鐘華 范樂(lè)樂(lè)

摘要：本文中，對(duì)《貝葉斯統(tǒng)計(jì)》課程中的兩個(gè)重要定理中的結(jié)論等式進(jìn)行了進(jìn)一步的研究。首先采用高等數(shù)學(xué)中的微分求導(dǎo)以及級(jí)數(shù)變換等方式，從理論上詳細(xì)證明了這兩個(gè)定理中的結(jié)論等式，然后簡(jiǎn)單介紹了通過(guò)R軟件，使用隨機(jī)蒙特卡羅代入的方法對(duì)定理進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證的一般步驟。通過(guò)對(duì)定理的進(jìn)一步研究，有利于加強(qiáng)課程的教學(xué)效果與教學(xué)深度，使學(xué)生能得到綜合知識(shí)與能力的提升。

關(guān)鍵詞：貝葉斯統(tǒng)計(jì);微分求導(dǎo);級(jí)數(shù)變換;蒙特卡羅代入

一、兩個(gè)定理的理論證明方法

在《貝葉斯統(tǒng)計(jì)》課程中的“貝葉斯決策”這部分內(nèi)容的教學(xué)中，為了計(jì)算貝塔分布下二行動(dòng)線性決策問(wèn)題的先驗(yàn)EVPI，需要用到如下的定理1，定理1反映了貝塔分布這個(gè)連續(xù)型的分布與離散型的二項(xiàng)分布之間的聯(lián)系。而在本人授課所使用的教材中，只給出了這個(gè)定理的結(jié)論，并沒(méi)有給出其完整明確的證明過(guò)程。下面，本人將采用與文獻(xiàn)中類(lèi)似的研究方法，給出定理1的一種證明方法。

定理1.當(dāng)α與β皆為正整數(shù)時(shí)，用在貝塔分布Be（α，β）下計(jì)算事件{θ≤θ}的概率可以轉(zhuǎn)化為用二項(xiàng)分布計(jì)算，具體公式如下：

在課程后續(xù)的教學(xué)中，緊接著又出現(xiàn)了一個(gè)與定理I類(lèi)似的定理，如定理2

定理2同樣反映了伽瑪分布這個(gè)連續(xù)型的分布與離散型的泊松分布之間的內(nèi)在聯(lián)系。定理2與定理I很明顯屬于同一種類(lèi)型，教材中仍然沒(méi)有給出具體的證明過(guò)程。下面，本人采用與定理I類(lèi)似的證明方法，給出定理2的一種證明。

二、兩個(gè)定理的數(shù)值驗(yàn)證方法

在定理1和定理2的教學(xué)中，也可以理論教學(xué)結(jié)合實(shí)驗(yàn)教學(xué)，要求學(xué)生利用R軟件編寫(xiě)相應(yīng)的R程序，對(duì)定理進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證，從而加強(qiáng)對(duì)定理的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生更容易接受知識(shí)。具體方法如下。

第一步，任意取定一個(gè)θ∈（0，1），先代入定理1或者定理2中的等式的左邊，計(jì)算出左邊對(duì)應(yīng)的值;第二步，把取定的θ代入等式右邊，得到等式右邊對(duì)應(yīng)的值;第三步，比較等式左邊與右邊的值，如果兩端的值相等，說(shuō)明等式在取定的θ這點(diǎn)處是成立的;第四步，運(yùn)用隨機(jī)蒙特卡羅方法，隨機(jī)選取至少1000個(gè)這樣的θ，驗(yàn)證在這些θ處等式是否成立。

通過(guò)R軟件強(qiáng)大的計(jì)算能力，學(xué)生驗(yàn)證了在對(duì)任意選取的至少1000個(gè)θ∈（0，1），兩個(gè)定理中的等式都成立，可以說(shuō)，基本上通過(guò)數(shù)值模擬，驗(yàn)證了定理中的等式對(duì)任意的θ∈（0，1）都應(yīng)該是成立的。

三、結(jié)語(yǔ)

綜合文中兩個(gè)定理的證明，可以看出證明方法還是比較簡(jiǎn)單的，只用到了高等數(shù)學(xué)中的微分求導(dǎo)以及級(jí)數(shù)變換等方面的內(nèi)容，理論教學(xué)講解中也便于學(xué)生接受，再結(jié)合數(shù)值驗(yàn)證，可進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)定理的認(rèn)識(shí)、記憶和應(yīng)用。另外，也希望能給其他從事《貝葉斯統(tǒng)計(jì)》課程教學(xué)的教師給予一定的幫助。

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作者簡(jiǎn)介

鐘華（1980-），男，副教授，主要從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面的研究。

基金項(xiàng)目：河池學(xué)院2015年碩士專(zhuān)業(yè)學(xué)位建設(shè)基金課題（編號(hào)：2015YTB004）。