顧珊嵐

在近年高考中，求平面向量數(shù)量積的最值或取值范圍的問(wèn)題屢見(jiàn)不鮮.在一些與幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的向量數(shù)量積問(wèn)題中，通過(guò)合理設(shè)參數(shù)來(lái)處理動(dòng)點(diǎn)，能使解題思路清晰，解題過(guò)程流暢.

這里，我們就結(jié)合幾道例題來(lái)談?wù)劸唧w運(yùn)用.

例1 如圖1，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB =2，AD=1.點(diǎn)P，Q分別在邊BC，CD上，且∠PAQ=45°，則AP·AQ的最小值為_(kāi)__ .

思路2：設(shè)∠BAP=θ（0°≤θ≤θ0其中tanθ0=1/2且θ0∈（0°，90°））.因?yàn)椤螾AQ

1=45°，則∠DAQ=45°-θ，所以|AP|=2/COSθ，|AQ|=1/cos（45°-θ）.由平面向量數(shù)量積定義可得AP·AQ=|AP|·|AQ|·cos∠PAQ=2/cosθ·1/cos（45°-θ）·√2/2=4/2sin（2θ+45°）+1 ，當(dāng)sin（2θ+45°）=1時(shí)，AP·AQ有最小值4√2-4.

點(diǎn)評(píng) 思路1通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，將PB和QD的長(zhǎng)度設(shè)為兩個(gè)參數(shù)，m，n，從而將動(dòng)點(diǎn)P和Q的坐標(biāo)表示出來(lái)，并求出所求向量的坐標(biāo)，再用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算建立目標(biāo).然后利用本題中角度的關(guān)系，尋找兩個(gè)參數(shù)，m，n之間的等量關(guān)系，最后用基本不等式求出最小值;思路2將∠BAP的角度θ設(shè)為參數(shù)，用θ表示出AP與AQ的模，再利用平面向量數(shù)量積的定義直接建立關(guān)于θ的目標(biāo)函數(shù)，最后用三角知識(shí)求出最小值.在解題過(guò)程中必須注意的是，確定所設(shè)參數(shù)的范圍非常重要，

例2 如圖3，線段AB的長(zhǎng)度為2，點(diǎn)A，B分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上滑動(dòng)，以線段AB為一邊，在第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OC·OB的取值范圍是

思路：設(shè)∠BAO=θ，（0°<θ<90°），則∠CAx=120° -θ，因?yàn)锳B =2，則有OA=2cosθ，OB=2sinθ，所以B（0，2sinθ），C（2cos θ+2cos（120° =θ），2sin（120°-θ））.由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得OC·OB=4sin θsin（120°-θ）=4sinθ（√3/2cosθ+1/2sinθ）=√3sin 2θ-cos 2θ+1=2sin（2θ-30°）+1，因?yàn)镺°<θ<90°，所以 -30°<2θ-30°<150°，所以 -1<2sin（2θ-30°）≤2，故OC·OB的取值范圍為[0，3].

點(diǎn)評(píng) 本題的題意比較簡(jiǎn)潔明了，解題思路非常清晰，只需表示出點(diǎn)B，C的坐標(biāo).本題的難點(diǎn)就是設(shè)參數(shù)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，若設(shè)OA=a，OB=b，則A（a，0），B（0，b），但是只用以a，b這兩個(gè)參數(shù)，很難將點(diǎn)C的坐標(biāo)表示出來(lái);若設(shè)∠BAO=θ，再結(jié)合已知條件AB =2以及△ABC是等邊三角形，很容易就能求得點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，再用三角知識(shí)輕松解決問(wèn)題.

例3 如圖4，在直角梯形ABCD中，AB //DC，∠ABC=90°， AB=3，BC=DC=2.若E，F(xiàn)分別是線段DC和BC上的動(dòng)點(diǎn)，則AC·EF的取值范圍是__.

思路1：設(shè)EC=mDC，CF=nCB（0≤m≤1，0≤n≤1），則AC·EF=（AB十BC）·（EC+CF）=AB·EC+AB·CF+BC.EC +BC·CF=mAB·DC+nAB·CB+mBC·DC+nBC·CB，又AB⊥BC，DC⊥BC，AB=3，BC=CD=2，所以AC·EF=6m-4n∈[-4，6].

