劉文蘭 馬鵬飛 閔 為 許允斗 郭金偉 趙永生

(1.蘭州理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院， 蘭州 730050； 2.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室， 秦皇島 066004)

0 引言

作為空間可展機(jī)構(gòu)中的一類，多面體可展機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和分析是目前研究熱點(diǎn)之一[1-7]。多面體可展機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)鏈間存在耦合，目前國(guó)際上尚未形成多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的自由度分析理論。AGRAWAL等[8]用移動(dòng)副代替多面體邊線設(shè)計(jì)了多種單自由度多面體可展機(jī)構(gòu)，基于Grübler-Kutzbach公式(簡(jiǎn)稱G-K公式)分析了這種僅含移動(dòng)副的多面體機(jī)構(gòu)的自由度，但采用G-K公式計(jì)算一般多面體機(jī)構(gòu)的自由度時(shí)，機(jī)構(gòu)階的求解存在較大困難。文獻(xiàn)[9-11]基于PRRP運(yùn)動(dòng)鏈和一種對(duì)稱8桿機(jī)構(gòu)綜合了一系列具有徑向往復(fù)運(yùn)動(dòng)的過(guò)約束可展多面體機(jī)構(gòu)，并根據(jù)機(jī)構(gòu)所含關(guān)節(jié)數(shù)和約束矩陣的秩之間的關(guān)系，分析了多面體機(jī)構(gòu)的自由度，但是當(dāng)機(jī)構(gòu)中關(guān)節(jié)較多時(shí)，求解高階約束矩陣的秩難度較大。楊毅等[12]基于單閉環(huán)7桿機(jī)構(gòu)提出了一種四棱錐可展機(jī)構(gòu)，并將其拆分為一個(gè)三閉環(huán)機(jī)構(gòu)和一個(gè)二連桿運(yùn)動(dòng)鏈，通過(guò)分析三閉環(huán)機(jī)構(gòu)得到了四棱錐機(jī)構(gòu)的自由度，但并不是所有的多面體機(jī)構(gòu)都能拆分為一個(gè)與原機(jī)構(gòu)自由度等價(jià)的機(jī)構(gòu)和一個(gè)只引入虛約束的運(yùn)動(dòng)單鏈。文獻(xiàn)[13-15]研究了Hoberman魔球機(jī)構(gòu)的自由度和運(yùn)動(dòng)特性。許允斗等[16]針對(duì)一種四面體可展機(jī)構(gòu)的自由度問(wèn)題，提出了一種拆桿等效法，該四面體機(jī)構(gòu)耦合度較低，拆除一個(gè)串聯(lián)運(yùn)動(dòng)鏈后的機(jī)構(gòu)恰好可看作并聯(lián)機(jī)構(gòu)，當(dāng)機(jī)構(gòu)耦合度更高時(shí)，此方法是否可行未作進(jìn)一步說(shuō)明。文獻(xiàn)[17-18]分別采用拆分桿組法和拓展多面體框架的自由度分析方法，分析了一種六面體可展機(jī)構(gòu)的自由度。劉婧芳等[19-20]提出了多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)自由度分析的等效法和獨(dú)立運(yùn)動(dòng)分流標(biāo)記法，并應(yīng)用于一種類正四面體機(jī)構(gòu)[21]和二十面體可展機(jī)構(gòu)[22]中。文獻(xiàn)[23]采用獨(dú)立運(yùn)動(dòng)分流標(biāo)記法分析了一種六面體可展機(jī)構(gòu)的自由度。這兩種方法中獨(dú)立運(yùn)動(dòng)單元的拆分是關(guān)鍵，若原機(jī)構(gòu)耦合度較高，拆分的獨(dú)立運(yùn)動(dòng)單元仍為多環(huán)耦合運(yùn)動(dòng)鏈時(shí)，其等效串聯(lián)鏈的建立是個(gè)難點(diǎn)。此外，WOHLHART[24-26]也對(duì)多面體可展機(jī)構(gòu)的構(gòu)型、運(yùn)動(dòng)分析等展開(kāi)了研究。

