陳春瑤 吳晉湘 趙濤 劉宏寶 祖佳紅 王肖蘭

摘要?用Poisson-Boltzmann（P-B）方程、外加電場的Laplace方程和描述電滲-壓力驅動流流場分布的N-S方程，求解了電滲-壓力驅動流流場的無量綱速度的近似解析解，以及電滲-壓力驅動流與壓力驅動流壁面剪切力比.定量研究不同電荷濃度、外加電場強度、zeta電勢以及單位壓降對流場無量綱速度分布的影響。研究表明：對于在較低雷諾數(shù)下的微細流道內(nèi)流動，雙電層的電粘效應確實可以引起壁面剪切應力的增大，隨著沿程壓降的增大，電粘效應的重要性相對減小，但仍然對流動具有較大影響，雙電層電粘效應的存在是微細管道內(nèi)流動特性與傳統(tǒng)理論存在差異的原因之一。

關?鍵?詞?微流道;電滲-壓力驅動流;解析解;切應力比;速度分布

中圖分類號?TN492?????文獻標志碼?A

Analytical?solution?analysis?of?two-dimensional?microchannel?electroosmotic-pressure-driven?flow?characteristics

CHEN?Chunyao，?WU?Jinxiang，?ZHAO?Tao，?LIU?Hongbao，?ZU?Jiahong，

WANG?Xiaolan

（School?of?Energy?and?Environmental?Engineering，?Hebei?University?of?Technology，?Tianjin?300401，?China）

Abstract?In?this?paper，?the?Poisson-Boltzmann（PB）equation，?the?Laplace?equation?of?the?applied?electric?field，?and?the?Naiver-Stokes?equations?which?described?the?distribution?of?the?flow?field?of?the?electroosmotic-pressure?driven?flow?were?used?to?solve?the?approximate?analytical?solution?of?the?dimensionless?velocity?of?the?electroosmotic-pressure?driven?flow.?The?bed?shear?ratio?of?electroosmotic-pressure?driven?flow?versus?pressure?driven?flow?was?solved.?The?effects?of?different?charge?concentration，?applied?electric?field?strength，?zeta?potential?and?unit?pressure?drop?were?studied.?The?research?shows?that?in?the?microscopic?flow?with?lower?Reynolds?number，?the?electro-viscous?effect?of?the?double?electric?layer?does?cause?the?increase?of?the?bed?shear?stress.?With?the?increase?of?the?pressure?drop，?the?importance?of?the?electro-viscous?effect?is?relatively?reduced，?but?still?have?a?greater?impact?on?the?flow.?The?existence?of?double-layer?electro-viscous?effect?is?one?of?the?important?reasons?for?the?differences?in?the?flow?characteristics?of?the?micro-pipe?and?the?traditional?theory.

Key?words?microchannel;?electroosmotic-pressure-driven?flow;?analytical?solution;?Shear?stress?ratio;?speed?distribution

0?引言

隨著航空航天技術與CPU功耗的增大，器件的高散熱能力成為眾多科研人員的研究重點。微細通道由于幾何尺寸較小，換熱器的表面積與體積比較常規(guī)尺寸大得多，所以對流換熱系數(shù)較高。然而隨著通道尺寸的減小，微細通道中的流動出現(xiàn)了一些不同于常規(guī)尺度通道的現(xiàn)象，因此空間微尺度和時間微尺度條件下的流動問題的研究就顯得十分重要。這是由于微細通道的尺寸遠小于常規(guī)通道的尺寸，隨著通道尺寸的減小，一些宏觀流動中可以忽略的因素將可能非常重要而不可忽略。例如微流道內(nèi)的動電效應、壁面粗糙度效應、表面張力效應等[1]。

