李雙 譚杰明 強(qiáng)佳偉 吳將斌

摘要：超級(jí)電容器（supercapacitor）作為一種新型儲(chǔ)能軟件在實(shí)際生活中被廣泛使用，在實(shí)際應(yīng)用中，最重要的就是超級(jí)電容器在某工作環(huán)境下的續(xù)航能力以及壽命的長(zhǎng)短。如今，對(duì)于數(shù)據(jù)的挖掘越來(lái)越深入，因此數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)分析顯得尤為重要。本文通過(guò)對(duì)已有數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線(xiàn)擬合，利用Matlab強(qiáng)大的繪圖功能對(duì)超級(jí)電容器的剩余放電時(shí)間和壽命進(jìn)行合理預(yù)測(cè)，找到擬合度較高的曲線(xiàn)。結(jié)果表明，指數(shù)函數(shù)f（x）=aebx對(duì)超級(jí)電容器進(jìn)行放電擬合預(yù)測(cè)結(jié)果最優(yōu)，冪函數(shù)f（x）=axb+c對(duì)超級(jí)電容器壽命擬合預(yù)測(cè)結(jié)果最優(yōu)。

關(guān)鍵詞：放電時(shí)間預(yù)測(cè);最小二乘法;數(shù)據(jù)擬合;MATLAB軟件

1引言

電池作為日常生活中重要的能量來(lái)源，放電是電池最基本最核心的特性，對(duì)于電池剩余放電時(shí)間進(jìn)行預(yù)測(cè)十分必要。超級(jí)電容器具有許多優(yōu)越的性能，例如：質(zhì)量輕、功率密度高、環(huán)境友好等?；谝陨咸攸c(diǎn)，超級(jí)電容器的應(yīng)用范圍將會(huì)越來(lái)越大，于是對(duì)于超級(jí)電容器的放電時(shí)間預(yù)測(cè)顯得尤為重要。2016年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題為鉛酸電池剩余放電時(shí)間預(yù)測(cè)問(wèn)題，本文將C題中的鉛酸電池拓廣到超級(jí)電容器領(lǐng)域，建立超級(jí)電容器放電的模型，預(yù)測(cè)超級(jí)電容器的放電時(shí)間，希望為工業(yè)用電或日常用電提供參考。

2超級(jí)電容器放電模型

超級(jí)電容器（supercapacitor）作為一種通過(guò)極化電解質(zhì)儲(chǔ)能的元件，經(jīng)常應(yīng)用于太陽(yáng)能能源系統(tǒng)、風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)、新能源汽車(chē)、軍事、醫(yī)用器械等重要領(lǐng)域，推動(dòng)了社會(huì)的發(fā)展。

2.1 超級(jí)電容器放電曲線(xiàn)擬合

為了確定超級(jí)電容器的放電曲線(xiàn)函數(shù)，我們選取某一電流強(qiáng)度下，工作電壓為[1.5V，5.0V]的超級(jí)電容器單體。在實(shí)際操作中，如果要保證負(fù)載電路長(zhǎng)期穩(wěn)定工作，就需要保證負(fù)載電壓長(zhǎng)期穩(wěn)定，所以采用PI調(diào)節(jié)的Boost升壓電路來(lái)保證電壓的穩(wěn)定輸出[1]。

實(shí)驗(yàn)中所采用的超級(jí)電容器從5V開(kāi)始放電，測(cè)量其放電5小時(shí)后，超級(jí)電容器輸出的電壓值。利用放電采樣數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖進(jìn)行擬合得到放電曲線(xiàn)的函數(shù)。

2.1.1多項(xiàng)式函數(shù)擬合

根據(jù)最小二乘法原理[5-6]，進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，令，利用Matlab擬合工具箱（cftool），得到擬合函數(shù)：

從表1中看到確定系數(shù)R2大于0.99，而和方差與標(biāo)準(zhǔn)差均小于0.1，說(shuō)明多項(xiàng)式模型擬合程度較好，可用于放電時(shí)間預(yù)測(cè)。

選擇最高次項(xiàng)為3次的多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)擬合最為恰當(dāng)。次數(shù)過(guò)低，呈現(xiàn)出基本的整體趨勢(shì)，損失了部分局部信息，呈現(xiàn)欠擬合狀態(tài);次數(shù)過(guò)高，則過(guò)于注重局部信息，呈現(xiàn)過(guò)擬合狀態(tài)。

2.1.2指數(shù)函數(shù)擬合

利用指數(shù)函數(shù)進(jìn)行擬合，令，使用Matlab擬合工具箱（cftool）進(jìn)行擬合，得到函數(shù)

