廣東省廣州市第十六中學(510080) 程延清

在新課程的教育改革中，以及新高考背景下，解題能力的培養(yǎng)不僅體現(xiàn)在數(shù)學思維的提升上，從中折射出的多種綜合思維能力，更加契合新課程改革中對學生綜合素養(yǎng)的要求.加強對數(shù)學疑難問題處理能力的培養(yǎng)可以有效提升數(shù)學思維能力，在尋找解題途徑與思路的過程中，也能間接地提升個體對事物的綜合處理能力，對個人綜合素養(yǎng)的塑造有重要影響和作用.因此，提高數(shù)學疑難問題的處理能力一方面可以幫助數(shù)學思維的發(fā)展，對個人綜合能力的發(fā)展亦大有裨益，研究數(shù)學疑難問題的解題途徑和策略有其必要性和有效性.本文將通過一道高考數(shù)學模擬題解題途徑和策略的探討，剖析和優(yōu)化數(shù)學疑難問題的求解策略和方法.

一、疑難問題剖析

問題已知f(x)=e2x-ax2，a∈?，若f(x)在(0,+∞)上存在極大值M，證明

(本題出自2019年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試(一)(理科數(shù)學)第21題)

解題思路遇阻原因剖析

函數(shù)的相關概念較為抽象和難以理解，對極值點、極值等概念掌握不到位也是解題思路遇阻的原因之一，由于存在概念上的理解性缺失，不能有效地從最基本的概念和方法入手突破解題思維的束縛，對函數(shù)解題方法的靈活性和函數(shù)思維的復雜性掌握不夠，影響對解題思維的方向性把控.從而無法熟練的運用轉化化歸和分類討論等數(shù)學思想方法突破解題思維的限制.

二、回歸基礎，破解難點

如何破解此題的思維難點，突破思維瓶頸是成功解決本題的關鍵，從數(shù)學基本概念和基本方法入手，通過題意剖析，明確需加強對函數(shù)單調性、極值等基本概念的理解，以及在深刻理解的基礎上，熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值的基本方法.利用轉化化歸的數(shù)學思想方法，通過變式分步突破本題的疑難點，沖破解題思維的限制和束縛.本題的“主問題”是不等式的證明，但如果直接從“主問題”入手，由于極大值M無法直接解出以及a的不確定性，則難以直接證明不等式成立，思維也必然受阻.鑒于此，我們可以合理的轉化本題的“主問題”，把問題的關注點聚焦在題設條件上，進行變式，把問題轉化為求函數(shù)的極大值，達到化難為易的目的.

三、逆向變式，分步施策

關注函數(shù)相關基本概念(極大值)和基本方法，通過思考和尋找解題途徑引起認知沖突，啟迪思維進行合理地轉化化歸，掙脫“主問題”的思維束縛，把“主問題”轉化為更為單一的“輔問題”.

變式化歸

變式1已知f(x)=e2x-ax2，a∈?，x∈(0,+∞)，求f(x)的極大值M.

思考(1)如何求函數(shù)f(x)=e2x-ax2，a∈?，x∈(0,+∞)的極大值？

(2)函數(shù)f(x)=e2x-ax2，a∈?，x∈(0,+∞)是否存在極大值？

由于參數(shù)a的不確定性，引起對極大值是否存在的思考，產生分類討論的思維意識，帶著問題進行思考，促使進一步的引申和變式.

變式2若函數(shù)f(x)=e2x-ax2在(0,+∞)上存在極大值，求實數(shù)a的取值范圍.

通過逆向思維，進一步轉化問題，使得問題更加貼近日常思維，回歸數(shù)學概念的本真.由于函數(shù)的極值與函數(shù)的單調性密切相關，因此極大值的問題本質上是要解決函數(shù)的單調性問題，從而把問題轉化為研究函數(shù)的單調性問題，重新設計變式，由難入易，體現(xiàn)數(shù)學化歸思想的本質.

變式3若函數(shù)f(x)=e2x-ax2在(0,+∞)上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍.