Li等[2]實驗研究壓力驅動流電粘效應，指出對于純水或稀釋電解質溶液，電粘效應是引起流體壓降增大的主要因素。Vakili等[3]運用有限差分法研究矩形微流道內(nèi)冪律流體EOF流體流動以及其換熱特性。Nadapana?等[4]研究微通道內(nèi)壓力驅動的冪律流體的電粘效應，結果發(fā)現(xiàn)雙電層厚度及zeta電勢對冪律流體電滲流的影響不同。Srinivas?[5]基于非線性Poisson-Boltzmann（P-B）方程與冪律流體的動量方程求解了圓形與橢圓形微通道內(nèi)電滲流速度的解析解。分析不同動電參數(shù)K、zeta電勢ζ、n以及電場強度E下不同的流量比Q/Qcir。結果表明，與圓形微通道相比，橢圓形微通道的流速較低，尤其是在較低的K與ζ值.隨著縱橫比的增大流速降低幅度變大，對于R?>?10?μm的微通道對稱型電解質，物質的量濃度低至10–6?mol/L溶液仍可以獲得較大K值。Lim等[6]基于電流監(jiān)測法實驗研究了納米結構取向對EOF的影響，實驗結果表明，垂直于微通道的納米線使EOF速度顯著降低（約20%）。?Peng?等[7]用電流斜率法系統(tǒng)地研究了尺寸為20?nm的單個PDMS納米通道的電滲流速度。?Shit等[8]數(shù)值研究了滑移速度對非均勻微通道中旋轉電滲流的影響，并研究不同電滲參數(shù)K和旋轉雷諾數(shù)Re對非定常旋轉電滲流速的影響。Rojas等?[9]數(shù)值研究了帶有滑移速度的圓形微通道中牛頓流體的脈動電滲流（PEOF），并研究歸一化長度、角雷諾數(shù)、電場振幅與動電參數(shù)對流速的影響。申力等[10]運用量綱分析法對微通道內(nèi)非牛頓流體電滲流進行分析，結果表明微通道內(nèi)冪律流體EOF速度與外加電場、zeta電勢以及稠度系數(shù)均成冪律函數(shù)關系，并且稠度系數(shù)的指數(shù)為冪律指數(shù)的負數(shù).高峰等[11]運用多物理場數(shù)值計算分析軟件數(shù)值模擬了二維矩形流道的壓力-電滲驅動流，通過二維流道壓力分布分析了微流道中各段產(chǎn)生不同流型的原因。趙曉玲等[12]基于Poisson-Boltzmann方程、Naiver-Stokes方程、Nernst-Planck方程和能量方程描述微通道內(nèi)雙電層電勢、流場、離子濃度和溫度分布情況，進一步研究不同流動參數(shù)對流體傳熱過程的作用，討論不同流動參數(shù)下各熱效應的變化規(guī)律，分析熱效應參數(shù)對流體總熵增加及各部分熱效應對總熵比重的影響。

目前針對電滲流的研究主要是針對雙電層存在對電滲流流型影響的研究，很少見到關于雙電層電勢、外加電場、溶液濃度以及壓力梯度對壁面剪切力比影響的研究，另外關于壓力梯度對電滲-壓力驅動流速度分布的影響也少有見到。

本文基于P-B模型，結合外加電場的Laplace方程以及描述電滲流流場分布的N-S方程，求解電滲-壓力驅動流的無量綱速度的近似解析解以及壁面剪切力比的解析解，并用以分析不同電荷密度、外加電場強度、zeta電勢以及壓降對流場無量綱速度以及壁面剪切力比的影響。

1?電滲流原理與數(shù)學基礎

大多數(shù)固體與液體接觸會釋放電荷，使液體形成雙電層。緊靠壁面的電荷由于異種電荷間的吸附作用，牢牢地吸附在壁面不產(chǎn)生移動，與其極性相同的離子則會擴散到擴散層中，形成凈電荷，這些帶電的離子在外加電場的作用下運動，帶動擴散層內(nèi)的液體流動，并通過流體的粘性帶動中心流體流動。

如圖1，計算模型二維平板微流道的高度為2H，取H=5?μm，流道長度L>>H，上下壁面為對稱壁面，zeta電勢均為ζ。沿流道x方向施加外加電場Ex及單位壓降dP/dx。

1.1?P-B方程

雙電層的電勢φ與單位體積內(nèi)的凈電荷密度ρe滿足Poisson方程[13]：

[？2φ=-ρeεr×ε0]， （1）

式中：[εr]是電解液的相對介電常數(shù);[ε0]代表真空介電常數(shù)。

擴散層中單位體積內(nèi)凈電荷密度[ρe]滿足

[ρe=Σni×zi×e]， （2）

式中：[ni]表示單位體積溶液中第i種離子的數(shù)量;[zi]為離子的化合價;e是電子帶有的電荷量。

微通道壁面附近擴散層離子濃度分布服從Boltzmann方程[14]分布：

[ni=n0×exp（-zieφkbT）]， （3）

式中：[kb]為玻爾茲曼常數(shù);T為溶液溫度;[n0]為溶液中主體離子數(shù)濃度，[n0=NA×CM;NA]為阿伏伽德羅常數(shù);[CM]為離子物質的量濃度。

