四川省成都實(shí)驗(yàn)外國(guó)語學(xué)校(611130) 宿曉陽

張景中院士在文[1]中指出：“推廣是數(shù)學(xué)研究中極其重要的手段之一，數(shù)學(xué)自身的發(fā)展在很大程度上依賴于推廣.數(shù)學(xué)家總是在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，向未知的領(lǐng)域擴(kuò)展，從實(shí)際的概念及問題推廣出各種各樣的新概念、新問題.”推廣是研究數(shù)學(xué)的重要方法，也是數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的重要方法，推廣可以把問題一般化，從而實(shí)現(xiàn)從“一個(gè)題”到“一類題”的認(rèn)知內(nèi)化.推廣可以培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)、探究意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).本文嘗試將一些樸實(shí)且平凡的三元不等式進(jìn)行推廣，得到了一些精致、有趣的n元不等式.供參考與欣賞.同時(shí)為我們的英才教育提供一點(diǎn)新鮮血液!

命題1設(shè)ai(i=1,2...,n)是正實(shí)數(shù)，n≥3，S=

證明由均值不等式和柯西不等式，有

上述n個(gè)不等式相加，即得

注此題是文[2]中的如下不等式的推廣：

命題2設(shè)ai(i=1,2...,n)是正實(shí)數(shù)，n≥2，則

證明由柯西不等式和均值不等式，有

注此題是如下不等式的推廣：

(《數(shù)學(xué)教學(xué)》2018年第6期問題與解答1032)設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù)?求證：

命題3設(shè)ai(i=1,2...,n)是正實(shí)數(shù)，n≥3，則

證明由均值不等式，有所以欲證不等式(1)，只需證

又由均值不等式，有

注此題是文[3]中的如下不等式的推廣：

命題4設(shè)ai(i=1,2...,n)是正實(shí)數(shù)，n≥3，則

證明易知不等式(3)

注此題是如下的2006年羅馬尼亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題的推廣：

命題5設(shè)ai(i=1,2...,n)是正實(shí)數(shù)，n≥3，則

證明由均值不等式，有

兩邊同除以n，即得不等式(4)成立.

注此題是如下的2019年羅馬尼亞國(guó)家數(shù)學(xué)奧林匹克試題的推廣：

命題6設(shè)ai(i=1,2...,n)是正實(shí)數(shù)，n≥3，則

證明由柯西不等式即易知

于是不等式(6)和均值不等式即得

即不等式(5)成立.

注此題是如下的2011年西班牙數(shù)學(xué)奧林匹克試題的推廣：設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù)，求證：

命題7設(shè)ai(i=1,2...,n)是正實(shí)數(shù)，n≥3，則

證明由于不等式(7)的對(duì)稱性，不妨設(shè)由柯西不等式設(shè)則

即不等式(7)成立.

注此題是如下的《中等數(shù)學(xué)》2017年第6期奧林匹克問題與解答高531的推廣：設(shè)正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=3，求證：其中∑表示三元循環(huán)和.