王露

摘要：二項(xiàng)分布b（n，p）是一種應(yīng)用較為廣泛的離散型分布.在實(shí)際應(yīng)用中，常常需要對(duì)參數(shù)p進(jìn)行估計(jì);但當(dāng)總體參數(shù)p較小時(shí)，樣本中目標(biāo)事件出現(xiàn)的頻率為0，此時(shí)對(duì)參數(shù)p采用傳統(tǒng)的矩估計(jì)具有一定的局限性，使其估計(jì)結(jié)果出現(xiàn)=0.針對(duì)這種局限性，本文提出一種基于二項(xiàng)分布的改進(jìn)模型，該模型及其估計(jì)方法在一定程度上能克服傳統(tǒng)矩估計(jì)方法在處理參數(shù)p較小時(shí)的不足.

關(guān)鍵詞：二項(xiàng)分布;改進(jìn)模型;參數(shù)估計(jì)

中圖分類號(hào)：O212? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1673-260X（2019）06-0009-02

1 引言

對(duì)于二項(xiàng)分布b（n，p）中抽取的樣本，若p較小，樣本中目標(biāo)事件出現(xiàn)的頻率極低，甚至為0;此時(shí)該如何對(duì)總體參數(shù)p進(jìn)行估計(jì)？利用傳統(tǒng)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)，得到的=0，該結(jié)果幾乎沒有意義，因?yàn)榭赡芨鶕?jù)對(duì)事件的認(rèn)知發(fā)現(xiàn)概率不可能為0;國內(nèi)外已有對(duì)二項(xiàng)分布中比例參數(shù)估計(jì)改進(jìn)的相關(guān)研究，張學(xué)新[1]針對(duì)p值接近于0或1的極端情形下對(duì)17種置信區(qū)間的選擇方法進(jìn)行比較.Alan Agresti[2]等人對(duì)分類數(shù)據(jù)分析中參數(shù)的最優(yōu)置信區(qū)間進(jìn)行了探討.徐鵬鵬[3]針對(duì)二項(xiàng)分布應(yīng)用的局限性，通過構(gòu)造矩方程和極大似然方程可求出估計(jì)參數(shù).

2 二項(xiàng)分布的簡介

隨機(jī)試驗(yàn)中僅有兩個(gè)結(jié)果A與A，且A發(fā)生的概率P（A）=p;對(duì)于該隨機(jī)試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次，則稱為n重伯努利試驗(yàn).若以隨機(jī)變量X表示n重伯努利試驗(yàn)事件發(fā)生的次數(shù)，則在n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率

P（X=k）=Cnkpk（1-p）n-k k=0，1…n

上式稱為二項(xiàng)分布[4]，記為X～b（n，p）.

對(duì)該模型中參數(shù)p進(jìn)行估計(jì)，若采用傳統(tǒng)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)方法得出=（k表示樣本中目標(biāo)事件發(fā)生的次數(shù)）.

由于二項(xiàng)分布中概率計(jì)算的復(fù)雜和煩瑣性，尤其當(dāng)參數(shù)n較大時(shí).針對(duì)二項(xiàng)分布在一些特殊情形下，有不同的近似計(jì)算方法.比如利用泊松定理、棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理分別給出了二項(xiàng)分布的泊松近似、正態(tài)近似[1].

3 基于二項(xiàng)分布改進(jìn)的模型

3.1 模型的構(gòu)建

在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，由于試驗(yàn)場地、人員、設(shè)備等條件的影響，試驗(yàn)單元的個(gè)數(shù)受到了限制;假設(shè)一次試驗(yàn)中有n個(gè)試驗(yàn)單元;若這n個(gè)試驗(yàn)單元中目標(biāo)事件發(fā)生的次數(shù)獨(dú)立的服從b（n，p），上述試驗(yàn)可以看作一次n伯努利試驗(yàn).若研究的目標(biāo)事件發(fā)生概率極小，則在一次n重伯努利試驗(yàn)中該事件未發(fā)生，此時(shí)若對(duì)參數(shù)p進(jìn)行估計(jì)得到=0;根據(jù)對(duì)事件的認(rèn)知，該事件發(fā)生的概率肯定不為0，可以得出該估計(jì)顯然不合理;例如，國外有一項(xiàng)研究在車險(xiǎn)定價(jià)中需估計(jì)汽車保險(xiǎn)杠在一次碰撞中脫落的概率，該事件發(fā)生的概率較小;若采用重復(fù)試驗(yàn)的方式進(jìn)行研究，重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)會(huì)受到場地和設(shè)備的限制，會(huì)出現(xiàn)試驗(yàn)已全部進(jìn)行完目標(biāo)事件仍未發(fā)生.

針對(duì)上述問題，本文構(gòu)建如下模型：

第1次n重伯努利試驗(yàn)，若事件A發(fā)生的頻率為0;則進(jìn)行第2次n重伯努利試驗(yàn)，若事件A發(fā)生的為頻率0;則繼續(xù)進(jìn)行第3次n重伯努利試驗(yàn)……直到出現(xiàn)事件A發(fā)生的頻率不為0為止，記發(fā)生在第K次n重伯努利試驗(yàn).以隨機(jī)變量Y表示事件A在第K次n重伯努利試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù).

假設(shè)事件發(fā)生的概率為p，各試驗(yàn)單元之間是相關(guān)獨(dú)立的.離散型隨機(jī)變量Y的分布列可表示如下.

4 結(jié)語

二項(xiàng)分布是現(xiàn)實(shí)生活中常見的一種分布，應(yīng)用范圍較廣;實(shí)際應(yīng)用中涉及參數(shù)p的估計(jì)問題，傳統(tǒng)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)方法適用的范圍是參數(shù)p不宜過小.對(duì)于一些小概率事件傳統(tǒng)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)極易出現(xiàn)估計(jì)值為0，導(dǎo)致與現(xiàn)實(shí)不符.本文提出了一種基于二項(xiàng)分布的改進(jìn)模型，在一定程度能克服傳統(tǒng)估計(jì)方法的不足.

參考文獻(xiàn)：

〔1〕張學(xué)新.極端頻率情形下二項(xiàng)分布比例置信區(qū)間的比較[J].重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2016，33（3）：91-97.

〔2〕Agresti A，Coull B. Approximate better than‘exact’for Cls for binomial parameters[J].American Statistician，2008，52：119-126.

〔3〕徐鵬鵬，蘇本躍.改進(jìn)二項(xiàng)分布的性質(zhì)及其應(yīng)用[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2016，22（4）：11-13.

〔4〕盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2009.

〔5〕張艷.談二項(xiàng)分布的近似計(jì)算及其在保險(xiǎn)問題中的應(yīng)用[J].雞西大學(xué)學(xué)報(bào)，2012（1）：45-46.