從表2中看到確定系數(shù)R2大于0.99，而和方差與標(biāo)準(zhǔn)差均小于0.1，說(shuō)明指數(shù)模型擬合程度較好，可用于放電時(shí)間預(yù)測(cè)。

由上述得到的函數(shù)和曲線(xiàn)圖像以及特征數(shù)可知，多項(xiàng)式函數(shù)擬合與指數(shù)函數(shù)擬合所得結(jié)果在放電前5小時(shí)無(wú)明顯差距，下面進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)來(lái)選取較優(yōu)曲線(xiàn)。

2.2超級(jí)電容器放電時(shí)間預(yù)測(cè)

根據(jù)上述兩函數(shù)，對(duì)5-10小時(shí)的放電電壓進(jìn)行預(yù)測(cè)，并畫(huà)出放電曲線(xiàn)，其中，x軸代表放電時(shí)間，y軸代表放電電壓，從x=0開(kāi)始，至x=10結(jié)束，按照間隔不大于0.001提取樣本點(diǎn)，畫(huà)出曲線(xiàn)。

2.2.1多項(xiàng)式函數(shù)預(yù)測(cè)

顯然，超級(jí)電容器的放電電壓無(wú)法隨放電時(shí)間的增大出現(xiàn)先降后升的情況，7小時(shí)后的曲線(xiàn)趨勢(shì)顯然不符合實(shí)際，多項(xiàng)式函數(shù)預(yù)測(cè)存在明顯缺陷。

2.2.2指數(shù)函數(shù)預(yù)測(cè)

指數(shù)函數(shù)的預(yù)測(cè)曲線(xiàn)呈單調(diào)遞減趨勢(shì)，與電容器實(shí)際放電電壓進(jìn)行比較，數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合度較高，下面考察該指數(shù)模型的一階差分比率[2]。

該模型的一階差分比率大致相等，符合指數(shù)曲線(xiàn)模型的數(shù)字特征，所以超級(jí)電容器的放電曲線(xiàn)模型可以選用模型：

超級(jí)電容器放電電壓隨著時(shí)間的推移呈現(xiàn)指數(shù)形式逐漸放緩的衰減，假設(shè)某超級(jí)電容器的初始放電電壓為a，那么隨著時(shí)間的推移其放電電壓按照指數(shù)形式的下降，計(jì)算公式就是式f（x），其中b<0。

3、超級(jí)電容器壽命預(yù)測(cè)

超級(jí)電容器的壽命預(yù)測(cè)對(duì)于超級(jí)電容器的日常維護(hù)、更換具有重要的參考價(jià)值。定期對(duì)電路元件進(jìn)行維護(hù)和保養(yǎng)，可以很大程度上避免由于檢修不及時(shí)造成的人身安全和財(cái)產(chǎn)損失。

對(duì)超級(jí)電容器進(jìn)行充放電，發(fā)現(xiàn)電容衰減曲線(xiàn)與冪函數(shù)保持一致[3]，利用Matlab對(duì)電容衰減曲線(xiàn)進(jìn)行擬合以便確定電容衰減到某一值時(shí)的循環(huán)次數(shù)。

3.1 超級(jí)電容器壽命曲線(xiàn)擬合

用冪函數(shù)進(jìn)行擬合，得到如下函數(shù)以及曲線(xiàn)圖像：

從表4中看到確定系數(shù)R2接近1，而和方差與標(biāo)準(zhǔn)差均較小，說(shuō)明冪函數(shù)模型擬合程度較好，可用于超級(jí)電容器的壽命預(yù)測(cè)。

3.2 超級(jí)電容器壽命預(yù)測(cè)

利用f3對(duì)超級(jí)電容器的壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到如下曲線(xiàn)，

4、總結(jié)

超級(jí)電容器的放電曲線(xiàn)較好地符合指數(shù)模型，超級(jí)電容器的壽命與冪函數(shù)保持一致，這兩種曲線(xiàn)比較符合實(shí)際，誤差較小，合理運(yùn)用這兩種曲線(xiàn)模型可以很好地對(duì)超級(jí)電容器的放電時(shí)間、壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：

李雙（1999-），女，陜西師范大學(xué)本科生。

譚杰明（1997-），男，陜西師范大學(xué)本科生。

強(qiáng)佳偉（1999-），女，陜西師范大學(xué)本科生。

吳將斌（1998-），男，陜西師范大學(xué)本科生。