彭?xiàng)顥?陰香陵 朱英豪

摘 要：空中加油是一項(xiàng)高風(fēng)險的操作，本文針對伴隨機(jī)出現(xiàn)故障，建立挽救模型，及時增加接應(yīng)機(jī)的數(shù)量。針對接應(yīng)機(jī)出現(xiàn)故障，建立預(yù)防模型，提前增加伴隨機(jī)的數(shù)量，每次加油均遵守均分原則。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納 遞推法 均分原則

執(zhí)行任務(wù)的飛機(jī)需要在眾多加油飛機(jī)的幫助下成功完成出航、返航的任務(wù)?？紤]到飛機(jī)的任務(wù)十分緊迫，所以任務(wù)飛機(jī)能夠飛行的距離要越遠(yuǎn)越好。由于空中加油是一項(xiàng)風(fēng)險很高的操作，運(yùn)輸和加油飛機(jī)都有可能出現(xiàn)故障。在保證總成功率的情況下，找到相應(yīng)的最優(yōu)解決方案是十分重要的。

一、空中加油

在太平洋的一個小島上，救援人員需要給居民們運(yùn)送少量應(yīng)急藥品并將小島上的一名重傷人員運(yùn)送到醫(yī)療基地。基地里有機(jī)隊(duì)和足夠的設(shè)備，可供給執(zhí)行任務(wù)的飛機(jī)進(jìn)行空中加油。這種飛機(jī)最大燃油能力是155公斤，進(jìn)行簡單修改后的可以用來加油的飛機(jī)最大燃油能力提高為170公斤。執(zhí)行任務(wù)的飛機(jī)在正常負(fù)載情況下最遠(yuǎn)能飛680海里，它從基地出發(fā)，經(jīng)615海里的行程抵達(dá)小島，隨后將需要飛行同樣的路程順利返回基地。

為使任務(wù)飛機(jī)能夠飛行的最遠(yuǎn)，加油飛機(jī)不斷給任務(wù)飛機(jī)加油，助飛機(jī)完成任務(wù)，將加油飛機(jī)簡稱為輔機(jī)，執(zhí)行任務(wù)的飛機(jī)簡稱為主機(jī)。根據(jù)每一架輔機(jī)給主機(jī)加油的方式可以將輔機(jī)的類型分為伴隨機(jī)和接應(yīng)機(jī)。

二、故障解決策略

考慮到加油過程中輔機(jī)可能出現(xiàn)故障，不能按照計(jì)劃為主機(jī)加油，所以要提前準(zhǔn)備故障時的解決方案。在原計(jì)劃中，由一架輔機(jī)C1在主機(jī)出航的過程中給它加油，由兩架輔機(jī)A1和A2在主機(jī)返航的過程中給它加油。當(dāng)這三架輔機(jī)中任意一架輔機(jī)出現(xiàn)故障不能給主機(jī)加油時，主機(jī)就難以順利完成任務(wù)以及返回基地。針對這三架輔機(jī)可能出現(xiàn)的故障情況主要分為以下三大類別：（1）伴隨機(jī)發(fā)生故障;（2）接應(yīng)機(jī)發(fā)生故障;

2.1伴隨機(jī)發(fā)生故障

在這里，假設(shè)伴隨或者接應(yīng)主機(jī)的飛機(jī)在出發(fā)前都通過了故障檢測，所以所有的輔機(jī)只可能在飛行的過程中出現(xiàn)故障。當(dāng)唯一的一架伴隨機(jī)C1發(fā)生故障時，主機(jī)無法在出航L/3處加滿油，此時即便從基地派遣加油飛機(jī)也無法追上主機(jī)。于是主機(jī)將在不加油的情況下一直將油用光，所以當(dāng)主機(jī)剩余油量為0時它所在的位置為距小島0.085L處。于是接應(yīng)機(jī)需要比計(jì)劃提前起飛，使每一架接應(yīng)機(jī)所到達(dá)的位置主機(jī)油量都為0。

當(dāng)?shù)谝患芙討?yīng)機(jī)將自己的剩余油量均分給主機(jī)后，它們兩個可以共同前進(jìn)的航程如下[1]：

（L-（0.825L-0.085L））/2=0.13L（1）

當(dāng)?shù)谝患芙討?yīng)機(jī)和主機(jī)油量耗盡時，它們距離小島為0.215L，距離基地為0.61L。于是第二架接應(yīng)機(jī)給主機(jī)和第一架接應(yīng)機(jī)加油后，它們能夠前進(jìn)的航程為。當(dāng)這兩架接應(yīng)機(jī)和主機(jī)的油量都耗盡時，它們距離小島為0.345L，距離基地為0.48L。同上可得第k架接應(yīng)機(jī)給其它接應(yīng)機(jī)和主機(jī)加油后，共同能夠前進(jìn)的航程為：

