牛坤　華強

摘要：平底蛋形斷面具有施工相對簡單、適應(yīng)性強的特點，但斷面形狀較復(fù)雜，正常水深計算需要求解超越方程，計算過程繁瑣且無法直接求解。利用面積分割法計算出普通平底蛋形斷面的水力要素方程，得到3種典型斷面的過水?dāng)嗝婷娣e、濕周和水深方程。根據(jù)正常水深基本方程和優(yōu)化擬合理論，推導(dǎo)出求解3種平底蛋形典型斷面正常水深超越方程的直接簡化計算公式，并進行公式精度分析。結(jié)果表明，直接簡化計算公式具有形式簡單、計算方便、精度高的特點，在適用范圍內(nèi)正常水深相對誤差最大值僅為0.34%。

關(guān)鍵詞：平底蛋形斷面;水力要素;正常水深;直接計算

中圖分類號：TV133

文獻標(biāo)志碼：A

doi：10.3969/j.issn. 1000 - 1379.2019. 04.021

正常水深是明渠水流計算中的重要參數(shù)，其傳統(tǒng)計算方法主要有試算法、迭代法和查圖法等[1]，計算過程繁瑣且一般無法直接求解。對于常見無壓隧洞如城門洞形、馬蹄形等斷面形式的正常水深計算研究，通過采用擬合優(yōu)化或迭代算法，已取得了較為實用的成果[2-5]。無壓蛋形斷面隧洞是排灌工程采用的斷面形式之一，結(jié)構(gòu)受力條件良好，水力性能優(yōu)越，適用于地質(zhì)條件差、山巖壓力大的地質(zhì)環(huán)境。對于普通的六圓弧和四圓弧蛋形斷面，文獻[6-9]推導(dǎo)出水力要素表達式，并給出了正常水深的直接計算公式。

平底蛋形斷面作為《水工設(shè)計手冊》[10]推薦的無壓水工隧洞專用斷面之一，將普通六圓弧蛋形斷面的反拱圓弧底調(diào)整為平底板，降低了施工難度，具有較好的應(yīng)用前景。目前，對于平底蛋形斷面的水深計算未見研究成果，本文推導(dǎo)了平底蛋形普通斷面的水力要素表達式，分析了3種平底蛋形典型斷面正常水深隱函數(shù)方程，運用擬合優(yōu)化方法獲得該斷面形式的簡化直接計算公式，為工程應(yīng)用提供簡單、實用的計算方法。

1 平底蛋形普通斷面形狀特征參數(shù)

平底蛋形普通斷面由5段圓弧和底部水平直線段組成，其斷面形狀如圖l（a）所示。斷面最大寬度為b，底部水平直線段兩端為1/4圓弧段，圓弧半徑為r1;中部扇形區(qū)域由半徑為r2的兩段圓弧圍成，圓心位于斷面最大寬度處的水平線上，圓心角為θ;頂拱段圓弧半徑為r3，圓心位于斷面中心線上，對應(yīng)的圓心角為π一2θ。

2 平底蛋形斷面水力要素計算

2.1 平底蛋形普通斷面水力要素

根據(jù)平底蛋形普通斷面的形狀特征，不同水深處的過水?dāng)嗝婷娣eA由兩側(cè)扇形區(qū)、中部矩（梯）形區(qū)組合而成，斷面水力計算參數(shù)如圖l（b）所示，則過水?dāng)嗝婷娣e

2.2 平底蛋形典型斷面水力要素

無壓隧洞斷面高寬比一般在1.0 - 1.5之間，《水工設(shè)計手冊》[10]給出了3種常用的平底蛋形典型斷面形狀特征參數(shù)，見表1。I型、Ⅱ型和Ⅲ型斷面的最大寬度均為6，高寬比分別為1.0、1.2、1.4，中部扇形區(qū)域圓弧半徑與斷面寬度的比值分別為1.0、1.5、2.0。3種斷面隨著高寬比的增大，斷面向“瘦高形”變化，頂拱圓心角越小，越適用于垂直地應(yīng)力（豎向荷載）大的場合。

