李文芳

摘要：分類討論思想是一種常見的數(shù)學(xué)思想，由于有些數(shù)學(xué)問題的題設(shè)或結(jié)論的不唯一確定，使問題存在許多種可能情況，因此要按可能出現(xiàn)的各種情況分別加以討論。運用分類討論的思想來解決相似三角形問題是近年來中考數(shù)學(xué)命題的熱點。然而不少學(xué)生在學(xué)習(xí)之初，對這類問題的圖形識別能力很差而且分類混亂。

關(guān)鍵詞：相似三角形;分類討論;基本圖形

一、認識基本圖形

相似三角形中的分類討論問題中大多存在一對已確定的對應(yīng)元素，如一組對應(yīng)點或一組對應(yīng)角或一組對應(yīng)邊。因此，將原本兩個三角形相似有六種可能對應(yīng)的情況縮減為兩種可能。

例1.如圖1， D為AB邊上的一點，點E為AC邊上的點，要使△ADE與△ABC相似，你能作出幾個符合條件的點E？請畫出圖形。

或

圖1 ???????（基本圖形1）

例2.如圖2，△ABC中，AB=15，AC=12. D為BA延長線上的一點，點E在CA的延長線上，且AD=6. 要使△ADE與△ABC相似，求AE的長？請畫出圖形再求解。

或

圖2 ?????????????（基本圖形2）

分析：△ADE與△ABC有公共頂點A，有公共角∠A，即對應(yīng)頂點為A和A，對應(yīng)角為∠A和∠A，對應(yīng)邊自然為BC和DE。此時，無論從點、角、邊任何一個角度去考慮，都有一組已確定的對應(yīng)元素，所以相似縮減為兩種可能。

解法1根據(jù)“有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”可知要使△ADE與△ABC相似，只要使∠ADE=∠B，即DE//BC，或者∠AED=∠B。

解法 2根據(jù)“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似”可知，要使△ADE與△ABC相似，只要使?或

例1、2是分類討論思想在三角形相似中的最簡單的運用，我們平時見到的很多問題都是基本圖形的適當(dāng)變形。

（基本圖形的常見變形）

二、鞏固應(yīng)用

應(yīng)用 1點P是△ABC中AB邊上的一點，過點P作直線（不與直線AB重合）截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，滿足這樣條件的直線最多有多少條？

分析 ??因為沒有明確直線與AC邊還是BC邊相交，所以先分兩類討論，而這兩類情況下又分別有兩條直線符合題意，故共有4條。

圖3

應(yīng)用 2已知RtΔOAB在直角坐標系中的位置如圖3所示，P（3，4）為OB的中點，點C為折線OAB分割成兩部分。問：點C在什么位置時，分割得到的三角形與RtΔOAB相似？（注：在圖上畫出所有符合要求的線段PC，并求出相應(yīng)的電C的坐標）

分析 ??不難看出應(yīng)用2是應(yīng)用1的變式。根據(jù)點C所在線段的不同，先分兩類討論，即點C在線段OA上與點C在線段AB上。

情況一：當(dāng)點C在線段OA上時，分割得到的三角形是ΔOPC，它與ΔOAB有公共角∠AOB，根據(jù)“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似”可知，要使ΔOPC與ΔOAB相似，只要使或，代入數(shù)據(jù)后，可分別得到一個關(guān)于OC的方程或，所以O(shè)C=3或OC=。因為〉OA=6所以O(shè)C=應(yīng)舍去。所以當(dāng)點C在OA上時，坐標為（3，0）

情況二：當(dāng)點C在線段AB上時，分割得到的三角形是ΔBPC，它與ΔOAB有公共角∠ABO，同理可知，要使ΔBPC與ΔOAB相似，只要使或。代入相應(yīng)數(shù)據(jù)后，亦可分別得到一個關(guān)于BC的方程或，所以BC=4或BC=。所以AC=4或AC=8-=，所以當(dāng)點C在AB上時，坐標為（6，4）或（6，）。

以上給出的解法是根據(jù)“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似”，通過構(gòu)造方程找到邊的長度，從而確定坐標。但此題中ΔOAB是一個直角三角形，所以當(dāng)發(fā)現(xiàn)分割所得到的三角形與ΔOAB有公共角時，也可根據(jù)“有兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似”，分別過點P作OA，AB，OB的垂線來構(gòu)造直角三角形，在此直角坐標系中，也能輕松得到答案。

用上述類似方法解答的相似三角形中的分類討論問題還有很多，有的還可以與雙動點問題結(jié)合，可以與拋物線相結(jié)合，雖然嵌入的背景各不相同，但分類方法基本相同。

參考文獻：

[1]用分類討論法解相似三角形“截線”問題 ·?魏從波 ·?江蘇省南京市金陵中學(xué)河西分校，210019

[2]分類討論思想在相似三角形中應(yīng)用 ·?湯永東 ·?浙江省象山縣高塘學(xué)校315734