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        巧用變式化解疑難*

        2019-09-12 02:09:18廣東省廣州市第十六中學510080程延清
        中學數(shù)學研究(廣東) 2019年15期
        關鍵詞:極大值極值變式

        廣東省廣州市第十六中學(510080) 程延清

        在新課程的教育改革中,以及新高考背景下,解題能力的培養(yǎng)不僅體現(xiàn)在數(shù)學思維的提升上,從中折射出的多種綜合思維能力,更加契合新課程改革中對學生綜合素養(yǎng)的要求.加強對數(shù)學疑難問題處理能力的培養(yǎng)可以有效提升數(shù)學思維能力,在尋找解題途徑與思路的過程中,也能間接地提升個體對事物的綜合處理能力,對個人綜合素養(yǎng)的塑造有重要影響和作用.因此,提高數(shù)學疑難問題的處理能力一方面可以幫助數(shù)學思維的發(fā)展,對個人綜合能力的發(fā)展亦大有裨益,研究數(shù)學疑難問題的解題途徑和策略有其必要性和有效性.本文將通過一道高考數(shù)學模擬題解題途徑和策略的探討,剖析和優(yōu)化數(shù)學疑難問題的求解策略和方法.

        一、疑難問題剖析

        問題已知f(x)=e2x-ax2,a∈?,若f(x)在(0,+∞)上存在極大值M,證明

        (本題出自2019年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試(一)(理科數(shù)學)第21題)

        解題思路遇阻原因剖析

        函數(shù)的相關概念較為抽象和難以理解,對極值點、極值等概念掌握不到位也是解題思路遇阻的原因之一,由于存在概念上的理解性缺失,不能有效地從最基本的概念和方法入手突破解題思維的束縛,對函數(shù)解題方法的靈活性和函數(shù)思維的復雜性掌握不夠,影響對解題思維的方向性把控.從而無法熟練的運用轉化化歸和分類討論等數(shù)學思想方法突破解題思維的限制.

        二、回歸基礎,破解難點

        如何破解此題的思維難點,突破思維瓶頸是成功解決本題的關鍵,從數(shù)學基本概念和基本方法入手,通過題意剖析,明確需加強對函數(shù)單調性、極值等基本概念的理解,以及在深刻理解的基礎上,熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值的基本方法.利用轉化化歸的數(shù)學思想方法,通過變式分步突破本題的疑難點,沖破解題思維的限制和束縛.本題的“主問題”是不等式的證明,但如果直接從“主問題”入手,由于極大值M無法直接解出以及a的不確定性,則難以直接證明不等式成立,思維也必然受阻.鑒于此,我們可以合理的轉化本題的“主問題”,把問題的關注點聚焦在題設條件上,進行變式,把問題轉化為求函數(shù)的極大值,達到化難為易的目的.

        三、逆向變式,分步施策

        關注函數(shù)相關基本概念(極大值)和基本方法,通過思考和尋找解題途徑引起認知沖突,啟迪思維進行合理地轉化化歸,掙脫“主問題”的思維束縛,把“主問題”轉化為更為單一的“輔問題”.

        變式化歸

        變式1已知f(x)=e2x-ax2,a∈?,x∈(0,+∞),求f(x)的極大值M.

        思考(1)如何求函數(shù)f(x)=e2x-ax2,a∈?,x∈(0,+∞)的極大值?

        (2)函數(shù)f(x)=e2x-ax2,a∈?,x∈(0,+∞)是否存在極大值?

        由于參數(shù)a的不確定性,引起對極大值是否存在的思考,產生分類討論的思維意識,帶著問題進行思考,促使進一步的引申和變式.

        變式2若函數(shù)f(x)=e2x-ax2在(0,+∞)上存在極大值,求實數(shù)a的取值范圍.

        通過逆向思維,進一步轉化問題,使得問題更加貼近日常思維,回歸數(shù)學概念的本真.由于函數(shù)的極值與函數(shù)的單調性密切相關,因此極大值的問題本質上是要解決函數(shù)的單調性問題,從而把問題轉化為研究函數(shù)的單調性問題,重新設計變式,由難入易,體現(xiàn)數(shù)學化歸思想的本質.