思路2： 如圖5，以BA為x軸，BC為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（3，0），B（0，0），C（O，2），D（2，2），設(shè)E（x，2），F(xiàn)（0，y）.因?yàn)镋，F(xiàn)分別在線段DC和BC上，所以x，y∈[0，2]，則AC=（-3，2），EF=（-X，Y-2），AC·EF=3x+2y-4.因?yàn)閤，y∈[O，2]，所以3x+2y∈[0，10]，從而3x+2y-4∈[-4，6]，即AC·EF的取值范圍為[-4，6].

點(diǎn)評(píng) 思路1通過(guò)向量分解轉(zhuǎn)化為基向量來(lái)解決（基底轉(zhuǎn) 化法）數(shù)量積，利用平面向量共線定理，設(shè)參數(shù)m，n將兩個(gè)動(dòng)向量表示為EC=mDC，CF=nCB，進(jìn)而將EF轉(zhuǎn)化成已知向量再解決問(wèn)題.思路2通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決（建系坐標(biāo)法）數(shù)量積，設(shè)參數(shù)x，y分別為EC，CF的長(zhǎng)度，快速將兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)表示出來(lái)，再用坐標(biāo)計(jì)算解決數(shù)量積問(wèn)題.兩種解題思路都非常清晰，解題的過(guò)程也都非常簡(jiǎn)潔.

例4 如圖6，△ABC為等腰三角形，∠BAC=120°，AB=AC=4，以A為圓心，1為半徑的圓分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)P是劣弧EF上的一點(diǎn)，則PB.PC的取值范圍是___.

思路1：如圖7，在BC邊上取中點(diǎn)M，則MB=1/2BC=2√3，連結(jié)PM，有PB·PC=（PM+MB）·（PM+MC）=|PM|2-|MB|2=PM2-12.設(shè)線段PM的長(zhǎng)度為m，則|AM|-1≤m≤|ME|，即1≤m≤√3，所以PB·PC =m2-12∈[ -11， -9].

思路2：以A為原點(diǎn)建立如圖8所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y）（x2+y2=1且-√3/2≤x≤√3/2， -1≤y≤-1/2），又B（-2√3，-2），C（2√3， -2），則PB·PC一（-2√3-x，-2-y）·（2√3-x，-2-y）=x2 +y2+4y-8=4y-7，因?yàn)?-1≤y≤-1/2，所以PB·PC的取值范圍是[-11，-9].

思路3：同思路2建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（cosθ，sinθ）（-5π/6≤π≤-π/6），又B（-2√3，-2），C（2√3，-2），則PB·PC=（-2√3-cosθ，-2-sinθ）·（2√3-cosθ，-2-sinθ）=4sinθ-7，因?yàn)?5π/6≤θ≤-π/6，所以-1≤sinθ≤-1/2，故有 -11≤PB·PC≤-9.

點(diǎn)評(píng) 本題要處理的是網(wǎng)弧上的動(dòng)點(diǎn)，思路1用基底轉(zhuǎn)化的方法計(jì)算平面向量的數(shù)量積，將線段PM的長(zhǎng)度設(shè)為參數(shù)，再利用圓的幾何性質(zhì)求出參數(shù)的范圍，從而求出數(shù)量積的取值范圍.思路2、思路3用建系的方法先確定動(dòng)點(diǎn)P所在的圓方程，思路2采用了平面解析幾何的常規(guī)設(shè)參數(shù)方法，將動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)設(shè)為（x，y），由已知條件不難得出參數(shù)x，y的取值范圍;思路3利用三角函數(shù)的定義，將動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)設(shè)為（cosθ，sinθ），能從已知條件直接得參數(shù)θ的范圍，快速解決問(wèn)題.

由此可見(jiàn)，在解決與幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的向量數(shù)量積問(wèn)題時(shí)，應(yīng)因題制宜，合理選擇參數(shù)處理動(dòng)點(diǎn)，使解題思路清晰、解題過(guò)程流暢，從而學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用，這才是解決向量問(wèn)題的最有效手段.