貯備部件處于工作狀態(tài)）、溫貯備（貯備部件在貯備期間可能失效）和冷貯備（貯備部件在貯備期間不失效）之分，由于熱貯備系統(tǒng)中的部件均處于工作狀態(tài)，部件發(fā)生故障的可能性較溫貯備和冷貯備要高，故溫貯備和冷貯備能更有效地提高復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性[1]。

文獻(xiàn)[2]針對(duì)冷貯備系統(tǒng)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)冷備系統(tǒng)）的元件壽命均服從指數(shù)分布的情形進(jìn)行了討論，給出了冷備系統(tǒng)的可靠度計(jì)算公式，但其假設(shè)指數(shù)分布中的失效率λ是已知的，而實(shí)際應(yīng)用中λ通常是未知的，故需對(duì)λ進(jìn)行估計(jì)，從而得到冷備系統(tǒng)可靠度的估計(jì)。

對(duì)于指數(shù)分布中失效率λ的估計(jì)方法較多，其中比較常用的是Bayes估計(jì)，通常需給出λ的先驗(yàn)分布，然后通過(guò)截尾試驗(yàn)數(shù)據(jù)修正后得出其后驗(yàn)分布，此即Bayes方法[3]。由冷備系統(tǒng)的可靠度公式及λ的后驗(yàn)分布，可得冷備系統(tǒng)可靠度的Bayes估計(jì)。

但是，在失效率λ的先驗(yàn)分布中又往往存在著超參數(shù)，當(dāng)超參數(shù)的值未知時(shí)，則需對(duì)該超參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。針對(duì)該問(wèn)題，文獻(xiàn)[4]利用定時(shí)截尾試驗(yàn)的失效數(shù)得出了超參數(shù)的矩估計(jì)，從而進(jìn)一步得到冷備系統(tǒng)可靠度的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)。但是對(duì)于超參數(shù)的矩估計(jì)有一個(gè)基本要求，即相合性，而相合性要求試驗(yàn)的次數(shù)較多，故對(duì)于小樣本而言，該方法的精度相對(duì)較低。作為改進(jìn)，文獻(xiàn)[5]針對(duì)超參數(shù)提出了極大似然估計(jì)的方法，由此得到的冷備系統(tǒng)可靠度的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)在精度上較文獻(xiàn)[4]的估計(jì)量有所提高。

在參數(shù)估計(jì)理論中，當(dāng)樣本量趨于無(wú)窮時(shí)，極大似然估計(jì)和Bayes估計(jì)的結(jié)果是趨于一致的，但是當(dāng)樣本量有限時(shí)，Bayes估計(jì)的誤差比極大似然估計(jì)要小。有鑒于此，對(duì)于文獻(xiàn)[5]中超參數(shù)的極大似然估計(jì)，考慮將其改為再次利用Bayes估計(jì)。此時(shí)對(duì)于失效率λ以及λ的先驗(yàn)分布中的超參數(shù)均考慮了采用Bayes估計(jì)，此即多層Bayes估計(jì)方法[6]。以下應(yīng)用該方法來(lái)解決冷備系統(tǒng)可靠度的估計(jì)問(wèn)題。

文中所研究的兩部件冷備系統(tǒng)可靠度的Bayes估計(jì)及多層Bayes估計(jì)是在如下三個(gè)假定下進(jìn)行的：

A1工作元件的壽命T1和貯備元件的壽命T2相互獨(dú)立，且均服從指數(shù)分布Exp（λ），此時(shí)可靠度均為 R0（t）=e-λt。

A2由于是冷備系統(tǒng)，故貯備元件在貯備期的失效率為零，即在貯備期內(nèi)不發(fā)生失效。

A3工作元件和貯備元件間有一個(gè)轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)，轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)是完全可靠的，并且轉(zhuǎn)換是瞬間完成的，此時(shí)冷備系統(tǒng)的系統(tǒng)壽命T=T1+T2。

1 系統(tǒng)可靠度的Bayes估計(jì)

