● 高 宏

一、引言

維納過程（Wiener process）是描述復(fù)雜隨機(jī)現(xiàn)象的基本隨機(jī)過程，在自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。隨機(jī)過程一般使用隨機(jī)變量和樣本函數(shù)兩種變量，分別從狀態(tài)空間和時(shí)域兩個(gè)維度進(jìn)行描述，但是維納過程的定義及性質(zhì)卻是單獨(dú)以隨機(jī)變量的形式從狀態(tài)空間給出的，不能直接用來描述隨機(jī)現(xiàn)象隨時(shí)間演變的實(shí)際過程，在應(yīng)用時(shí)往往會(huì)出現(xiàn)概念性錯(cuò)誤。本文指出了數(shù)理金融學(xué)直接將維納過程的隨機(jī)變量模型和狀態(tài)空間統(tǒng)計(jì)特性用于描述金融資產(chǎn)價(jià)格隨時(shí)間演變過程的概念性錯(cuò)誤，并根據(jù)金融資產(chǎn)價(jià)格與時(shí)間一一對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，使用維納過程樣本函數(shù)來描述金融資產(chǎn)價(jià)格隨時(shí)間演變的過程，建立了股票價(jià)格積分模型，推導(dǎo)出了股票價(jià)格的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。

二、維納過程定義

定義：設(shè){W（t），t≥0}為隨機(jī)過程，如果

（1）W（0）=0；

（2）ΔW（t）為服從N（0，σ2）的平穩(wěn)獨(dú)立增量；

（3）對任意的t＞s≥0，W（t）-W（s）～N（0，σ2（t-s））。

則稱{W（t），t≥0}是參數(shù)為σ2的維納過程，或布朗運(yùn)動(dòng)。

由維納過程定義，維納過程具有如下特性：

（1）W（t）服從（0，tσ2）正態(tài)分布；

（2）W（t）為馬爾科夫過程；

（3）W（t）為鞅過程。

事實(shí)上，維納過程 W（t）是定義在ΩT上的二元函數(shù)，對于固定的t∈T，W（t）是定義在狀態(tài)空間Ω上的函數(shù)，稱為隨機(jī)變量，自變量為樣本點(diǎn)ω；對于固定的ω∈Ω，W（t）是一個(gè)確定性的時(shí)間函數(shù)，通常稱為樣本函數(shù)或樣本軌道，自變量為時(shí)間t。

維納過程的定義是以隨機(jī)變量形式從狀態(tài)空間給出的，因此W（t）并不表示W(wǎng)是t的函數(shù)，它只表示t時(shí)刻隨機(jī)變量W在樣本空間Ω的狀態(tài)。

為區(qū)別維納過程的隨機(jī)變量和樣本函數(shù)，用大寫字母W（t）表示隨機(jī)變量，用小寫字母w（t）表示樣本函數(shù)。因此，維納過程W（t）是一族樣本函數(shù)w（t）的集合，所有樣本函數(shù)在t時(shí)刻的取值構(gòu)成了隨機(jī)變量的定義域。

從維納過程的定義可以看出，維納過程為非平穩(wěn)隨機(jī)過程，不具備各態(tài)歷經(jīng)性，其隨機(jī)變量W（t）的統(tǒng)計(jì)平均和樣本函數(shù)w（t）的時(shí)間平均不相等。

三、應(yīng)用錯(cuò)誤

觀察股票價(jià)格s隨時(shí)間t的變化過程，有s和t兩個(gè)變量，對于自變量t的每一個(gè)值，s都有唯一一個(gè)確定的值與它對應(yīng)，因此，s是t的函數(shù)，可表示為s（t）。

設(shè)y（t）=ln s（t）為股票對數(shù)價(jià)格，則股票價(jià)格s（t）在Δt區(qū)間上的對數(shù)收益率為

顯然，Δy（t）也是t的函數(shù)。

Osborne（1959）和 Fama（1965）的實(shí)證研究結(jié)果表明，股票價(jià)格對數(shù)收益率為均值為零的白噪聲序列，與維納過程樣本函數(shù)w（t）的差分Δw（t）相同。但是，Osborne和Fama在建立股票價(jià)格數(shù)學(xué)模型y（t）時(shí)，使用的是維納過程隨機(jī)變量W（t）的差分ΔW（t），即

或

式（2）和式（3）左邊的y（t）為時(shí)域樣本函數(shù)，右邊的W（t）為定義在狀態(tài)空間的隨機(jī)變量，完全沒有等價(jià)關(guān)系。

若將維納過程隨機(jī)變量W（t）在狀態(tài)空間的統(tǒng)計(jì)特性直接用于時(shí)間函數(shù)y（t），則會(huì)得出股票價(jià)格y（t）服從正態(tài)分布、股票價(jià)格為馬爾科夫過程和鞅過程、股票價(jià)格的變化與時(shí)間的平方根成正比等一系列錯(cuò)誤結(jié)論。

