于曉華

摘 要：數(shù)學(xué)建模已成為中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)。在2011年版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中把“數(shù)學(xué)建?！弊鳛?0個核心概念之一，明確指出模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。教師如何更好地開展數(shù)學(xué)建模課？以《數(shù)學(xué)建模課之三角形數(shù)》為例，從建模課素材的開發(fā)、實(shí)施、流程等進(jìn)行了簡明的說明。

關(guān)鍵詞：選擇素材;抽象建模;模型應(yīng)用;模型再發(fā)現(xiàn)

隨著我國基礎(chǔ)教育課程改革的深入，數(shù)學(xué)建?；顒右褦U(kuò)展到義務(wù)教育階段。數(shù)學(xué)建模已成為中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)。學(xué)生不僅要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，更要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想和方法，而數(shù)學(xué)模型是一種基本的數(shù)學(xué)思想，是解決數(shù)學(xué)問題的有效形式。學(xué)生親自經(jīng)歷模型建立的“再創(chuàng)造”過程，有利于學(xué)生的多種感官參與，獲得豐富的感性認(rèn)識，形成清晰表象，并有助于培養(yǎng)學(xué)生初步學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察和分析現(xiàn)實(shí)社會。

如何在中學(xué)階段開展數(shù)學(xué)建?；顒?？教師要選好素材，開發(fā)好的建模課，一是根據(jù)教學(xué)的情況，從教學(xué)及其相關(guān)內(nèi)容的拓展中選取，使學(xué)生容易接受;二是根據(jù)教學(xué)的周邊實(shí)際環(huán)境尋找能使學(xué)生明白或通過比較簡單的觀察就能理解的問題。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。

下面我以自己開發(fā)的一節(jié)七年級的數(shù)學(xué)建模課《數(shù)學(xué)建模課之三角形數(shù)》為例進(jìn)行說明，引領(lǐng)七年級的學(xué)生熟悉建模的一般過程，也希望能對老師們有所啟發(fā)。

一、選擇素材

在日常生活中，我們發(fā)現(xiàn)保齡球、臺球的擺放、婚禮上香檳塔的擺放、工地上鋼管的擺放方式都基本相同，這里面是否蘊(yùn)藏著一定的數(shù)學(xué)知識呢？選好素材，和學(xué)生一起研究，發(fā)現(xiàn)問題，提出問題。

圖片展示保齡球、臺球的擺放方式，經(jīng)典誦讀比賽中班級的隊形，引發(fā)思考，它們擺放的共性是什么？

學(xué)生觀察圖片，上臺演示所站隊形，在觀察中感受生活中這類問題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識。

二、抽象建模

1.從數(shù)、形兩個角度來感受認(rèn)識模型：

形的角度：將班級隊形中每個人抽象成一個點(diǎn)，將這一定數(shù)目的點(diǎn)在等距離的排列下可以形成一個三角形，這樣的數(shù)可以稱為三角形數(shù)。

數(shù)的角度：像1、3、6、10、15…這些能夠表示成三角形的形狀的總數(shù)量的數(shù)，叫作三角形數(shù)。

2.用代數(shù)式表達(dá)第n個三角形數(shù)。

數(shù)的角度：首尾相加法

形的角度：圖形倒置相加法

學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般和由一般到特殊的過程，體會代數(shù)推理的特點(diǎn)和作用。能用代數(shù)式表示并借用代數(shù)式運(yùn)算驗(yàn)證所探索規(guī)律的一般性。再一次滲透數(shù)形結(jié)合思想。

三、模型應(yīng)用

問題1：數(shù)線段

1.觀察下面各圖，回答問題，將你的方法和大家交流。

圖①中有 1 條線段，

圖②中有 3 條線段，

圖③中有 6 條線段，

問題2：握手問題。參加一次聚會的每兩人都握了一次手，30人共握手多少次？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)“三角形數(shù)”這個模型不僅僅存在于保齡球、臺球的擺放，在七年級剛學(xué)過的數(shù)線段和握手問題中同樣存在著它們的影子，不同的問題背景卻蘊(yùn)含相同的數(shù)學(xué)模型，引領(lǐng)學(xué)生在問題解決過程中進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)的模型思想。

四、模型再發(fā)現(xiàn)

問題3：你能舉出幾個與三角形數(shù)有關(guān)的例子嗎？

學(xué)生展開想象，從課本到生活，枚舉了大量的實(shí)例：

如幾何問題：數(shù)線段、數(shù)角、直線相交最多的交點(diǎn)個數(shù)、直線分平面問題……

如代數(shù)問題：握手問題、循環(huán)賽問題、車站問題……

再如生活中婚禮上的香檳塔、飛機(jī)列隊表演、工地上的木樁擺放等等。

讓學(xué)生展開想象，實(shí)現(xiàn)三角形數(shù)這個模型的再發(fā)現(xiàn)，進(jìn)一步領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)的模型思想，增強(qiáng)了建模意識。

五、綜合拓展

問題4：圖1、圖2、圖3是由棱長為1的正方體擺放而成的幾何體，按照這樣的方法繼續(xù)擺放，自上而下分別叫作第1層、第2層…第n層。

①上圖中你能發(fā)現(xiàn)三角形數(shù)嗎？

②請你就三角形數(shù)提個問題，交流并解決。

將三角形數(shù)進(jìn)一步拓展，在發(fā)現(xiàn)中提出新的問題，實(shí)現(xiàn)知識的進(jìn)一步提升。

以上就是《數(shù)學(xué)建模課之三角形數(shù)》的簡要剖析。數(shù)學(xué)建模是一個總的課題，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的建模要根據(jù)學(xué)生心理特征與認(rèn)知水平，既有共性，又有個性。教師開發(fā)和實(shí)施數(shù)學(xué)建模課的出發(fā)點(diǎn)是：培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識和觀念，遇到問題能從數(shù)學(xué)的角度去審視問題、觀察事物，闡釋現(xiàn)象、分析問題和解決問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]張景斌，王尚志.中學(xué)數(shù)學(xué)建?；顒訛橹袑W(xué)生創(chuàng)造發(fā)展空間[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2001（1）.

[2]王暢.新課程下中學(xué)數(shù)學(xué)建?；顒拥难芯縖D].湖南師范大學(xué)，2007.

編輯 郭小琴