將“主問題”轉化為熟悉的“輔問題”，進一步降低題目的難度，讓題目變得更加熟悉，從而降低解題的難度.

通過對變式3的解答，容易得出a≤2e，結合函數(shù)取得極值的充要條件，可以大膽猜測當a＞2e時，函數(shù)f(x)=e2x-ax2在(0,+∞)上存在極大值.不妨取a=e2加以驗證.

變式4求證：函數(shù)f(x)=e2x-e2x2在(0,+∞)上存在極大值.

將參數(shù)a的不確定性確定化，使問題進一步回歸到極值的基本概念以及求極值的基本方法上來.通過變式分析，回歸基礎，思考最初問題的解決方案，理順解題思路.

最后，引領解題思維，從最基礎和最熟悉的題型入手，反向尋求解題途徑，從而突破疑難題的思維痛點和難點，通過轉化化歸將問題落點在基礎題型與基本方法的理解和掌握上.

四、反向解題，突破難點

變式4求證：函數(shù)f(x)=e2x-e2x2在(0,+∞)上存在極大值.

證明f′(x)=2e2x-2e2x，f′′(x)=4e2x-2e2，f′(x)在單調遞增，在單調遞減，且所以存在使得f′(x1)=0.當x∈(0,x1)時，f′(x)＞0，當時，f′(x)＜0，所以f(x)在x=x1處存在極大值.

變式3若函數(shù)f(x)=e2x-ax2在(0,+∞)上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍.

解函數(shù)f(x)=e2x-ax2在(0,+∞)上單調遞增，等價于f′(x)=2e2x-2ax≥0在(0,+∞)恒成立，等價于在(0,+∞)恒成立，令易求gmin(x)=2e，故a≤2e.

變式2若函數(shù)f(x)=e2x-ax2在(0,+∞)上存在極大值，求實數(shù)a的取值范圍.

解由變式3可知，當a≤2e時，函數(shù)f(x)=e2x-ax2在(0,+∞)上單調遞增，故當a≤2e時，函數(shù)f(x)=e2x-ax2在(0,+∞)上不存在極大值，當a＞2e時，f′(x)=2e2x-2ax，f′′(x)=4e2x-2a，f′(x)在單調遞增，在單調遞減，且所以存在使得f′(x1)=0，且當x∈(0,x1)時，f′(x)＞0，當時，f′(x)＜0，所以f(x)在x=x1處存在極大值，故a＞2e.

變式1已知f(x)=e2x-ax2，a∈?，x∈(0,+∞)，求f(x)的極大值M.

解由變式2可知，存在使得f(x)在x=x1處存在極大值，且極大值

(2019年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試(一)(理科數(shù)學)第21題)已知f(x)=e2x-ax2，a∈?，若f(x)在(0,+∞)上存在極大值M，證明

解由變式1可知，存在使得f(x)在x=x1處存在極大值且f′(x1)=2e2x1-2ax1=0，即有e2x1=ax1.因為a＞2e，所以

五、反思引申，強化遷移

透過解題過程的演化滲透轉化化歸的數(shù)學思想方法，理解和掌握轉化化歸的數(shù)學思想內核，通過變式破解函數(shù)難題的思維瓶頸，設計“主問題”和“輔問題”加深數(shù)學基本概念的理解和掌握.

本題最初的“主問題”是證明不等式恒成立問題，通過變式引領思維的發(fā)展，把“主問題”一步一步引向求極值以及分類討論求參數(shù)范圍等熟悉的“輔問題”上，從而逐步突破“主問題”的思維難點，化難為易，從熟悉的“輔問題”出發(fā)，抽絲剝繭，思維層次得到提高，變式設計層層遞進，難度逐級降低，通過變式引申“輔問題”，回歸數(shù)學概念和基礎，提高破解難題的思維能力，讓思維的發(fā)展過程看得見.更加真切的明白解題思維獲得的來源，提升問題的轉化化歸能力，化繁為簡，變難為易，體現(xiàn)數(shù)學思維的本真！