馬玉清 ，李 琳

(1.安徽工商職業(yè)學(xué)院信息工程學(xué)院，安徽 合肥 231131;2.上海理工大學(xué)光電信息與計算機(jī)工程學(xué)院， 上海 200093)

0 引言

由于對分布式、網(wǎng)絡(luò)化和大規(guī)模系統(tǒng)的科學(xué)研究越來越深入和廣泛，分布式估計算法已經(jīng)成為非常有用的工具之一。事實上，由于一般傳感器網(wǎng)絡(luò)的功率、計算和通信能力有限，在不借助于集中式結(jié)構(gòu)的情況下，每個節(jié)點能夠估計一些信號的值是很重要的，例如，在監(jiān)測大規(guī)模系統(tǒng)時，這尤其明顯[1-3]。集中式解決方案需要數(shù)據(jù)融合中心，這種方法不但存在可擴(kuò)展性問題，而且需要大量的能量和通信資源，更進(jìn)一步的不利因素是非魯棒性導(dǎo)致的故障；而分布式方法是可擴(kuò)展的，每個節(jié)點僅使用本地信息，相鄰節(jié)點間的協(xié)作大大提高了估計質(zhì)量。

網(wǎng)絡(luò)內(nèi)(包括傳感器網(wǎng)絡(luò))分布式估計算法是在分布式自適應(yīng)濾波的背景下提出來的。在文獻(xiàn)[4]以及其所引用的文獻(xiàn)中，對于遞歸最小二乘和最小均方算法，提出了基于擴(kuò)散和增量自適應(yīng)解決方案。文獻(xiàn)[5]針對節(jié)點服從廣義系統(tǒng)模型的傳感器網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，提出了分布式估計和融合算法；并基于線性最小方差準(zhǔn)則導(dǎo)出了局部濾波估計器、一步預(yù)測估計器及其相應(yīng)的估計誤差互協(xié)方差矩陣；最后，基于矩陣加權(quán)線性最小方差最優(yōu)融合準(zhǔn)則，將局部估計值進(jìn)行加權(quán)融合，得到融合Kalman濾波器和一步預(yù)測估計器。仿真結(jié)果表明融和濾波器精度高于單傳感器局部濾波器。文獻(xiàn)[6]研究了分布式協(xié)同信息處理技術(shù)在自適應(yīng)目標(biāo)參數(shù)估計問題中的應(yīng)用，并基于自適應(yīng)濾波算法，利用分布式策略進(jìn)行目標(biāo)參數(shù)協(xié)同估計，提出了一種無約束條件實時估計噪聲方差的方法，并根據(jù)不同的分布式LMS算法，提出了分布式偏差補(bǔ)償LMS算法。仿真結(jié)果表明，分布式偏差補(bǔ)償LMS算法能夠?qū)崿F(xiàn)目標(biāo)參數(shù)的無偏估計。在文獻(xiàn)[7]中，針對受噪時變信號的分布式跟蹤提出了一種最小方差估計器。文獻(xiàn)[8]采用線性一致性算法對分布式估計和控制應(yīng)用進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[9—10]基于卡爾曼濾波，提出了分布式狀態(tài)估計的一致性算法。這種方法將擴(kuò)散機(jī)制與分布式卡爾曼濾波[11]結(jié)合起來，將局部卡爾曼濾波器的估計值傳遞給相鄰節(jié)點，然后用擴(kuò)散策略求平均；在文獻(xiàn)[12—13]中，通過采用連續(xù)卡爾曼一致濾波算法，提出了一種用于協(xié)同目標(biāo)跟蹤的移動傳感器網(wǎng)絡(luò)的分布式估計和移動控制的體系結(jié)構(gòu)；在文獻(xiàn)[14]中，對時變信號的分布式平均計算進(jìn)行了分析，定義了一個凸優(yōu)化問題來計算每個節(jié)點所使用的權(quán)值，以使估計值的最小均方偏差最小化。文獻(xiàn)[15]研究了多個條件約束的凸優(yōu)化子問題的解決方案的分布式估計，構(gòu)造了一個最大似然估計器，采用乘數(shù)交替方向法并結(jié)合塊坐標(biāo)下降法對問題進(jìn)行分解。文獻(xiàn)[16]提出了一種利用移動水平估計概念的算法，假設(shè)所觀察到的過程具有線性動態(tài)特性。分布式估計的另一種方法是基于非線性濾波，它采用自同步和耦合函數(shù)[17]，每個節(jié)點的估計值是由一個合適的非線性動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)提供的，而這種系統(tǒng)是通過適當(dāng)?shù)撵o態(tài)耦合函數(shù)耦合到其他一些節(jié)點的。

上述各種估計器很少針對傳感器網(wǎng)絡(luò)中受噪時變信號進(jìn)行跟蹤估計，或者存在估計值結(jié)果差等缺陷，對此，本文針對傳感器網(wǎng)絡(luò)中時變信號的跟蹤估計及這些估計器存在的不足，提出了新的分布式估計器。