本文在文獻(xiàn)[16]的基礎(chǔ)上，以一種多環(huán)耦合六面體機(jī)構(gòu)[17-18,23]為研究對(duì)象，提出一種自由度分析方法。先將機(jī)構(gòu)中部分耦合運(yùn)動(dòng)鏈視作動(dòng)平臺(tái)，基于螺旋理論建立動(dòng)平臺(tái)的等效串聯(lián)支撐分支；然后逐漸釋放動(dòng)平臺(tái)中的構(gòu)件，建立變化后動(dòng)平臺(tái)的等效串聯(lián)分支；最后構(gòu)建僅由一個(gè)連桿組成的等效并聯(lián)機(jī)構(gòu)，進(jìn)而采用并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度分析方法得到原多面體機(jī)構(gòu)的自由度。借助仿真軟件驗(yàn)證六面體機(jī)構(gòu)自由度理論分析結(jié)果的正確性，并分析該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性和折疊比。

1 結(jié)構(gòu)及自由度分析

1.1 結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)介

圖1為完全相同的24個(gè)連桿(記作L1～L24)和36個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副(R)組成的一種六面體機(jī)構(gòu)[17-18,23]，其第i(i=1,2,…,6)個(gè)面上的4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副Ri1、Ri2、Ri3和Ri4軸線相互平行且垂直于該平面，連接相鄰兩面的轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線平行于兩平面的交線， 六面體各頂點(diǎn)處3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線相交于一點(diǎn)，記為oj(j=1, 2, …, 8)。該機(jī)構(gòu)具有對(duì)稱結(jié)構(gòu)，選取連桿L1為機(jī)架，在頂點(diǎn)o1建立參考坐標(biāo)系o1xyz，其中，x軸與轉(zhuǎn)動(dòng)副RA1的軸線重合，z軸與轉(zhuǎn)動(dòng)副R12的軸線重合，y軸根據(jù)右手定則確定。

圖1 六面體機(jī)構(gòu)Fig.1 Hexahedral mechanism

1.2 自由度分析

圖1為六面體機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，若將任意1個(gè)連桿(不含機(jī)架桿L1)視作動(dòng)平臺(tái)，則連接動(dòng)平臺(tái)和機(jī)架的支撐分支間耦合關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，對(duì)該六面體機(jī)構(gòu)進(jìn)行自由度分析難度較大。本文先將N1(1

圖2為六面體機(jī)構(gòu)的自由度分析流程，具體分析過(guò)程如下：

選取四連桿機(jī)構(gòu)R21R22R23R24、R61R62R63R64和R41R42R43R44依次通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副RC1和RC3串聯(lián)而成的運(yùn)動(dòng)鏈整體為動(dòng)平臺(tái)1，如圖3所示。動(dòng)平臺(tái)1又通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副RA1、RB1、RB2、RB3、RB4、RC2、RC4和RA3與機(jī)構(gòu)剩余部分相連，故動(dòng)平臺(tái)1與機(jī)架桿L1之間存在8個(gè)支撐分支。

圖2 六面體機(jī)構(gòu)自由度分析流程Fig.2 DOF analysis procedure of hexahedral mechanism

圖3 動(dòng)平臺(tái)1Fig.3 Moving platform No.1

圖4 拆除動(dòng)平臺(tái)1后的運(yùn)動(dòng)鏈Fig.4 Part of dismantling moving platform No.1

但動(dòng)平臺(tái)1的8個(gè)分支之間存在耦合鏈，為便于建立動(dòng)平臺(tái)1的8個(gè)運(yùn)動(dòng)等效串聯(lián)分支，先將動(dòng)平臺(tái)1從原機(jī)構(gòu)中拆除，剩余部分如圖4所示。在圖4中，與轉(zhuǎn)動(dòng)副RA1、RB1、RB2、RB3、RB4、RC2、RC4和RA3相連的桿件分別為機(jī)架L1、連桿L20、L9、L11、L18、L10、L17和L3，基于螺旋理論分別分析這些連桿相對(duì)于機(jī)架的自由度數(shù)目和性質(zhì)，從而建立其與機(jī)架之間的等效串聯(lián)運(yùn)動(dòng)鏈，如表1所示。

表1 連桿L9、L10、L11、L20、L17、L18、L3與機(jī)架之間的等效串聯(lián)鏈
Tab.1 Equivalent series chains between base and linksL9, L10, L11, L20, L17, L18and L3

