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        漫話狄利克雷函數(shù)

        2019-09-10 13:22:37李紅
        新高考·高一數(shù)學(xué) 2019年2期
        關(guān)鍵詞:偶函數(shù)橫坐標(biāo)周期性

        李紅

        青年問禪師:“我覺得我在這個(gè)世界上是多余的,沒有人需要我.”

        禪師說:“就像你所學(xué)的數(shù)學(xué),無論怎樣復(fù)雜艱深的函數(shù),都有適合的圖象對(duì)應(yīng).你只是還沒找到那個(gè)圖象而已.”

        青年沉思一番,提筆寫下了狄利克雷函數(shù)的描述.

        狄利克雷函數(shù)可以簡(jiǎn)單地表示為分段函數(shù)的形式:D(x)={1,x為有理數(shù),0,x為無理數(shù).在中學(xué)范圍內(nèi),我們可以理解的基本性質(zhì)有:(1)定義域?yàn)檎麄€(gè)實(shí)數(shù)域R;(2)值域?yàn)閧0,1};(3)函數(shù)為偶函數(shù);(4)無法畫出函數(shù)圖象,但是它的函數(shù)圖象客觀存在;(5)以任意正有理數(shù)為其周期,但不存在最小正周期.

        一、狄利克雷函數(shù)的簡(jiǎn)介

        狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)是函數(shù)概念發(fā)展過程中的標(biāo)志性事件之一.狄利克雷(1805- 1859),德國(guó)數(shù)學(xué)家,他是解析數(shù)論的創(chuàng)始人,很多小學(xué)生熟知的抽屜原理就是他在1834年提出的.

        函數(shù)的圖象就是函數(shù)的寫真,狄利克雷函數(shù)圖象是客觀存在,但卻無法畫出的.

        狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn),不僅給了我們一個(gè)無法畫出函數(shù)圖象的反例,而且極大地推動(dòng)了函數(shù)概念的發(fā)展,使人們對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)超越了1718年瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利提出的函數(shù)解析式定義的階段.在1837年,狄利克雷認(rèn)識(shí)到怎樣去建立兩個(gè)量x與y之間的函數(shù)解析式是無關(guān)緊要的,關(guān)鍵是建立它們之間的對(duì)應(yīng),從而創(chuàng)立了現(xiàn)代函數(shù)的正式定義:“如果對(duì)于x的每一個(gè)值,y總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng),則y是x的函數(shù).”這個(gè)定義抓住了概念的本質(zhì)屬性,變量y稱為x的函數(shù),只需有一個(gè)法則存在,使得這個(gè)函數(shù)取值范圍中的每一個(gè)值x,有一個(gè)確定的y值和它對(duì)應(yīng)就行了,不管這個(gè)法則是公式或圖象或表格或其他形式.

        同樣,周期性是函數(shù)的另一個(gè)重要性質(zhì).具有周期性的函數(shù),我們更關(guān)心函數(shù)的最小正周期.那么,具有周期性的函數(shù)是不是都有最小正周期呢?答案是否定的,狄利克雷函數(shù)是周期函數(shù),但是沒有最小正周期,因?yàn)椴淮嬖谧钚≌欣頂?shù).

        二、狄利克雷函數(shù)的應(yīng)用所以,周期T=3,故a20=a2= √3.

        點(diǎn)評(píng) 該問題以狄利克雷函數(shù)為背景,將周期性和數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行有機(jī)整合,有韻味有變化,看似結(jié)構(gòu)復(fù)雜卻并不復(fù)雜.

        例 2

        已知函數(shù) f(x)={ 1,x,為有理數(shù),0,x、為無理數(shù),出下列四個(gè)命題:

        ①函數(shù)f(x)是偶函數(shù);

        ②函數(shù)f(x)是周期函數(shù);

        ③存在xi∈R(i=1,2,3),使得以點(diǎn)(xi,f(xi))(i=l,2,3)為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形;

        ④存在xi∈R(i=1,2,3),使得以點(diǎn)(xi,f(xi))(i=1,2,3)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.

        其中,所有真命題的序號(hào)是_____(填上你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)).

        解析 ①若x為有理數(shù),則 -x也為有理數(shù),所以f(x)=f(x)=1;

        若x為無理數(shù),則-x也為無理數(shù),所以f(x)=f(-x)=0.

        綜上有f(x)=f(-x),故函數(shù)f(x)為偶函數(shù),①正確.

        ②若x為有理數(shù),則x+3也為有理數(shù),于是f(x+3)=f(x)=1;若x為無理數(shù),則x+3也為無理數(shù),則f(x+3)=f(x)=0,故3為函數(shù)的一個(gè)周期,即f(x)是周期函數(shù),故②正確(易知,任何一個(gè)芷有理數(shù)都是它的周期).

        ③設(shè)三個(gè)點(diǎn)(x1,0),(x2,1)(x3,0),且x1=x3= 2x2,x3-x2=√3/3,令x2=0,x1=-√3/3,x3=√3/3,合題意,③正確.

        ④假設(shè)存在等腰直角三角形ABC,則斜邊AB只能在x軸上或在直線y=1上,且斜邊上的高始終是1.若斜邊AB在x軸上,點(diǎn)C在直線y=1上,故斜邊AB=2,且點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)是無理數(shù),則斜邊AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)也是無理數(shù),C的橫坐標(biāo)是無理數(shù),縱坐標(biāo)只能為0,不符合題意;若斜邊AB在直線y=l上,點(diǎn)C在x軸上,故斜邊AB=2,且點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)是有理數(shù),則斜邊AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)也是有理數(shù),C的橫坐標(biāo)是有理數(shù),縱坐標(biāo)只能為1,不符合題意,即不存在符合題意的等腰直角三角形,④錯(cuò)誤.

        故正確答案為①②③.

        點(diǎn)評(píng) 要解決好這個(gè)問題,我們首先要在閱讀上下功夫.其中部分命題的判斷中,結(jié)合狄利克雷函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行了構(gòu)造處理,或許數(shù)形結(jié)合效果會(huì)更好,不妨試試看.

        文章到此應(yīng)該結(jié)束了,但我仍然有意猶未盡的感覺,忽然想到了狄利克雷的一則軼聞.

        狄利克雷一生只癡迷于數(shù)學(xué)事業(yè),對(duì)于個(gè)人和家庭都是漫不經(jīng)心的.當(dāng)他的第一個(gè)孩子出生時(shí),向岳父寫的信中只寫上了一個(gè)式子:2+1=3.

        你懂的.

        鞏固練習(xí)

        1.(福建卷)設(shè)函數(shù)D(x)={1,x,為有理數(shù),0,x為無理數(shù),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )

        A.D(x)的值域?yàn)閧O,1}

        B.D(x)是偶函數(shù)

        C.D(x)不是周期函數(shù)

        D.D(x)不是單調(diào)函數(shù)

        2.f(x)=ax2+bx+c,g(x)=mx2 +nx+p,a,b,c,m,n,p為非零常數(shù),其中b2- 4ac=a2,設(shè)d(x)={x,x為有理數(shù) 0,x為無理數(shù) 關(guān)于x的方程f(d(g(x)))=0的解最多有___個(gè).

        參考答案

        1.C. 2.4.

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