        變式3若函數(shù)f(x)=e2x-ax2在(0,+∞)上單調遞增,求實數(shù)a的取值范圍.

        將“主問題”轉化為熟悉的“輔問題”,進一步降低題目的難度,讓題目變得更加熟悉,從而降低解題的難度.

        通過對變式3的解答,容易得出a≤2e,結合函數(shù)取得極值的充要條件,可以大膽猜測當a>2e時,函數(shù)f(x)=e2x-ax2在(0,+∞)上存在極大值.不妨取a=e2加以驗證.

        變式4求證:函數(shù)f(x)=e2x-e2x2在(0,+∞)上存在極大值.

        將參數(shù)a的不確定性確定化,使問題進一步回歸到極值的基本概念以及求極值的基本方法上來.通過變式分析,回歸基礎,思考最初問題的解決方案,理順解題思路.

        最后,引領解題思維,從最基礎和最熟悉的題型入手,反向尋求解題途徑,從而突破疑難題的思維痛點和難點,通過轉化化歸將問題落點在基礎題型與基本方法的理解和掌握上.

        四、反向解題,突破難點

        變式4求證:函數(shù)f(x)=e2x-e2x2在(0,+∞)上存在極大值.

        證明f′(x)=2e2x-2e2x,f′′(x)=4e2x-2e2,f′(x)在單調遞增,在單調遞減,且所以存在使得f′(x1)=0.當x∈(0,x1)時,f′(x)>0,當時,f′(x)<0,所以f(x)在x=x1處存在極大值.

        變式3若函數(shù)f(x)=e2x-ax2在(0,+∞)上單調遞增,求實數(shù)a的取值范圍.

        解函數(shù)f(x)=e2x-ax2在(0,+∞)上單調遞增,等價于f′(x)=2e2x-2ax≥0在(0,+∞)恒成立,等價于在(0,+∞)恒成立,令易求gmin(x)=2e,故a≤2e.

        變式2若函數(shù)f(x)=e2x-ax2在(0,+∞)上存在極大值,求實數(shù)a的取值范圍.

        解由變式3可知,當a≤2e時,函數(shù)f(x)=e2x-ax2在(0,+∞)上單調遞增,故當a≤2e時,函數(shù)f(x)=e2x-ax2在(0,+∞)上不存在極大值,當a>2e時,f′(x)=2e2x-2ax,f′′(x)=4e2x-2a,f′(x)在單調遞增,在單調遞減,且所以存在使得f′(x1)=0,且當x∈(0,x1)時,f′(x)>0,當時,f′(x)<0,所以f(x)在x=x1處存在極大值,故a>2e.

        變式1已知f(x)=e2x-ax2,a∈?,x∈(0,+∞),求f(x)的極大值M.

        解由變式2可知,存在使得f(x)在x=x1處存在極大值,且極大值

        (2019年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試(一)(理科數(shù)學)第21題)已知f(x)=e2x-ax2,a∈?,若f(x)在(0,+∞)上存在極大值M,證明

        解由變式1可知,存在使得f(x)在x=x1處存在極大值且f′(x1)=2e2x1-2ax1=0,即有e2x1=ax1.因為a>2e,所以

        五、反思引申,強化遷移

        透過解題過程的演化滲透轉化化歸的數(shù)學思想方法,理解和掌握轉化化歸的數(shù)學思想內核,通過變式破解函數(shù)難題的思維瓶頸,設計“主問題”和“輔問題”加深數(shù)學基本概念的理解和掌握.

        本題最初的“主問題”是證明不等式恒成立問題,通過變式引領思維的發(fā)展,把“主問題”一步一步引向求極值以及分類討論求參數(shù)范圍等熟悉的“輔問題”上,從而逐步突破“主問題”的思維難點,化難為易,從熟悉的“輔問題”出發(fā),抽絲剝繭,思維層次得到提高,變式設計層層遞進,難度逐級降低,通過變式引申“輔問題”,回歸數(shù)學概念和基礎,提高破解難題的思維能力,讓思維的發(fā)展過程看得見.更加真切的明白解題思維獲得的來源,提升問題的轉化化歸能力,化繁為簡,變難為易,體現(xiàn)數(shù)學思維的本真!

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