表1中 Pe1為軸線與轉(zhuǎn)動(dòng)副R31和連桿L9的中心軸線均垂直的移動(dòng)副，Pe2為軸線與轉(zhuǎn)動(dòng)副R52和連桿L20的中心軸線均垂直的移動(dòng)副，Pe3為軸線與轉(zhuǎn)動(dòng)副R12和連桿L2的中心軸線均垂直的移動(dòng)副。表1中等效串聯(lián)鏈結(jié)合轉(zhuǎn)動(dòng)副RA1、RB1、RB2、RB3、RB4、RC2、RC4和RA3可得動(dòng)平臺(tái)1的8個(gè)運(yùn)動(dòng)等效串聯(lián)分支分別為RA1、R11RA4R52RB1、R12RA2R31RB2、R12RA2R32RB3、R11RA4R51RB4、R12RA2Pe1RC2、R11RA4Pe2RC4和Pe3RA3。動(dòng)平臺(tái)1、機(jī)架及8個(gè)等效串聯(lián)分支構(gòu)成的并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖5所示。

圖5 動(dòng)平臺(tái)1、機(jī)架以及8個(gè)等效串聯(lián)分支構(gòu)成的并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.5 PM composed of moving platform No.1, base and eight equivalent series limbs

圖5的機(jī)構(gòu)又可視作以四連桿閉環(huán)機(jī)構(gòu)R61R62R63R64整體為動(dòng)平臺(tái)2、含4個(gè)支撐分支的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其中，分支1和分支2如圖6所示，分支3和分支4分別為動(dòng)平臺(tái)1的等效串聯(lián)分支RC2Pe1RA2R12和RC4Pe2RA4R11。

圖6 動(dòng)平臺(tái)2的分支1和分支2Fig.6 Two limbs of moving platform No.2

圖7 動(dòng)平臺(tái)2的分支1拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.7 Topological structure of the first limb of moving platform No.2

從圖6可以看到，分支1和分支2亦屬于空間多閉環(huán)耦合機(jī)構(gòu)，圖7給出了分支1的拓?fù)潢P(guān)系，分支2的拓?fù)潢P(guān)系與分支1的類似。為建立分支1的等效串聯(lián)分支，先分析分支1中連桿L7相對(duì)于機(jī)架的自由度。連桿L7與機(jī)架相連的兩個(gè)支鏈之間存在耦合，基于螺旋理論分析連桿L6和L8受到的約束螺旋系可得其與機(jī)架之間的運(yùn)動(dòng)等效串聯(lián)鏈分別為R21RA1和R22RA1，進(jìn)而可得連桿L7的兩個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)等效串聯(lián)支鏈為R24R21RA1和R23R22RA1。求等效串聯(lián)支鏈R24R21RA1和R23R22RA1施加給連桿L7的約束螺旋系的反螺旋，可得在參考坐標(biāo)系o1xyz下表示的連桿L7的運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(1)

式中 (l1,m1,n1)——點(diǎn)o5在坐標(biāo)系o1xyz中的坐標(biāo)

式(1)表明連桿L7具有與轉(zhuǎn)動(dòng)副R22的軸線和直線o1o5均垂直方向的移動(dòng)自由度和繞轉(zhuǎn)動(dòng)副RA1軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，從而可得圖6中分支1的運(yùn)動(dòng)等效串聯(lián)分支為RC1Pe4RA1，其中，Pe4表示軸線與轉(zhuǎn)動(dòng)副R22的軸線和直線o1o5均垂直的移動(dòng)副。

同理，可得動(dòng)平臺(tái)2的分支2中連桿L15的運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(2)

式中 (l2,m2,0)——點(diǎn)o2在坐標(biāo)系o1xyz中的坐標(biāo)

綜上可得動(dòng)平臺(tái)2、機(jī)架、等效串聯(lián)分支RC1Pe4RA1和RC3Pe5RA3Pe3、分支3以及分支4組成的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，如圖8所示。

圖8 動(dòng)平臺(tái)2、機(jī)架和4個(gè)等效串聯(lián)分支組成的并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.8 PM composed of moving platform No.2, base and four equivalent series limbs

