顏臘林

0是小學(xué)數(shù)學(xué)中極其特殊的數(shù)。說其特殊，主要是0在小學(xué)數(shù)學(xué)中的作用特殊，譬如：在直尺上，0表示起點(diǎn);在溫度計(jì)上，0表示零上溫度與零下溫度的分界線;在數(shù)軸上，0表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界點(diǎn);在統(tǒng)計(jì)物體個(gè)數(shù)時(shí)，0表示一個(gè)物體也沒有;在計(jì)數(shù)時(shí)，0用來占位……0的這些不可替代的特殊功能，決定了對(duì)0的關(guān)注要遠(yuǎn)超其它數(shù)字，與0有關(guān)的問題在教學(xué)中也頻頻出現(xiàn)，對(duì)0的詮釋也非同一般，與0有關(guān)問題的解決還需另辟蹊徑。特殊的數(shù)與特殊的功能，特別的問題與特別的解決辦法，難免會(huì)引發(fā)與0相關(guān)問題的困惑和爭(zhēng)議，小學(xué)數(shù)學(xué)教師面對(duì)這類問題也不禁感嘆道：“都是0惹的禍！”0到底惹了什么禍？迷茫中，筆者搜集整理了倍受教師關(guān)注的與0相關(guān)的幾個(gè)問題，并對(duì)此一一展開探尋，以期能為同行排疑解惑。

1.“0”為什么是自然數(shù)？

1993年之前，我國小學(xué)數(shù)學(xué)教科書指出：表示物體個(gè)數(shù)的1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11……都是自然數(shù);1993年之后，我國小學(xué)數(shù)學(xué)教科書補(bǔ)充指出：一個(gè)物體也沒有，用0表示，0也是自然數(shù)。為什么要把0納入自然數(shù)的范疇？主要原因有二。其一，便于國際交流。世界上多數(shù)國家，尤其是教育發(fā)達(dá)國家都把0定義為自然數(shù)，為了國際交流的方便，國家技術(shù)監(jiān)督局于1993年12月27日發(fā)布的《中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)》（GB3100～3102-93）《量和單位》第311頁，規(guī)定自然數(shù)集N={0，1，2，3，…};在《現(xiàn)代漢語詞典》2005年6月第5版中也把自然數(shù)定義成：零和大于零的整數(shù)，即0，1，2，3，4，5，……。其二，滿足數(shù)學(xué)需要。高中數(shù)學(xué)中指出，有限集合中元素的個(gè)數(shù)是可以用自然數(shù)來表示的，空集是有限集合，而空集的元素個(gè)數(shù)為0，這就要將0納入自然數(shù)范疇，以滿足空集教學(xué)的需要。

2.“0”為什么不是最小的一位數(shù)？

由于受到將0劃歸為自然數(shù)的影響，部分教師認(rèn)為最小的一位數(shù)是0，而不應(yīng)該是1。其實(shí)，自然數(shù)概念的完善，并不影響到最小一位數(shù)的改變。首先，不妨看看有關(guān)定義?！稊?shù)學(xué)﹝算術(shù)理論部分﹞》（上海教育出版社，1979年6月第1版，第10頁）指出：用一個(gè)數(shù)字記出的數(shù)（不是0），叫做一位數(shù)。例如：1，3，9……在一個(gè)數(shù)中，數(shù)字的個(gè)數(shù)是幾（其中最左端的數(shù)字不是0），這個(gè)數(shù)就叫做幾位數(shù)。其次，不妨進(jìn)行假設(shè)后推理。如果最小的一位數(shù)是0，最小的兩位數(shù)就是00，最小的三位數(shù)就是000，……，依此而論，豈不荒謬至極。