維納過程的上述應(yīng)用錯(cuò)誤直接導(dǎo)致數(shù)理金融學(xué)產(chǎn)生了另外一個(gè)更為嚴(yán)重的錯(cuò)誤。為了讓式（2）和式（3）兩邊在形式上保持相等，Merton（2013）、Wilmott（2015）、Ross（2014）和Hull（2013）竟將股票價(jià)格與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系假設(shè)為狀態(tài)空間的隨機(jī)變量，致使數(shù)理金融學(xué)的研究對象和研究方法發(fā)生了根本性變化，研究對象從時(shí)域的單個(gè)樣本函數(shù)改變?yōu)闋顟B(tài)空間所有樣本函數(shù)的集合，研究方法從時(shí)域函數(shù)分析轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)空間概率分析，因此建立的隨機(jī)數(shù)學(xué)模型和推導(dǎo)出的所有結(jié)論必然與事實(shí)不符，無法正確描述股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象及規(guī)律，更不能預(yù)測股票價(jià)格的發(fā)展趨勢和變化結(jié)果（Triana，2014）。

四、錯(cuò)誤糾正

將式（3）中的維納過程隨機(jī)變量W（t）替換為樣本函數(shù)w（t），有

由維納過程定義，dW（t）為高斯白噪聲過程，因此式（4）可改寫為

式中ε（t）為服從N（0，σ2）正態(tài)分布的高斯白噪聲樣本函數(shù)。

（一）股票價(jià)格數(shù)學(xué)模型

對式（5）的微分?jǐn)?shù)學(xué)模型進(jìn)行積分，可得股票價(jià)格的積分模型

顯然，股票價(jià)格y（t）是對ε（t）的變限積分，表明式（6）為非線性時(shí)變模型。

在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可以放寬白噪聲ε（t）服從正態(tài)分布的要求，只需白噪聲樣本函數(shù)ε（t）在不同時(shí)刻的取值互不相關(guān)，即

式中Rε（τ）為ε（t）的時(shí)間自相關(guān)函數(shù)，N0為正實(shí)常數(shù)，δ（t）為單位沖擊函數(shù)。N0的物理意義代表白噪聲信號(hào)在單位電阻上產(chǎn)生的平均功率。

（二）股票價(jià)格自相關(guān)函數(shù)

股票價(jià)格y（t）的時(shí)間自相關(guān)函數(shù)為

式中，為時(shí)間間隔。

（三）股票價(jià)格功率譜密度

在［0，t］區(qū)間，y（t）的平均功率有限，自相關(guān)函數(shù)Ry（）絕對可積，根據(jù)維納-辛欽定理，y（t）的功率譜密度Sy（ω）是其自相關(guān)函數(shù)Ry（τ）的傅立葉變換，有

式中，Sinc（ωt）為辛格函數(shù)，是正弦函數(shù)Sin（ωt）與單調(diào)遞減函數(shù)1/ ωt的乘積。

從式（9）可以看出，股票價(jià)格的功率譜密度與頻率的平方成反比。Andreadis（2000）對1988年12月1日至1998年4月1日的S&P 500標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)（日）進(jìn)行了功率譜計(jì)算，實(shí)證結(jié)果顯示：S&P 500指數(shù)的對數(shù)功率譜密度與頻率的平方成反比，因此式（9）得到實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，表明式（6）的積分?jǐn)?shù)學(xué)模型、式（8）的自相關(guān)函數(shù)和式（9）的功率譜密度均被證實(shí)。

Sy（ω）在ω=0處有最大值N0t2，在時(shí)域中就表現(xiàn)為，股票價(jià)格y（t）中存在一條與時(shí)間t成正比的線性趨勢線，y（t）圍繞趨勢線上下波動(dòng)，與實(shí)際股票對數(shù)價(jià)格中存在長期線性趨勢這一觀察現(xiàn)象完全相符。

五、結(jié)論

本文指出了數(shù)理金融學(xué)使用維納過程刻畫金融資產(chǎn)價(jià)格隨時(shí)間演變過程時(shí)的概念性錯(cuò)誤，并根據(jù)金融資產(chǎn)價(jià)格與時(shí)間一一對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，使用維納過程樣本函數(shù)來描述資產(chǎn)價(jià)格隨時(shí)間演變的過程，建立了股票價(jià)格積分模型，推導(dǎo)出了可揭示金融資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng)規(guī)律的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度，從理論上證明了股票價(jià)格具有可預(yù)測性，得出了股票價(jià)格的波動(dòng)幅度與波動(dòng)頻率成反比的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可為證券投資活動(dòng)的價(jià)格分析、價(jià)格預(yù)測及風(fēng)險(xiǎn)管理提供有效的數(shù)學(xué)模型及分析工具。