楊貴

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中新增了“發(fā)展學(xué)生的模型思想”這一內(nèi)容，并指出“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”[1]。那么，究竟什么是數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)模型思想？建立數(shù)學(xué)模型有什么現(xiàn)實(shí)意義？在教學(xué)實(shí)踐中又該如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想？

一、明確模型思想內(nèi)涵，專(zhuān)業(yè)審視數(shù)學(xué)世界

那么，什么是數(shù)學(xué)模型？什么是數(shù)學(xué)模型思想？

數(shù)學(xué)模型，一般是指用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)和圖形等形式來(lái)刻畫(huà)、描述、反映特定的問(wèn)題或具體事物之間關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型，主要是確定性數(shù)學(xué)模型。廣義地講，一般表現(xiàn)為數(shù)學(xué)的概念、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系等。[2]。

什么是數(shù)學(xué)模型思想？

數(shù)學(xué)模型思想是指針對(duì)問(wèn)題構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型的研究來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。從發(fā)展進(jìn)程來(lái)看，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是在不斷地抽象、概括、模式化的過(guò)程中發(fā)展和豐富起來(lái)的。

二、堅(jiān)守?cái)?shù)學(xué)模型道義，自覺(jué)踐行數(shù)學(xué)建模

（一）建構(gòu)數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)特征的反映

1.數(shù)學(xué)模型是對(duì)客觀事物的一般關(guān)系的反映，也是人們以數(shù)學(xué)方式認(rèn)識(shí)具體事物、描述客觀現(xiàn)象的最基本的形式。

2.人們?cè)谝詳?shù)學(xué)方式研究具體問(wèn)題時(shí)，是通過(guò)分析、比較、判斷、推理等思維活動(dòng)，來(lái)探究、挖掘具體事物的本質(zhì)及關(guān)系的，而最終以符號(hào)、模型等方式將其間的規(guī)律揭示出來(lái)，使復(fù)雜的問(wèn)題本質(zhì)化、簡(jiǎn)潔化，甚至將其一般化，使某類(lèi)問(wèn)題的解決有了共同的程序與方法。

（二）建構(gòu)數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的有效形式

1.數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)應(yīng)用之間的橋梁，建立和處理數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，就是將數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。

2.現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀認(rèn)為，數(shù)學(xué)具有科學(xué)方法論的屬性，數(shù)學(xué)思想方法是人們研究數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、解決問(wèn)題的重要策略。而建立數(shù)學(xué)模型，研究數(shù)學(xué)模型，正是問(wèn)題解決過(guò)程中的中心環(huán)節(jié)，是決定問(wèn)題解決程度如何的關(guān)鍵。

（三）建構(gòu)數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和課程改革的重要任務(wù)

1.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中最重要的部分，就是數(shù)學(xué)模型。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形式為一系列的概念系統(tǒng)、算法系統(tǒng)、關(guān)系、定律、公理系統(tǒng)等，這些都是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容?？梢赃@樣說(shuō)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，實(shí)際上是對(duì)一系列數(shù)學(xué)模型的理解、把握過(guò)程。

2.學(xué)生在探索、獲得數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，也同時(shí)獲得了構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、解決實(shí)際問(wèn)題的思想、程序與方法，而這對(duì)學(xué)生的發(fā)展來(lái)說(shuō)，其意義遠(yuǎn)大于僅僅獲得某些數(shù)學(xué)知識(shí)。

3.數(shù)學(xué)不應(yīng)等同于數(shù)學(xué)結(jié)論的簡(jiǎn)單匯集，而應(yīng)被看成一個(gè)包含有“問(wèn)題”、“方法”、“語(yǔ)言”等多種成分的復(fù)合體。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視滲透模型化思想，正是順應(yīng)了這種改革的趨向和要求。

三、探尋模型建構(gòu)策略，創(chuàng)享升華數(shù)學(xué)思想

（一）將生活原型上升為數(shù)學(xué)模型

生活原型是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題巧妙地創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，通過(guò)這個(gè)現(xiàn)實(shí)的生活原型引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)建模的方式解決問(wèn)題。