3.“0”是余數(shù)嗎？

分東西時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩種情況：一是剛好分完，一個(gè)不剩;二是有剩余，當(dāng)余數(shù)比除數(shù)小時(shí)，就不能繼續(xù)分了。這兩種分法，分別對(duì)應(yīng)余數(shù)等于0和余數(shù)不等于0兩種數(shù)學(xué)描述。所以，在數(shù)論中“整除”與“余數(shù)是0”是等價(jià)的概念，即“余數(shù)是0”就是“一個(gè)不?！钡囊馑肌＠?，所有的正整數(shù)除以3，根據(jù)余數(shù)可以把所有的正整數(shù)分成3類，即余數(shù)是0、余數(shù)是1、余數(shù)是2。為什么會(huì)提出“0是余數(shù)嗎”的質(zhì)疑呢？這可能與平時(shí)不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言描述有關(guān)。如把“沒有剩余的除法”說成“沒有余數(shù)的除法”，把“有剩余的除法”說成“有余數(shù)的除法”。這種把除法分成有或沒有余數(shù)的描述，導(dǎo)致了認(rèn)知沖突：既然沒有余數(shù)，怎么又冒出余數(shù)是0呢？

4.“0×0”為什么等于“0”？

0×0=0無疑是一道特殊的乘法算式。按照乘法的意義，0×0表示0個(gè)0相加，而0個(gè)0相加是無法寫出的加法算式，又怎能知道其相加的和為0呢？其實(shí)，0×0=0是經(jīng)過了“特殊——一般——特殊”的運(yùn)算過程而得出的。因?yàn)?×3或3×0表示0+0+0，0+0+0的和為0，所以0×3=0，3×0=0;同理可知，0×5=0，5×0=0;0×8=0，8×0=0……從這些特例中經(jīng)過合情推理得出了一般性結(jié)論：0和任何數(shù)相乘都得0，再將這個(gè)一般性結(jié)論運(yùn)用到0×0這一更為特殊的計(jì)算中，即可知道0×0=0。

5.“08”是分?jǐn)?shù)嗎？

各個(gè)版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書都將分?jǐn)?shù)定義為：一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位或是一些物體都可以看作一個(gè)整體。把這個(gè)整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分?jǐn)?shù)來表示。一個(gè)整體可以用自然數(shù)1來表示，通常把它叫做單位“1”。其中，分母表示把單位“1”平均分成的份數(shù)，分子表示從中取出的份數(shù)。從這樣的描述中不難發(fā)現(xiàn)，八分之零只是一種形式上的分?jǐn)?shù)，俗稱“零分?jǐn)?shù)”，即把自然數(shù)0寫成了分?jǐn)?shù)的形式;八分之零并不是一個(gè)實(shí)質(zhì)上的分?jǐn)?shù)，即其雖然把單位“1”平均分成了8份，但其未能從中取出一份或幾份，取出的只是0份，也就是沒有取出，顯然不符合分?jǐn)?shù)的定義。對(duì)此，有關(guān)數(shù)學(xué)專著早有明確，人民教育出版社出版的《基礎(chǔ)數(shù)學(xué)》第64頁定義分?jǐn)?shù)時(shí)指出：“形如m/n（m和n都是正整數(shù)，且n>1）的分?jǐn)?shù)叫做分?jǐn)?shù)。”

6.“x=0”是方程嗎？

含有未知數(shù)的等式就是方程。從這一定義中可知，方程只一是含有未知數(shù)，二要是等式。從定義出發(fā)，毫無理由否認(rèn)“x=0”不是方程。因此，可以說“x=0”是方程，是結(jié)構(gòu)最為簡(jiǎn)單的方程，是不需求解即可知其解的方程，是方程與方程的解完全一致的方程，但其更是一個(gè)毫無價(jià)值的方程。所謂方程的本質(zhì)屬性是尋找和建構(gòu)已知量與未知量之間的相等關(guān)系，從而通過已知求解出未知。在“x=0”中，未知早已是已知，又何苦要將已知轉(zhuǎn)化為未知呢？豈不是徒勞和無聊的折騰。