在圖8的機(jī)構(gòu)中，把連桿L22視作動(dòng)平臺(tái)3，其上有3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，分別為RC2、R62和R63，故動(dòng)平臺(tái)3通過(guò)3個(gè)分支與機(jī)架L1相連。一個(gè)分支為獨(dú)立串聯(lián)分支RC2Pe1RA2R12，另外兩個(gè)分支間存在耦合?；诼菪碚摽赏频昧硗鈨蓚€(gè)耦合分支的運(yùn)動(dòng)等效串聯(lián)分支為R62Pe4Pe6和R63Pe4Pe6，其中，Pe6表示軸線與轉(zhuǎn)動(dòng)副R22軸線平行的移動(dòng)副。因此，動(dòng)平臺(tái)3、機(jī)架、分支RC2Pe1RA2R12、分支R62Pe4Pe6和分支R63Pe4Pe6組成一個(gè)含三分支的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

求等效串聯(lián)分支RC2Pe1RA2R12、R62Pe4Pe6和R63Pe4Pe6施加給連桿L22的約束螺旋系的反螺旋，可得連桿L22的運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(3)

式(3)表明連桿L22具有3個(gè)自由度，分別為繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和與轉(zhuǎn)動(dòng)副RB2軸線垂直的兩個(gè)移動(dòng)自由度，從而可得原六面體機(jī)構(gòu)的自由度為3，與文獻(xiàn)[17-18,23]結(jié)論一致。

六面體機(jī)構(gòu)在一般位形下(圖1)，每個(gè)面上的4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副Ri1～Ri4的軸線始終相互平行且垂直于該平面，相鄰兩個(gè)面之間的轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線平行于兩個(gè)面的交線，每個(gè)頂點(diǎn)處的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線相交于一點(diǎn)，即所有轉(zhuǎn)動(dòng)副的相對(duì)位置和方向與上述分析位形下的相同。因此，該六面體可展機(jī)構(gòu)的3個(gè)自由度具有全周性。

2 運(yùn)動(dòng)特性

2.1 驅(qū)動(dòng)副選取

當(dāng)機(jī)構(gòu)輸入數(shù)目與機(jī)構(gòu)自由度數(shù)目相等時(shí)，機(jī)構(gòu)一般可實(shí)現(xiàn)確定的運(yùn)動(dòng)，但對(duì)自由度大于2的多自由度機(jī)構(gòu)來(lái)說(shuō)，即使輸入數(shù)目與機(jī)構(gòu)自由度數(shù)目相等，若驅(qū)動(dòng)副選擇不合適，機(jī)構(gòu)也會(huì)發(fā)生輸入干涉[27]。根據(jù)上文分析可知，圖1所示六面體機(jī)構(gòu)具有3個(gè)自由度，故需要添加3個(gè)獨(dú)立的驅(qū)動(dòng)使其實(shí)現(xiàn)確定的運(yùn)動(dòng)。該六面體機(jī)構(gòu)的每個(gè)面由4個(gè)連桿和4個(gè)軸線相互平行的轉(zhuǎn)動(dòng)副組成，如圖9所示，顯然，該平面四桿機(jī)構(gòu)具有1個(gè)自由度。此外，由于六面體機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)對(duì)稱性，相對(duì)的兩平面四桿機(jī)構(gòu)始終具有相同的運(yùn)動(dòng)。因此，3個(gè)獨(dú)立的驅(qū)動(dòng)副應(yīng)分別在相鄰的3個(gè)平面四桿機(jī)構(gòu)或位于六面體邊線并交于同一頂點(diǎn)的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副中選擇。

圖9 平面四桿機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.9 Schematic of planar four-bar mechanism

選取轉(zhuǎn)動(dòng)副R12、R22和R31為驅(qū)動(dòng)副，采用文獻(xiàn)[27]中多自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸入選取準(zhǔn)則，檢驗(yàn)轉(zhuǎn)動(dòng)副R12、R22和R31為驅(qū)動(dòng)副的合理性。