在上述假定下，該兩部件冷備系統(tǒng)的可靠度為：

設(shè) λ 的先驗(yàn)分布為 Exp（μ），即 π（λ）=μe-μλ，λ＞0。

設(shè)從分布為Exp（λ）的總體中抽取n個(gè)樣品進(jìn)行定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)，截尾時(shí)間為t，試驗(yàn)數(shù)據(jù)為 x1≤x2≤…xr≤t，記，x=（x1，x2，…，xr），則

即 λ 的后驗(yàn)分布為：λ|x～Γ（r+1,μ+Δ）。

以下求系統(tǒng)可靠度R（t）的Bayes估計(jì)。

由 R（t）=（1+λt）e-λt及 λ 的后驗(yàn)分布可得：

2 系統(tǒng)可靠度的多層Bayes估計(jì)

在前面的Bayes分析中，λ的先驗(yàn)分布π（λ）=μe-μλ，λ＞0 中含有一個(gè)超參數(shù) μ，有時(shí)無(wú)法根據(jù)經(jīng)驗(yàn)給出一個(gè)較為精確的μ，若給出的μ值與其真值出入較大，會(huì)使估計(jì)發(fā)生比較大的系統(tǒng)偏差。針對(duì)此種情況，采用多層Bayes估計(jì)方法，即先對(duì)超參數(shù)μ再設(shè)一個(gè)先驗(yàn)分布。

對(duì)于超參數(shù)μ的無(wú)信息先驗(yàn)分布，以下采用Bayes假設(shè)和Jeffreys先驗(yàn)兩種方法分別予以討論。

2.1 Bayes假設(shè)

若可給出μ的一個(gè)范圍α＜μ＜β，除此之外無(wú)其他信息，則可假定μ服從區(qū)間（α，β）上的均勻分布 U（α，β），即，則 μ 的后驗(yàn)分布為：

據(jù)全概率公式，有

則

2.2 Jeffreys先驗(yàn)

利用Fisher信息陣可給出超參數(shù)μ的Jeffreys先驗(yàn)分布[7]。

μ的似然函數(shù)為：

其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

所對(duì)應(yīng)的Fisher信息陣為：

從而可得μ的后驗(yàn)分布為：

在平方損失函數(shù)下，μ的Bayes估計(jì)為：

3 數(shù)例分析

以下用模擬數(shù)據(jù)對(duì)上述討論的Bayes估計(jì)、多層Bayes估計(jì)進(jìn)行演算，并對(duì)它們的精度進(jìn)行比較。

設(shè)工作元件和貯備元件的壽命均服從指數(shù)分布 Exp（2×10-5），產(chǎn)生 100 個(gè)服從該分布的隨機(jī)數(shù)，模擬數(shù)據(jù)如下：

表1 指數(shù)分布模擬數(shù)據(jù)

根據(jù)公式（5）（11）（16）（1）分別計(jì)算冷備系統(tǒng)在不同時(shí)刻t的可靠度的Bayes估計(jì)、兩種不同先驗(yàn)分布下的多層Bayes估計(jì)及相應(yīng)的可靠度精確值，結(jié)果如表2所示，其中Bayes估計(jì)中取μ=3×104，取μ=3×105。

表2 系統(tǒng)可靠度估計(jì)值比較

表中選取了7個(gè)不同的截尾時(shí)間，據(jù)數(shù)值計(jì)算的結(jié)果，將冷備系統(tǒng)可靠度的Bayes估計(jì)、多層Bayes估計(jì)與相應(yīng)的可靠度精確值作比較，可以得出如下結(jié)論。

結(jié)論1：對(duì)冷備系統(tǒng)的可靠度作Bayes估計(jì)，需給出超參數(shù)μ的值，此時(shí)估計(jì)的精度受超參數(shù)μ的取值影響較大。例如在本數(shù)例中，當(dāng)分別取μ=3×104和μ=3×105時(shí)，從表2 的數(shù)值計(jì)算結(jié)果可以看出，所得冷備系統(tǒng)可靠度的Bayes估計(jì)值絕對(duì)誤差的差異較大，因此μ值的確定至關(guān)重要。而實(shí)際應(yīng)用中很難根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或主觀概率給出μ值，故需要對(duì)超參數(shù)μ作出估計(jì)。