7.在研究因數(shù)和倍數(shù)的時(shí)候，為什么一般不包括“0”？

在“因數(shù)與倍數(shù)”這個(gè)單元中，人教版義務(wù)教育教科書五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第5頁用紅色字體強(qiáng)調(diào)指出：“為了方便，在研究因數(shù)和倍數(shù)的時(shí)候，我們所說的數(shù)指的是自然數(shù)（一般不包括0）。”北師大版義務(wù)教育教科書五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第31頁指出：“我們只在自然數(shù)（零除外）范圍內(nèi)研究因數(shù)和倍數(shù)?！碧K教版義務(wù)教育教科書五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第30頁指出：“研究因數(shù)和倍數(shù)時(shí)，所說的數(shù)一般指不是0的自然數(shù)?！睘槭裁催@些主流教材在研究因數(shù)和倍數(shù)時(shí)，都將0排斥在外？是不能研究還是沒有研究價(jià)值？從0×1=0、0×2=0、0×3=0……中，發(fā)現(xiàn)0是任何非零自然數(shù)的倍數(shù)，任何非零自然數(shù)都是0的因數(shù)。依此看來，的確是在研究因數(shù)和倍數(shù)時(shí)，如果把零納入進(jìn)來，還是可以研究，只是失去了應(yīng)有的研究價(jià)值。

8.“0”為什么不能做除數(shù)、分母或比的后項(xiàng)？

透過除法、分?jǐn)?shù)和比的關(guān)系可知：甲數(shù)÷乙數(shù)==甲數(shù)∶乙數(shù)。如能明白除數(shù)為何不能為0的原因，即可知道分母或比的后項(xiàng)為何不能為0的道理。不妨對(duì)a÷0=b分兩種情況加以探究。當(dāng)a=0時(shí)，a=0×b=0，此時(shí)商b可為任何不確定數(shù);當(dāng)a≠0時(shí)，a=0×b≠0，此時(shí)商b不存在;不確定的商或不存在的商，都將會(huì)使除法計(jì)算變得毫無意義，因此，數(shù)學(xué)中規(guī)定除數(shù)不能為0。

9.“1∶0”在數(shù)學(xué)中不存在，為什么在生活中又常用？

在上面第8個(gè)問題的探討中，知道比的后項(xiàng)不能為0，故數(shù)學(xué)中不存在類似“1∶0”這樣的比。但在日常生活中，常?？梢娮闱虮荣惖慕Y(jié)果是“2∶0”之類比，這是為什么？不妨還是回到比的定義上進(jìn)行探究。兩個(gè)數(shù)的比表示兩個(gè)數(shù)相除，兩個(gè)數(shù)相除又表示兩個(gè)數(shù)的倍比關(guān)系，即“甲數(shù)÷乙數(shù)”，顯然乙數(shù)不能為0，所以比的后項(xiàng)不能為0。然而，生活中類似“2∶0”的比，表示的是兩個(gè)數(shù)量間的差比關(guān)系，即“大數(shù)-小數(shù)”，顯然小數(shù)可以為0?？梢?，數(shù)學(xué)中的比和生活中的比，雖然都稱之為比，但其意義有著天壤之別，不可等同視之。于此，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)來源于生活，但數(shù)學(xué)并非等同于生活。

10.7.5×0.2的計(jì)算結(jié)果是一位小數(shù)還是兩位小數(shù)？

在教研活動(dòng)中，老師們經(jīng)常問到判斷小數(shù)乘法的積的小數(shù)位數(shù)的問題。比如，7.5×0.2的計(jì)算結(jié)果到底是一位小數(shù)還是兩位小數(shù)？這類問題實(shí)際上就是判斷小數(shù)乘法中積的小數(shù)位數(shù)到底應(yīng)該以計(jì)算法則為準(zhǔn)，還是要看具體的計(jì)算結(jié)果的問題。筆者認(rèn)為小數(shù)乘法中判斷積的小數(shù)位數(shù)，應(yīng)以計(jì)算法則為主，至于積的末尾有0的情況是進(jìn)一步需要解決的問題。因此，在出練習(xí)題時(shí)，最好不要出末尾有0來判斷積的小數(shù)位數(shù)的題目，因?yàn)檫@樣的考察沒有多大的意義。學(xué)生在具體計(jì)算時(shí)，只要按計(jì)算法則先確定積的小數(shù)位數(shù)，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，再根據(jù)計(jì)算的要求去掉小數(shù)部分末尾的0即可。