1 問題構(gòu)建及分析

1.1 問題構(gòu)建

用diag(·)表示對角矩陣，即僅在對角線上有元素，用|·|表示求基數(shù)，用‖·‖表示求矩陣的譜范數(shù)。給定一個隨機(jī)變量x，用Ex表示它的數(shù)學(xué)期望，用1和I分別表示向量(1,…,1)T和單位矩陣。

考慮N1個傳感器節(jié)點，測量一個受加性噪聲影響的標(biāo)量信號d(t)得到：

ui(t)=d(t)+vi(t)i=1,…,N

(1)

式(1)中，vi(t)是零均值白噪聲。由全部變量構(gòu)成的向量可以寫為：

u(t)=d(t)1+v(t)

(2)

假設(shè)v(t)的協(xié)方差矩陣Σ是對角的，為簡單起見和不失一般性，選取Σ=2I，但結(jié)果在更一般和實際情況下也成立，即

把通信網(wǎng)絡(luò)建模為一個無向圖G=(V,E)，其中Ni={jV：(j,i)E}{i}為節(jié)點iV的鄰居加上節(jié)點i本身的集合，假設(shè)沒有消息丟失。

每個節(jié)點i計算信號d(t)的一個估計值xi(t)，采用相鄰估計值和測量值的線性組合：

(3)

采用向量表示，上式變?yōu)椋?/p>

x(t)=K(t)x(t-1)+H(t)u(t)

(4)

式(4)中，K(t)和H(t)可以看作是帶有時變權(quán)值的2個圖的鄰接矩陣。算法用xj(0)=ui(0)(jNj)初始化。

估計誤差e(t)=x(t)-d(t)1可以計算為：

e(t)=K(t)e(t-1)+d(t)(K(t)+H(t)-I)1-
δ(t)K(t)1+H(t)v(t)

(5)

式(5)中，δ(t)=d(t)-d(t-1)。估計誤差動態(tài)性關(guān)于隨機(jī)變量v(t)的期望值如下：

Ee(t)=K(t)Ee(t-1)+
d(t)(K(t)+H(t)-I)1-δ(t)K(t)1

(6)

假設(shè)1 假設(shè)(K(t)+H(t))1=1。

假設(shè)1是保證集中式估計誤差的收斂性的，是由Speranzon等得出的[7]，而且在本文的情況下也同樣成立。另外，如果H(t)1=1，則估計誤差的期望值收斂到0，因而估計誤差是無偏的；否則，如果d(t)是慢時變的(也就是δ(t)是有界的)，那么‖Ee(t)‖在原點的鄰域上也趨于有界值。這樣，如果考慮第i個節(jié)點，則估計誤差的期望值可以以分布式方式計算如下：

(7)

式(7)中,εi(t)為收集節(jié)點i上的可用估計誤差，并根據(jù)它們的指標(biāo)排序：

εi=(ei1,…,eiMi)Ti1<…

(8)

(9)

(10)

式(10)中，0≤ρi≤1，P1=Eei(t)是估計誤差的偏差項，P2=E(ei(t)-Eei(t))2是估計誤差的方差項。這個問題可以通過每個節(jié)點i以分布式方式求解。把它重寫為：

(11)

式(11)中，

(12)

命題1.1：對于一個給定的正定矩陣Θi(t)，該最優(yōu)化問題的解為：

(13)

(14)

證明：因為這個問題是凸的，且Slater條件成立，則Karush-Kuhn-Tucker(KKT)條件對于最優(yōu)化是充分必要條件：

(15)

(16)

只需求解由KKT條件所確定的方程組，就可以得到閉形式的解。

1.2 帕累托參數(shù)的選取

(17)

值得注意的是，如果將Pareto參數(shù)設(shè)置為ρi=1，結(jié)果表明只有偏差被最小化，而最優(yōu)成本函數(shù)為：

(18)

如果將Pareto參數(shù)設(shè)置為ρi=0，結(jié)果表明方差被最小化，最優(yōu)成本函數(shù)為：

(19)

顯然，帕累托參數(shù)可以基于所需的特點來設(shè)置。下一節(jié)將表明如何通過適當(dāng)設(shè)置這個參數(shù)來確定偏差的界限。

1.3 偏差上限分析

通過定義下列全局約束條件，就可以確定偏差界限：

γmax(K(t))≤f(Δ,γ)

(20)

式(20)中，γmax(K(t))表示矩陣K(t)的最大奇異值，γ表示信噪比，Δ是信號導(dǎo)數(shù)的上界，且：

(21)

當(dāng)下列局部約束條件成立時，這個全局約束條件就成立：

‖κi‖2≤ψi

(22)

式(22)中，ψi0是一個合適的常數(shù)標(biāo)量，可以進(jìn)行局部計算[7]。這個新的約束條件確保估計誤差的穩(wěn)定性，即使它在一般情況下得到一個與集中式解不同的分布式解?？紤]到偏差界限，問題(11)可以重新構(gòu)建如下：

(23)

(24)

式(24)中最后兩個條件是從拉格朗日算子得到的：

(25)

