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        注重挖掘“題根”,理解數(shù)學(xué)內(nèi)涵

        2019-09-10 06:19:20
        讀與寫 2019年21期
        關(guān)鍵詞:題根矩形變式

        何 勇

        (江蘇省無錫市太湖格致中學(xué) 江蘇 無錫 214000)

        數(shù)學(xué)課本中的例題具有示范性、典型性和探究性,是課本的精髓.瀏覽近幾年全國各地的中考數(shù)學(xué)試卷,很多試題來源于課本,“題在書外,根在書內(nèi)”.因此,在平常學(xué)習(xí)過程中充分重視和挖掘課本中例題的潛在功能,適當(dāng)加以拓展延伸,可以達(dá)到事半功倍的效果.現(xiàn)以蘇教版九年級上冊課本上的一道例題為例,對它的一些變式進(jìn)行探究,來解決相似圖形變化中的一些重點問題.

        1.原題呈現(xiàn)

        原題(蘇科版教材九下第72 頁例2)

        如圖,AF是△ABC的高,點D、E分別在AB、AC上,且DE∥BC,DE交AF于點G,設(shè)DE=6,BC=10,GF=5,求點A到DE、BC的距離.

        2.例題改編

        變式1、有一塊三角形的余料ABC,要把它加工成矩形的零件,已知:BC=8cm,高AD=12cm,矩形EFGH的邊EF在BC邊上,G、H分別在AC、AB上,設(shè)HE的長為ycm、EF的長為xcm

        (1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式.

        (2)當(dāng)x取多少時,EFGH是正方形?

        【思路點撥】 (1)先由BC=8cm,高AD=12cm,HE的長為ycm、EF的長為xcm,可知,AK=(12﹣y)cm,HG=EF=xcm,再根據(jù)HG∥BC可知,△AHG∽△ABC,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式;

        (2)根據(jù)正方形的性質(zhì)可知y=x,再代入(1)中所求的代數(shù)式即可得出結(jié)論.

        【說明】本題難點是將相似的性質(zhì)和一次函數(shù)相結(jié)合,根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比,找出相似三角形,然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程,建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題.

        變式2、一塊三角形廢料如圖所示,∠A=30°,∠C=90°,AB=12.用這塊廢料剪出一個矩形CDEF,其中,點D、E、F分別在AC、AB、BC上.要使剪出的矩形CDEF面積最大,點E應(yīng)選在何處?

        【思路點撥】首先在Rt△ABC中利用∠A=30°、AB=12,求得BC、AC的長,然后根據(jù)四邊形CDEF是矩形得到EF∥AC從而得到△BEF∽△BAC,設(shè)AE=x,則BE=12﹣x.利用相似三角形成比例表示出EF、DE,然后表示出有關(guān)x的二次函數(shù),最后求二次函數(shù)的最值即可.

        【說明】本題難點在于利用相似三角形的性質(zhì)得到矩形CDEF面積表達(dá)式,解題的關(guān)鍵是從幾何問題中整理出二次函數(shù)模型,并利用二次函數(shù)的知識求最值,從而確定點E的位置。

        3.改編思考

        3.1 注重挖掘“題根”,加強同類題目之間的關(guān)聯(lián)。試題設(shè)計,通常先有一個“題根”,“題根”可來源于典型試題,也可來源于教材,從形式上看,“題根”本身也是一個數(shù)學(xué)題目.既然考題是由“題根”演變而來,那么解答時的關(guān)鍵就是要能找到“題根”,并且找出它們之間的關(guān)聯(lián).鄭毓信教授曾說過:“數(shù)學(xué)知識教學(xué)時,不是求全,重要的是求聯(lián)”,這里的“聯(lián)”就是關(guān)聯(lián)、聯(lián)系之意.不少中考試題來源于教材,根植于教材,但又高于教材.因此我們在日常教學(xué)過程中要重視研究教材,善于發(fā)現(xiàn)“題根”,挖掘和研究“題根”,緊扣問題實質(zhì),通過題組和變式教學(xué)加強知識和題目之間的聯(lián)系,做到融會貫通,以達(dá)到事半功倍的學(xué)習(xí)效果。

        3.2 關(guān)注“數(shù)學(xué)本質(zhì)”,注重學(xué)生思維能力的考查。“數(shù)學(xué)本質(zhì)”是數(shù)學(xué)的核心,題目所包含的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)方法等都屬于“數(shù)學(xué)本質(zhì)”的范疇.命題應(yīng)立足數(shù)學(xué)本質(zhì),本文以圖形變化之圖形相似為視角,向同學(xué)們傳遞一個信息:很多中考題源于課本,它們是由課本的例題、習(xí)題進(jìn)行變式、遷移、整合、擴展而成.所以,同學(xué)們在平時學(xué)習(xí)的過程中認(rèn)真研究課本典型例題,對其進(jìn)行挖掘引申,有助于我們總結(jié)一類題的解題經(jīng)驗、規(guī)律及思想方法,揭示數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系,開拓思路,促成思維的廣闊性、深刻性、靈活性。

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