取溶液為對稱電解液NaCl：有z+∶z-=1∶1，凈電荷密度[ρe]與正負離子的濃度差線性相關：

[ρe=z×e×n+-n-???。] （4）

正負離子的濃度分布滿足

[n+=n0exp?（-zieφkbT）]， （5）

[n-=n0expzieφkbT]。? （6）

將式（5）、式（6）帶入式（4）有

[ρe=-2zen0sinhzeφkbT]。 （7）

將式（7）帶入式（1），得到描述EDL電勢分布的Poisson-Boltzmann（PB）方程

[？2φ=2zen0εrε0sinhzeφkbT]。 （8）

引入無量綱參數(shù)：[Y=yH]?，[Φ=zeφkbT]?.注意到[d2φdx2]=0，PB方程的無量綱形式為

[d2ΦdY2=K2sinh?（Φ）]， （9）

式中：K為動電參數(shù)，K=[λ-1D×H];[λ-1D為Debye-Huckel15參數(shù)，λ-1D=（2n0e2z2εrε0kbT）12]，其倒數(shù)[λD]通常表征雙電層的特征厚度。

引入線性近似[Φ≈sinh?（Φ）]，并利用邊界條件[Y=？1，Φ=ξ;Y=0，Φ=0且dΦdY=0]。求得

[Φ=ξcosh?（KY）cosh?（K）]。 （10）

1.2?Laplace方程

外加電場滿足Laplace方程：

[？2Ψ=0]。 （11）

X方向電場強度[Ex]：

[Ex=？Ψ]。 （12）

利用條件?[dΨdy=0]，則?[d2Ψdx2]=0?，且有[Ψout=0]?，[Ψin=Ψ0]?，解得：

[Ex=ΨL]。 （13）

1.3?流場的N-S方程

對流動進行如下假設：

1）流體流動為穩(wěn)態(tài)流動，不隨時間變化;

2）流體流動過程中忽略質量力的作用;

3）[dPdx]=常數(shù)，[dPdy]=0?;

4）流動為完全發(fā)展的層流流動。

即流動可以簡化為一維的定常流動，流動的動量方程可以簡化為

[μ？？2u？y2+-dPdx+Exρe=0?。] （14）

取無量綱值：[U=uUP]?，[UP=-H22μdPdx]?，[Φ=zeφkbT]，[Y=yH]以及[Ex=ΨL]，[Px=-dxdp?m/Pa]表示壓強的倒數(shù)，文中提到的壓降即可用此代替;?[Ψ]為外加電場強度。

由式（1）知[ρe=-εrε0d2φdy2]?對[ρe]無量綱化有

[ρe=-εrε0kbTzeH2d2ΦdY2]。

對式（14）無量綱化：

[μUPH2d2UdY2-dPdx+Ex×-εrε0kbTzeH2d2ΦdY2=0]。 （15a）

化簡有

[d2UdY2+2+D1d2ΦdY2=0]。 （15b）

對式（15b）進行兩次積分且利用邊界條件：Y?=?0，[dΦdY=0]，[dUdY=0];[Y=？1]?，?U?=?0解得

[U=1-Y2+D（1-Φξ）]， （16）

式中，[D=2Exεrε0kbTzeH2Px×ξ]。

由式（16）可以看出影響速度分布的雙電層條件主要包括溶液電荷濃度、外加電場強度、雙電層zeta電勢值。

1.4?切應力比

流體壁面的切應力可以表示為[16]

[τ=-μ？u？y|y=H]。 （17）

設[τ0]為壓力驅動流壁面的切應力，[τ1]為電滲-壓力驅動流壁面的切應力，兩者比值有

[τ1τ0=-μ×upH×？U？Y|Y=1-μ？up？y|y=H]?。 ?（18）

對式（18）化簡得到

[τ1τ0=-12？U？Y|Y=1=122+K×D×sinh?（K）cosh?（K）]?。 （19）

2?計算結果

2.1?溶液濃度對無量綱速度的影響

計算用流道材料為硅基板，溶液為NaCl，在一定的范圍內(nèi)ζ電勢與離子濃度的關系為[14]

[ζ（c）=a0+a1ρc]??， （20）

式中[：a0]、[a1]?為溫度、pH值、基板材料、離子種類等的函數(shù)。對于NaCl溶液pH=7時，Revil[17]實驗測得[a0=0，a1≈-20?mV?]，[ρc=-lgCi]??因而式（20）有

[ζ（c）=20lg（CM）]，???????????????????????????（21）

式中，CM為溶液物質的量濃度，mol/L?。

計算模型取x方向電場強度[Ex=105]V/m，[Px=-2×10-5]m/Pa，分別取溶液物質的量濃度為10-3，10-4，10-5，10-6?mol/L，其他常數(shù)均取自表1，帶入式（16）、式（19），計算結果如圖2。