3 平底蛋形斷面正常水深計算

3.1 平底蛋形斷面正常水深的理論計算

平底蛋形斷面正常水深的計算采用明渠均勻流基本方程，即

將表2中3種平底蛋形典型斷面的水力參數(shù)計算公式代人式（4），整理可得不同水深范圍的正常水深求解方程。限于篇幅，僅給出I型斷面的正常水深求解方程，Ⅱ型、Ⅲ型求解方程類似。

由式（5）可知，平底蛋形典型斷面的正常水深方程均為關(guān)于圓心角與已知量綜合參數(shù)的一元方程。式（5）為超越方程，無法直接求解計算，一般通過間接迭代法或試算法求解，計算過程較為復(fù)雜。

3.2 平底蛋形典型斷面正常水深的直接計算式推求

關(guān)于無壓隧洞無量綱正常水深x的取值范圍，理論上為0≤x≤H/b，在工程實際中，對于x<0.05的較小過流情況，正常水深計算的實際意義不大。同時現(xiàn)行規(guī)范[11]規(guī)定，無壓隧洞應(yīng)避免運行中出現(xiàn)明滿流交替狀態(tài)，要求頂部凈空面積不小于整個隧洞斷面面積的15%。經(jīng)試算求得XI≤0.75、xII≤0.90、xIII≤1.05，無量綱正常水深均位于斷面頂拱以下區(qū)域內(nèi)，相應(yīng)的無量綱綜合參數(shù)Y1∈[0.040 5，0.477 2]、yII∈[0.040 9.0.541 5]、yⅢ∈[0.038 1，0.608 5].

在x取值范圍內(nèi)以一定的步長值給定一組數(shù)值，將其代人式（6）的αβ表達式中，再將求出的αβ值代人式（5），即可求得相應(yīng)的無量綱綜合參數(shù)y值。運用Curve Expert軟件，對散點（y、x）進行擬合分析，得到無量綱正常水深的直接計算公式。I型斷面公式為

4 公式精度分析

為分析擬合公式的正確性及誤差分布情況，以I型斷面為例進行精度分析。首先在XI∈[0.05，0.75]的范圍內(nèi)給定不同的x值，由式（6）求出α、β值，再將其代人式（5），求出相應(yīng)的y值，把y值代人式（7）即可求出x的近似值x，從而計算準(zhǔn)確值x的相對誤差，同理可得出Ⅱ型和Ⅲ型斷面擬合公式（8）、公式（9）的誤差分布情況，具體結(jié)果見圖2。

由圖2可知，正常水深直接計算公式在適用范圍內(nèi)的相對誤差圍繞無量綱水深x呈正負小幅波動，相對誤差均較小，大部分區(qū)域相對誤差在±0.1%之間，最大相對誤差不超過0.34%。表明上述正常水深直接計算公式可滿足工程需要，是3種平底蛋形典型斷面正常水深計算的高精度簡便方法。

5 應(yīng)用舉例

某水庫泄洪隧洞擬采用平底蛋形斷面，斷面最大寬度6= 8.4 m，隧洞表面糙率n=0.015.隧洞比降江0.014，設(shè)計流量為460 m/s，校核流量為580 m/s，分別計算采用I、Ⅱ、Ⅲ型斷面時的隧洞正常水深。

經(jīng)計算得：采用I型斷面時，正常水深數(shù)值解分別為4.342、5.362 m，相對誤差分別為-0.1 12%、0.122%;采用Ⅱ型斷面時，正常水深數(shù)值解分別為4.293、5.206m，相對誤差分別為-0.074%.-0. 116%：采用Ⅲ型斷面時，正常水深數(shù)值解分別為4. 311、5.157 m，相對誤差分別為0.068%、- 0.083%?？梢?，擬合公式精度滿足工程需要。

6 結(jié)論

根據(jù)明渠均勻流基本方程，推導(dǎo)了平底蛋形斷面的水力要素表達式，研究了其正常水深的計算方法，通過擬合優(yōu)化計算，給出了3種平底蛋形典型斷面正常水深的直接簡化計算公式。通過算例驗證了正常水深直接計算公式的準(zhǔn)確性，與理論值比較，其最大相對誤差僅為0.34%。直接計算公式形式簡單、計算方便，精度完全滿足工程應(yīng)用要求，便于工程設(shè)計應(yīng)用。

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【責(zé)任編輯張華巖】