例如：在進(jìn)行“323+198，323-198”這樣的速算教學(xué)時(shí)，有相當(dāng)一部分學(xué)生難以把握此類(lèi)問(wèn)題。主要表現(xiàn)為：在"323+198=323+200-2”中，原來(lái)是加法計(jì)算，為什么要減2;在“323-198=323-200+2”中，原來(lái)是減法計(jì)算，為什么要加2？為了解決上述問(wèn)題，教師可以組織學(xué)生模仿“付整找零”的情景活動(dòng)：小熊原有128元人民幣，這個(gè)月獎(jiǎng)金199元，現(xiàn)在它一共有多少元？讓學(xué)生來(lái)表演發(fā)獎(jiǎng)金，先給小熊2張100元鈔（200元），小熊找還1元。

這個(gè)活動(dòng)的計(jì)算算理學(xué)生是明白的。教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把“常識(shí)”提煉為“模型”，這實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)建模的過(guò)程。經(jīng)過(guò)了“付整找零”的活動(dòng)后，建模實(shí)施了三個(gè)步驟：

1.把情境抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題：小熊原有128元，收人199元，現(xiàn)共有多少元？

2.用數(shù)學(xué)算式來(lái)表示：128+199=128+200-1=327

3.總結(jié)其中的算理，概括出速算的法則。通過(guò)“付整找零”的生活原型提煉出“多加了要減去，多減了要加上”的數(shù)學(xué)模型。

（二）利用“舊模型”構(gòu)建“新模型”

數(shù)學(xué)的概念、法則、公式等都是數(shù)學(xué)模型，并且總是建立在對(duì)其它數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用及體現(xiàn)在對(duì)新知的逐級(jí)構(gòu)建上的。例如單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)之間的數(shù)量關(guān)系模型是：?jiǎn)蝺r(jià)×數(shù)量=總價(jià)。該模型是建立在學(xué)生的原認(rèn)知乘法意義的基礎(chǔ)上的，“求幾個(gè)幾相加用乘法算”。我教學(xué)該課時(shí)，我出示了已知單價(jià)、數(shù)量求總價(jià)之后，拋出了兩類(lèi)變式練習(xí)讓學(xué)生解決：已知總價(jià)、數(shù)量求單價(jià)，已知總價(jià)、單價(jià)求數(shù)量，從而推導(dǎo)出另兩個(gè)數(shù)量關(guān)系式：總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià)，總價(jià)÷單價(jià)=數(shù)量。在這兩類(lèi)變式練習(xí)中，學(xué)生利用“原模型”“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”和乘法各部分的關(guān)系解決了較復(fù)雜的變式題，并推導(dǎo)出另兩組相關(guān)的數(shù)量關(guān)系式，建構(gòu)了“新模型”。

（三）讓學(xué)生體驗(yàn)?zāi)Ｐ蜆?gòu)建的全過(guò)程

根據(jù)建模對(duì)象的特征和建模的目的，對(duì)實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題或現(xiàn)實(shí)情景，進(jìn)行觀察、比較、分析、抽象、概括，運(yùn)用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出數(shù)學(xué)概念或用數(shù)學(xué)符號(hào)刻畫(huà)出一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。如我教學(xué)《常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系》的建模過(guò)程：我出示三個(gè)購(gòu)物情境題，“為什么這三道題都用乘法算？”一個(gè)精辟的追問(wèn)，讓學(xué)生感受到，以前我們解決這類(lèi)問(wèn)題用的數(shù)學(xué)模型是乘法的意義;在探究數(shù)量關(guān)系模型這一關(guān)鍵環(huán)節(jié)時(shí)，提了一個(gè)非常開(kāi)放性的問(wèn)題“這三道題有什么共同點(diǎn)呢？”對(duì)于這三道題，孩子們都會(huì)做，但“這三道題有什么共同點(diǎn)呢？”一個(gè)開(kāi)放性的問(wèn)題，制造了學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生帶著這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了自主學(xué)習(xí)、小組探究、組內(nèi)交流、全班匯報(bào)一系列學(xué)習(xí)活動(dòng)，并探究得出數(shù)學(xué)模型單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)模型思想，可以幫助學(xué)生深入理解所學(xué)知識(shí)，順利構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，教師在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)注重滲透數(shù)學(xué)模型思想，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)不一般地學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)不一般的數(shù)學(xué)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種享受。

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部? 義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S]北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：5.

[2]劉明祥? 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生模型思想的探討.

[3]教育部? 義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗(yàn)稿）[S]北京：北京師范大學(xué)出版社，2001：1.