（L-（0.825L-0.085L-0.13（k-1）L））/（k+1）=0.13L（2）

于是可得到的規(guī)律為：每一架接應(yīng)機(jī)給飛機(jī)和其它接應(yīng)機(jī)加油后，所有飛機(jī)均能前進(jìn)0.13L。為使主機(jī)能夠返回基地，所需要的接應(yīng)機(jī)數(shù)量增加，具體可得：

m×0.13L=0.825L-0.085L（3）

解方程得m約等于5.7，所以可以得到的結(jié)論如下：

當(dāng)伴隨機(jī)發(fā)生故障時，主機(jī)在出航的過程中無法被加油，從而能夠航行的距離縮減，需要接應(yīng)機(jī)提前起飛。提前起飛的接應(yīng)機(jī)仍在主機(jī)油量耗盡的時候與它相遇[2]，所以在返航的過程中，主機(jī)共需要6臺接應(yīng)機(jī)在主機(jī)依次用完油的時候給主機(jī)加油，各加油位置分別為距離小島63.4海里處、160.35海里處、257.3海里處、354.26海里處、451.22海里處、548.17海里處。

2.2接應(yīng)機(jī)發(fā)生故障

針對接應(yīng)機(jī)發(fā)生故障的情況，又可以分為一架接應(yīng)機(jī)故障和兩臺都故障的情況。在這里為了使安全性最高，考慮最壞的情況，即所有的接應(yīng)機(jī)均發(fā)生故障。

在正常情況下，主機(jī)經(jīng)一次加油后能夠返航，并飛行到距基地為0.41L的位置，但此時由于接應(yīng)機(jī)中途發(fā)生了故障，已經(jīng)無法及時為主機(jī)進(jìn)行加油。即使基地的相關(guān)人員得知該輔機(jī)發(fā)生故障后立即派遣接應(yīng)機(jī)前去加油也無法在主機(jī)油量消耗完之前給它加油。飛機(jī)一旦沒有了燃料將會十分危險，如果接應(yīng)機(jī)無法為主機(jī)提供幫助，只有提前準(zhǔn)備好足夠的伴隨機(jī)，以防接應(yīng)機(jī)出現(xiàn)故障后，主機(jī)因油量不足而無法返回基地。

在這里，當(dāng)只有伴隨機(jī)為主機(jī)提供幫助時，主機(jī)的作戰(zhàn)半徑與輔機(jī)最大航程之間的關(guān)系為[3]：

r=（1.91n+1.82）L/2（n+1）（4）

當(dāng)r等于615海里，L=745.8海里時，計(jì)算出n約等于5.7，所以可以得到的結(jié)論為：當(dāng)接應(yīng)機(jī)發(fā)生故障后再進(jìn)行補(bǔ)救是不可能的，只有提前考慮到接應(yīng)機(jī)可能發(fā)生故障這一點(diǎn)后，讓6架伴隨機(jī)和主機(jī)一起出發(fā)，在出航的過程中依次在6個最佳加油位置給主機(jī)加油。這6個最佳加油位置分別為距離基地93.23海里處、186.45海里處、279.68海里處、372.9海里處、466.13海里處、559.35海里處。每架輔機(jī)給其它飛機(jī)加油時，在保證自己能返回基地的基礎(chǔ)上，把剩余油量按等份分給其它的每一架飛機(jī)。

參考文獻(xiàn)

[1] 王功明，王秀琴，吳華瑞， 等.空中加油最優(yōu)分配方案設(shè)計(jì)[J].計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)，2007，28（10）：2422-2425.

[2] 王瑞，王偉，王鵬.無人機(jī)空中加油建模與仿真分析[J].計(jì)算機(jī)測量與控制，2011，19（1）：142-144.

[3] 萬宏，賀俊，程慧燕， 等.空中加油問題當(dāng)前最好的幾個方案[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2008，38（16）：1-8.

作者簡介：

彭?xiàng)顥睿?999—），性別：女，名族：漢，籍貫：湖北省襄陽市，學(xué)歷：大學(xué)本科，學(xué)校：華北理工大學(xué)，專業(yè)：能源與動力工程。