由圖2a）可見，在計算用溶液物質的量濃度范圍內(nèi)（10-3～10-6?mol/L），隨著物質的量濃度的減小，雙電層厚度增大，雙電層電勢的絕對值隨之增大，無量綱速度增大。由圖2b）可見隨著物質的量濃度的減小，壁面剪切力比隨之減小。即隨著溶液物質的量濃度的減小，無量綱速度增大，壁面剪切力反而減小，這可能是由于隨著物質的量濃度的減小，雙電層厚度增大，同時增大了雙電層電粘效應的影響范圍。

2.2?電場強度對無量綱速度的影響

計算模型取溶液物質的量濃度C?=?10-4?mol/L，由式（21）計算得ζ?=?-80?mV，Px?=?-2[×]10-5?m/Pa，分別取x方向電場強度Ex分別為2.5[×]104，5[×]104，1[×]105，2.5[×]105?V/m，其他數(shù)據(jù)由表1提供，帶入式（16）、式（19）計算結果如圖3所示。

由圖3可見，隨著電場強度的增大，無量綱速度與壁面剪切應力隨之增大，雙電層厚度并未發(fā)生改變。這是由于隨著電場強度的增大，溶液間雙電層的電粘效應增強，而電粘效應的作用距離并未改變，因而導致壁面剪切力增大。

2.3?zeta電勢對無量綱速度的影響

由于ζ電勢與溫度、pH值、基板材料、離子種類等溶液性質相關，計算模型取ζ電勢分別為-20，-40，-60 mV[17]，上述電勢值均在文獻圖表中體現(xiàn)，不妨大膽的假設介于-20?mV到-60?mV之間雙電層電勢均可取到。溶液物質的量濃度C=10–4?mol/L，Px=?-2[×]10–5?m/Pa，x方向電場強度Ex?=?105?V/m，其它數(shù)據(jù)由表1提供，帶入式（16）、式（19）計算結果如圖4。

由圖4可見隨著ζ電勢絕對值的增大，無量綱速度與壁面剪切應力也隨之增大。雙電層厚度并未隨之變化，與ζ電勢無關。

2.4?壓降對壁面剪切力比的變化

這里指的壓降為單位長度壓強的變化，為計算方便取其倒數(shù)即Px，計算模型取溶液物質的量濃度C=10–4?mol/L，由式（21）計算得ζ?=?-80?mV，x方向電場強度Ex?=?105?V/m，分別取Px?=?-2[×]10–5?m/Pa、Px?=?-2[×]10–6?m/Pa、Px?=?-2[×]10–7?m/Pa、Px?=?-2[×]10–8?m/Pa其他數(shù)據(jù)由表1提供，帶入式（19）計算結果如表2。

由表2可見，隨著x方向單位長度壓降的增大，即隨著壓力驅動速度的增大，壁面剪切力比隨之減小，這表明電粘效應的重要性相對減小。將Px?=?-2[×]10–8?m/Pa代入[UP=-H22μdPdx]?（即壓力驅動流中心速度）可以求得[UP=]0.694?4?m/s，由表2可以看到在本文的通道尺寸條件下即使在壓力驅動流達到0.694?4?m/s雙電層的電粘效應對流動仍具有很強的影響。

3?結論

基于P-B模型，結合外加電場的Laplace方程以及描述電滲流流場分布的N-S方程，求解電滲-壓力驅動流的無量綱速度的近似解析解，并分析不同電荷密度、外加電場強度、zeta電勢以及壓降對流場無量綱速度的影響，得出以下結論：

1）隨著溶液物質的量濃度的減小，ζ電勢絕對值增大，無量綱速度增大，摩擦力反而減小。這有可能是由于隨著溶液物質的量濃度的減小，雙電層厚度隨之增大，雙電層的電粘效應對壁面剪切力的影響降低。

2）外加電場強度與ζ電勢具有相似的作用，都能同時增大無量綱速度與壁面剪切力。這是由于隨著電場強度或ζ電勢的增大，溶液間雙電層的電粘效應增強，而電粘效應的作用距離并未改變，因而導致壁面剪切力增大。

3）在較低雷諾數(shù)下的微細流道內(nèi)流動，雙電層的電粘效應確實可以引起壁面剪切應力的增大，隨著沿程壓降的增大，電粘效應的重要性相對減小，但仍然對流動具有較大影響，雙電層電粘效應的存在是微細管道內(nèi)流動特性與傳統(tǒng)理論存在差異的原因之一。

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