趙仙

摘 要：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)方法是使這一靈魂得以展現(xiàn)的途徑。新課標(biāo)提出：“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)主要是代數(shù)幾何中的性質(zhì)概念、法則公式、公理定理以及由其深層次內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法”。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)靈魂

從心理發(fā)展規(guī)律看，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)是發(fā)展青少年思維的重要途徑。所謂數(shù)學(xué)思想方法，就是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，它是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論（概念、定理、公式、法則等）的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。從學(xué)習(xí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)理論來看，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)發(fā)展起著重要作用。中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要思想：數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想。

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，因而數(shù)學(xué)研究總是圍繞著數(shù)與形進(jìn)行的?！皵?shù)”就是方程、函數(shù)、不等式及表達(dá)式，代數(shù)中的一切內(nèi)容；“形”就是圖形、圖象、曲線等。數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是數(shù)量關(guān)系決定了幾何圖形的性質(zhì)，幾何圖形的性質(zhì)反映了數(shù)量關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是抓住數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，以“形”直觀地表達(dá)數(shù)，以“數(shù)”精確地研究形。華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形缺數(shù)時(shí)難入微?！蓖ㄟ^深入的觀察、聯(lián)想，由形思數(shù)，由數(shù)想形，利用圖形的直觀誘發(fā)直覺。數(shù)形結(jié)合不僅使幾何問題獲得了有力的代數(shù)工具，同時(shí)也使許多代數(shù)問題具有了顯明的直觀性。把代數(shù)式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，使代數(shù)與幾何問題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合，是初中數(shù)學(xué)中十分重要的思想。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，就是將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合在數(shù)學(xué)問題的解決中，具有數(shù)學(xué)獨(dú)特的策略指導(dǎo)與調(diào)節(jié)作用。數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的幾何表現(xiàn)，兩者其實(shí)緊密結(jié)合，以此來尋找解題思路，可以使問題得到更完善的解決。

例如，二元一次方程組的圖像解法，把數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)：A，B 兩地之間修建一條l 千米長的公路，C 處是以C點(diǎn)為中心，方圓50 千米的自然保護(hù)區(qū)，A 在C 西南方向，B在C的南偏東30 度方向，問公路AB 是否會(huì)經(jīng)過自然保護(hù)區(qū)？

二、化歸思想

所謂化歸，即轉(zhuǎn)化與歸結(jié)的意思，就是把面臨的待解決或未解決的問題歸結(jié)為熟悉的規(guī)范性問題，或簡(jiǎn)單易解決的問題，或已解決了的問題。化歸與轉(zhuǎn)化思想：在教學(xué)研究中，使一種對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一種研究對(duì)象的數(shù)學(xué)思想稱為轉(zhuǎn)化思想。體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題中，就是將原問題進(jìn)行變形，使之轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的或已解決的或易于解決的問題，就這一點(diǎn)來說，解題過程就是不斷轉(zhuǎn)化的過程。人們解決問題都自覺不自覺地用到化歸的思想，這是一種知識(shí)的遷移。在整個(gè)初中數(shù)學(xué)中，化歸思想一直貫穿其中。從這個(gè)意義上講，人類知識(shí)向前演進(jìn)的過程中，也都是化新知識(shí)為舊知識(shí)，化未知為已知的過程。因此，化歸是一種具有廣泛的、普遍性的、深刻的數(shù)學(xué)思想，也是解決數(shù)學(xué)問題的有效策略，它在數(shù)學(xué)教學(xué)中也顯示了巨大的作用。

例如，對(duì)于整式方程（如一元一次方程、一元二次方程），人們已經(jīng)掌握了等式的基本性質(zhì)、求根公式等理論。因此，求解整式方程的問題就是規(guī)范問題，而把有關(guān)分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程的過程，就是問題的規(guī)范化，實(shí)現(xiàn)了“化歸”。

三、分類討論

分類討論思想：就是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類的思想方法，分類是以比較為基礎(chǔ)的，它能揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的內(nèi)在規(guī)律，有助于學(xué)生總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識(shí)，使所學(xué)知識(shí)條理化。數(shù)學(xué)中的分類有現(xiàn)象分類和本質(zhì)分類兩種，前一種分類是以分類對(duì)象的外部特征、外部關(guān)系為根據(jù)的，如復(fù)數(shù)分為實(shí)數(shù)與虛數(shù)等，這種分法看上去一目了然，但不能揭示所分對(duì)象之間的本質(zhì)聯(lián)系；后一種分類是按對(duì)象的本質(zhì)特征、內(nèi)部聯(lián)系進(jìn)行分類的，如函數(shù)按單調(diào)性或有界性分類，多面體按柱、錐、臺(tái)分類等。

數(shù)學(xué)分類討論思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將數(shù)學(xué)研究對(duì)象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。初中數(shù)學(xué)教材和學(xué)習(xí)輔導(dǎo)資料中有這樣的問題，中考數(shù)學(xué)試題中也經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)與分類有關(guān)的問題。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中使用分類討論的思想研究和解決問題，有助于讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題思路和掌握技能技巧，做到舉一反三，觸類旁通；有助于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。初中數(shù)學(xué)分類討論思想應(yīng)用很廣泛，中考中常涉及此類問題。有概念的分類；有解題方法上的分類；還有幾何中圖形位置關(guān)系不確定的分類等等。應(yīng)用分類討論，往往能使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化。教學(xué)過程中我們要利用學(xué)生已有的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來，在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行分類思想的滲透，挖掘教材提供的機(jī)會(huì)，把握滲透的契機(jī)。

例如

已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，△ACD是含30°角的直角三角形?！鰽BC和△ACD拼成一個(gè)凸四邊形ABCD。（1）畫出四邊形ABCD；（2）求四邊形ABCD的面積。

分析：含30°角的直角三角形ACD中我們可以把AC作為斜邊、AC作為直角邊兩類情況來研究。

解：情況1：如圖1是以AC為斜邊和等邊三角形ABC拼成的四邊形ABCD（∠DAC=30°和∠DAC=60°這兩種圖形算出的四邊形ABCD面積相同的，故歸納為同一類）。

情況2：如圖2和3，AC為直角邊又可分為二種不同情況。由圖1，S四邊形ABCD=；由圖2，可算得S四邊形ABCD=；由圖3可算得S四邊形ABCD=。

總之，義務(wù)教育數(shù)學(xué)新大綱指出：“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)主要是代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法?！蓖ㄟ^這些數(shù)學(xué)方法的使用，使學(xué)生充分領(lǐng)略數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的地位與作用。

（作者單位：浙江省瑞安市閣巷中學(xué)）