假設(shè)將轉(zhuǎn)動(dòng)副R12、R22和R31剛化，六面體機(jī)構(gòu)中平面四桿機(jī)構(gòu)R11R12R13R14、R21R22R23R24和R31R32R33R34將失去自由度，原六面體機(jī)構(gòu)變?yōu)閳D10所示機(jī)構(gòu)。將圖10中閉環(huán)運(yùn)動(dòng)鏈R61R62R63R64整體視作動(dòng)平臺(tái)，其通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副RC1、RC2、RC3和RC4最終與機(jī)架相連。連桿L5、L6、L7、L8整體通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副RA1與機(jī)架相連，通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副RB2與連桿L9相連，而連桿L9、L10、L11、L12整體又通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副RA2與機(jī)架相連，根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可知，其形成的含3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的閉環(huán)運(yùn)動(dòng)鏈不具有自由度。因此，動(dòng)平臺(tái)R61R62R63R64通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副RC1和RC2與機(jī)架相連的等效串聯(lián)分支分別為RC1和RC2，其余2個(gè)分支結(jié)構(gòu)如圖11所示。

圖10 剛化驅(qū)動(dòng)副后的六面體機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.10 Schematic of hexahedral mechanism after fixing driving joints

基于圖2的自由度分析，可得圖11中連桿L15和連桿L17相對(duì)于機(jī)架的自由度為零，則動(dòng)平臺(tái)R61R62R63R64通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副RC3和RC4與機(jī)架相連的等效串聯(lián)分支分別為RC3和RC4，從而可得動(dòng)平臺(tái)R61R62R63R64和其4個(gè)等效串聯(lián)分支以及機(jī)架構(gòu)成的并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖12所示。

圖11 動(dòng)平臺(tái)R61R62R63R64的另外兩個(gè)分支結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.11 Schematic of two other limbs of moving platform R61R62R63R64

圖12 動(dòng)平臺(tái)R61R62R63R64、4個(gè)等效串聯(lián)分支和機(jī)架組成的并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.12 PM composed of moving platform R61R62R63R64, base and four equivalent series limbs

圖12的多閉環(huán)機(jī)構(gòu)中，獨(dú)立的平面四桿機(jī)構(gòu)R61R62R63R64具有1個(gè)自由度，當(dāng)其4個(gè)連桿分別通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副RC1、RC2、RC3和RC4與機(jī)架相連時(shí)，每個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副提供的3個(gè)約束力和2個(gè)約束力偶限制了原平面四桿機(jī)構(gòu)R61R62R63R64的自由度。因此，圖12的等效機(jī)構(gòu)自由度為零，從而可得剛化驅(qū)動(dòng)副R12、R22和R31后六面體機(jī)構(gòu)自由度為零，則根據(jù)文獻(xiàn)[27]中多自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸入選取準(zhǔn)則，可以選取六面體機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)副R12、R22和R31作為3個(gè)驅(qū)動(dòng)副。需要注意，轉(zhuǎn)動(dòng)副R12、R22和R31并不是該六面體機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)副的唯一選擇。

2.2 仿真分析

建立六面體機(jī)構(gòu)的仿真模型如圖13所示，驅(qū)動(dòng)副R12、R22和R31的角位移分別為θ1、θ2和θ3，根據(jù)該六面體機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)對(duì)稱性，取0°≤θk≤90°(k=1, 2, 3)分析其運(yùn)動(dòng)特性。

給轉(zhuǎn)動(dòng)副R12、R22和R31施加相同的驅(qū)動(dòng)：θ1=θ2=θ3=(90-5t)°，其中，t表示時(shí)間。仿真10 s，測(cè)得機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中轉(zhuǎn)動(dòng)副的角位移如圖14所示。改變轉(zhuǎn)動(dòng)副R12、R22和R31的驅(qū)動(dòng)值：θ1=(90-4t)°、θ2=(90-5t)°、θ3=(90-6t)°。仿真10 s，測(cè)得機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中轉(zhuǎn)動(dòng)副的角位移如圖15所示。

圖13 六面體機(jī)構(gòu)的仿真模型Fig.13 Simulation model of hexahedral mechanism

圖14 相同驅(qū)動(dòng)下機(jī)構(gòu)各轉(zhuǎn)動(dòng)副的角位移Fig.14 Angular displacements of joints of hexahedral mechanism under the same actuations

圖15 不同驅(qū)動(dòng)下機(jī)構(gòu)各轉(zhuǎn)動(dòng)副的角位移Fig.15 Angular displacements of joints of hexahedral mechanism under different actuations