結(jié)論2：對(duì)超參數(shù)μ也考慮采用Bayes估計(jì)，即得到冷備系統(tǒng)可靠度的多層Bayes估計(jì)。從數(shù)例的計(jì)算結(jié)果中可以看出，不論μ的先驗(yàn)分布是Bayes假設(shè)還是Jeffreys先驗(yàn)，多層Bayes估計(jì)的絕對(duì)誤差都比較穩(wěn)定，其系統(tǒng)偏差相對(duì)也較小，整體來(lái)說(shuō)多層Bayes估計(jì)在精度和穩(wěn)定性上要優(yōu)于Bayes估計(jì)。

結(jié)論3：在多層Bayes估計(jì)中，對(duì)超參數(shù)μ的先驗(yàn)分布考慮了兩種方法，即Bayes假設(shè)和Jeffreys先驗(yàn)，從表2中兩者絕對(duì)誤差的比較可以看出，當(dāng) r=6，14，26 時(shí)，的絕對(duì)誤差大于的絕對(duì)誤差，而當(dāng) r=35，50，61，65 時(shí)則相反，說(shuō)明當(dāng)產(chǎn)品的失效數(shù)較少時(shí)，采用Jeffreys先驗(yàn)的多層Bayes估計(jì)在精度上要略高于采用Bayes假設(shè)（即以均勻分布作為超參數(shù)先驗(yàn)分布）的多層Bayes估計(jì)；而當(dāng)產(chǎn)品的失效數(shù)較多時(shí)，后者的精度反而要略高于前者。

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)上述的理論推導(dǎo)和數(shù)例分析，說(shuō)明建立在冷備系統(tǒng)可靠度的Bayes估計(jì)基礎(chǔ)上的多層Bayes估計(jì)具有一定的合理性和可操作性。究其原因：一方面，如果僅僅采用一層先驗(yàn)，把握性往往不大，其導(dǎo)致的估計(jì)量的偏差有可能較大，而采用兩層先驗(yàn)，可以降低估計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)，因此采用多層Bayes估計(jì)是合理的。需要說(shuō)明的是,理論上多層Bayes估計(jì)可以到三層或更多層，而實(shí)際應(yīng)用中多于兩層先驗(yàn)是很少見(jiàn)的。另一方面,在冷備系統(tǒng)可靠度的多層Bayes估計(jì)中，由于超參數(shù)往往沒(méi)有什么信息，而且難以觀察，因此欲用歷史經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)或者主觀概率來(lái)確定超參數(shù)是很困難的，此時(shí)對(duì)超參數(shù)采用無(wú)信息先驗(yàn)作為第二層的先驗(yàn)是合理的，并且即使第二層的先驗(yàn)有一些偏差，其導(dǎo)致的最終估計(jì)量的偏差 （或者說(shuō)錯(cuò)誤結(jié)果的危害）也相對(duì)較小。

文中討論的是冷備系統(tǒng)中兩部件壽命均服從指數(shù)分布的情形，對(duì)于部件的壽命服從威布爾分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布等其他分布的情形，只需根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)求出相應(yīng)的系統(tǒng)可靠度表達(dá)式，然后對(duì)于其中的參數(shù)以及超參數(shù)給出先驗(yàn)分布，即可計(jì)算出相應(yīng)冷備系統(tǒng)可靠度的Bayes估計(jì)以及多層Bayes估計(jì)。但若參數(shù)較多，可能在積分運(yùn)算上會(huì)較為繁瑣。目前來(lái)說(shuō)，針對(duì)冷備系統(tǒng)可靠度的估計(jì)還有文獻(xiàn)提出了WCF方法[8]和Fiducial方法[9]，文中所討論的方法與這兩種估計(jì)方法的優(yōu)劣比較以及適用場(chǎng)合還有待作進(jìn)一步的探討。