熊艷琴

摘要：數(shù)學(xué)分析中經(jīng)常遇到要用定義的習(xí)題，這些很讓當(dāng)代大學(xué)生頭疼。本文提供了一種證明過(guò)程中的小訣竅，可以讓學(xué)生更好的理解定義以及如何巧妙的完成證明。

一、問(wèn)題的提出

《數(shù)學(xué)分析》是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)的第一門(mén)專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，而數(shù)列極限中的定義也是初學(xué)學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)分析》的一個(gè)重要的概念，下面我們來(lái)看看其是如何定義的。

從上面定義可以看出，數(shù)列收斂于 的本質(zhì)是在的 鄰域內(nèi)含有數(shù)列 的無(wú)窮多項(xiàng)，這僅僅是一個(gè)必要條件。換句話說(shuō)，并不是在某個(gè)數(shù)的鄰域內(nèi)含有無(wú)窮多項(xiàng)，該數(shù)列就收斂;例如：擺動(dòng)數(shù)列 在 1 和 -1 的任意鄰域內(nèi)都含無(wú)限項(xiàng)，但是該數(shù)列是發(fā)散的。同時(shí)，改變數(shù)列的前面的有限項(xiàng)并不影響其收斂性;例如：常數(shù)列 是收斂數(shù)列，把前面 6 項(xiàng)替換成任意其它實(shí)常數(shù)該數(shù)列還是收斂的。此外，我們還需注意到，是關(guān)于的函數(shù);也就是說(shuō)，給定我們才可以找到相應(yīng)的，這里我們可以把當(dāng)做任意小的正數(shù)。自然而然的產(chǎn)生一個(gè)問(wèn)題：

換而言之，數(shù)列從第，項(xiàng)開(kāi)始的項(xiàng)全部落在的鄰域。其實(shí)，我們也可以取。這也給出了關(guān)于寫(xiě)的多種表達(dá)方式。

上面給出的是一種簡(jiǎn)單的思路，實(shí)際上，就是求解不等式（2）。在本例題中，不等式（2）轉(zhuǎn)換成不等式（3），不等式（3）是一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，從而利用韋達(dá)定理給出解的情況。如果這種等價(jià)過(guò)程最終轉(zhuǎn)換的不是一個(gè)一元二次方程，而是關(guān)于的更高次方程。關(guān)于更高次方程的解，比如 4 次，我們是無(wú)法解的，遇到這種情況我們?cè)撊绾无k呢？從不等式（2）可以看出，如果我們可以找出一個(gè)中間量滿足

從上面的例題，我們歸納如下：利用定義證明數(shù)列極限的收斂性問(wèn)題歸結(jié)于尋求的過(guò)程，本質(zhì)上就是求解不等式（1）式;如果從不等式（1）不可以直接求出的范圍，那么我們需要尋求中間量滿足（3）式，并且我們解不等式是很簡(jiǎn)單就可以解出的范圍的;這樣使得解不等式的過(guò)程其實(shí)是尋找一個(gè)可解不等式的過(guò)程，只需做適當(dāng)?shù)姆趴s就可以。

參考文獻(xiàn)：

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[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析（第四版上冊(cè)），高等教育出版社（2010）。