圖14表明當(dāng)六面體機(jī)構(gòu)的3個(gè)驅(qū)動(dòng)相同時(shí)，6個(gè)平面四桿機(jī)構(gòu)中的轉(zhuǎn)動(dòng)副具有相同的運(yùn)動(dòng)，位于機(jī)構(gòu)12條邊線上的轉(zhuǎn)動(dòng)副具有相同的運(yùn)動(dòng)，即機(jī)構(gòu)在任意位形下其6個(gè)面形狀完全相同。圖15表明六面體機(jī)構(gòu)在3個(gè)不同大小驅(qū)動(dòng)下，相對(duì)的兩平面四桿機(jī)構(gòu)中轉(zhuǎn)動(dòng)副始終具有相同的角位移，位于六面體相互平行棱邊的轉(zhuǎn)動(dòng)副角位移相同，即機(jī)構(gòu)在任意位形下相對(duì)的兩個(gè)面形狀相同，此仿真結(jié)果與理論分析相吻合。

3 折疊性能

六面體機(jī)構(gòu)在不同驅(qū)動(dòng)下的位形變化如圖16所示，從圖16可看到，六面體機(jī)構(gòu)在θ1=θ2=θ3=90°時(shí)呈現(xiàn)出正方體，在0°<θ1、θ2、θ3<90°時(shí)呈現(xiàn)出平行六面體，由于每個(gè)桿長(zhǎng)恒定，故該六面體機(jī)構(gòu)在正方體狀態(tài)的包絡(luò)體積大于平行六面體狀態(tài)的包絡(luò)體積。因連桿間的干涉問(wèn)題，六面體機(jī)構(gòu)實(shí)際中只能無(wú)限接近圖14中的3種極限位形：(θ1=0°,θ2=θ3=90°)、(θ2=θ3=45°,θ1=90°)和(θ1=θ2=θ3=0°)，為了便于討論六面體機(jī)構(gòu)的最小包絡(luò)體積，表2列出了幾種極限位形下六面體機(jī)構(gòu)的包絡(luò)體積及驅(qū)動(dòng)角。

圖16 六面體機(jī)構(gòu)在不同驅(qū)動(dòng)下的位形變化Fig.16 Configuration changes of hexahedral mechanism under different actuations

將六面體機(jī)構(gòu)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)空間中的最大包絡(luò)體積與最小包絡(luò)體積之比定義為該機(jī)構(gòu)的折疊比，計(jì)算式為

(4)

式中η——機(jī)構(gòu)折疊比

Vmax——六面體機(jī)構(gòu)的最大包絡(luò)體積

Vmin——六面體機(jī)構(gòu)的最小包絡(luò)體積

a——θ1=θ2=θ3=90°時(shí)六面體機(jī)構(gòu)的包絡(luò)正方體邊長(zhǎng)

h——θ1=θ2=θ3=0°時(shí)六面體機(jī)構(gòu)的包絡(luò)圓柱的高

d——θ1=θ2=θ3=0°時(shí)六面體機(jī)構(gòu)的包絡(luò)圓柱的底面圓直徑考慮機(jī)構(gòu)的真實(shí)尺寸，因連桿間的干涉問(wèn)題六面體機(jī)構(gòu)的實(shí)際折疊比小于12.294 7。

表2 六面體機(jī)構(gòu)的包絡(luò)體積及對(duì)應(yīng)驅(qū)動(dòng)角
Tab.2 Envelope volume and corresponding drivingvalues of hexahedral mechanism

4 結(jié)論

(1)對(duì)一種六面體可展機(jī)構(gòu)的自由度進(jìn)行了分析。基于拆桿、等效、復(fù)原的思想，不斷選取機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)，建立運(yùn)動(dòng)等效機(jī)構(gòu)，逐漸降低原機(jī)構(gòu)的耦合度，最終基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度分析理論得到了六面體機(jī)構(gòu)的自由度。

(2)分析了六面體可展機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。機(jī)構(gòu)中相對(duì)的兩平面四桿機(jī)構(gòu)始終具有相同的運(yùn)動(dòng)，位于機(jī)構(gòu)平行棱邊上的轉(zhuǎn)動(dòng)副具有相同的角位移。

(3)分析了六面體機(jī)構(gòu)的折疊性能。六面體可展機(jī)構(gòu)在不同組合的驅(qū)動(dòng)下可實(shí)現(xiàn)多種位形，具有較大的折疊比，可適用于不同任務(wù)、不同需求的場(chǎng)合。