通過將這兩個KKT條件與第二個條件相結(jié)合，就得到最優(yōu)值：

(26)

(27)

(28)

而且通過選取

(29)

第四個KKT條件就是滿足的?？梢钥吹?，通過設(shè)置一個合適的帕累托參數(shù)ρi值，并保持式(13)和式(14)的結(jié)果，就可以對偏差確定一個合適的界限。

2 估計器及分布式估計算法

2.1 估計器結(jié)構(gòu)

現(xiàn)在來分析如何實現(xiàn)估計器。本文考慮信號是分量方向準(zhǔn)平穩(wěn)的。由于式(4)的時變線性系統(tǒng)是一致有界輸入-有界輸出穩(wěn)定的，則x(t)也是準(zhǔn)平穩(wěn)的，因此均值Eεi=mεi(t)和協(xié)方差矩陣Γi(t)可以從樣本進(jìn)行估計如下：

(30)

(31)

(32)

式(32)中，向量xi(t-1)=[xi1(t-1),…,xiMi(t-1)]T(其中{i1,…,iMi}∈Ni)收集估計值，ui(t)=[ui1(t),…,uiMi(t)]T收集相鄰測量值。

(33)

式(32)的解為：

(34)

(35)

圖1所示為本文提出的估計器實現(xiàn)框圖。

2.2 分布式估計算法

算法1 傳感器網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點i的估計算法偽代碼

1.t=0

5.計算ρi

7.xi(0)=ui(0)

8.while|ψi(t)-ψi(t-1)|≥10-10do

9.Mi=|Ni|

10.t=t+1

11.收集估計值xi(t-1)=[xi1(t-1),…,xiMi(t-1)]T,且{i1,…,iMi}∈Ni

12.收集測量值ui(t)=[xi1(t),…,xiMi(t)]T，且{i1,…,iMi}∈Ni

13.計算ρi

16.xi(t)=κi(t)Txi(t-1)+ηi(t)Tui(t)

25.end while

2.3 計算復(fù)雜度分析

3 估計器性能仿真結(jié)果及分析

為了驗證本文提出的分布式估計器EP的有效性，我們與下列4種估計器進(jìn)行比較：

1)E1：K=H=(I-L)/2，其中L是與無向圖圖G相關(guān)聯(lián)的拉普拉斯矩陣；

2)E2：K=0且H=[ηij]，如果節(jié)點i和j之間通信，ηij=1/Mi，否則，ηij=0，這將得到測量值的平均值；

3)E3：K=[κij]，這里，κii=1/2Mi，如果節(jié)點i和j之間通信，κij=1/Mi，否則，κij=0，而H=[ηij]且ηii=1/2Mi，其他ηij=0。這將得到先前的估計值和節(jié)點的單個測量值的平均值；

4)E4：K=H且如果節(jié)點i和j之間通信，且i=j。這將得到先前的測量值和全部局部測量值的平均值。

圖2所示為一組跟蹤測試信號d1(t),d2(t),d3(t),d4(t)和d5(t)，這組信號有不同的頻率，把它們作為基準(zhǔn)估計。假設(shè)已知這些信號Δ的一個上界，把Δ設(shè)置為比每個信號的實際值大10%，并選擇平均信噪比為γ=1。

下面來分析G35上的分布式估計器得到的信號跟蹤估計仿真結(jié)果。圖3所示為對于d2(t)全部節(jié)點得到的仿真結(jié)果。

顯然，從圖3(a)可見，要跟蹤估計的測量值是相當(dāng)嘈雜的，受噪聲影響很大。從圖3(b)—3(f)可見，全部估計器E1,…,E4和本文提出的分布式估計器EP都能夠跟蹤信號，但它們的跟蹤估計質(zhì)量有很大的差別。很明顯，E1和E2的質(zhì)量最差，而本文提出的分布式估計器EP有最好的性能。E1,…,E4之間的相對性能差別很明顯，如E2簡單地采取測量值求平均，而E4是對測量值和估計值求平均，所以E4是優(yōu)于E2的，而通過適當(dāng)?shù)剡x取帕累托參數(shù)，本文所提出的分布式估計器EP得到了最好的跟蹤估計性能。

圖2 數(shù)值仿真中采用的跟蹤測試信號Fig.2 Tracking test signal used in numerical simulation

圖3 不同估計器對于信號d2(t)在每個節(jié)點上的N=35個跟蹤實現(xiàn)Fig.3 Implementation of N=35 tracking at each node for each estimator and for the signal d2(t)

為了研究本文提出的分布式估計器EP的估值性能，我們考慮每個節(jié)點的估計值的均方誤差(Mean Square Error,MSE)。由于每個估計器都有一個初始過渡階段，仿真中計算出了70步后的均方誤差，并將網(wǎng)絡(luò)的全部節(jié)點上的均方誤差求平均值，把得到的平均值表示為MSE。定義一個估值性能改進(jìn)因子μi，即采用本文提出的分布式估計器EP的估值性能MSE(EP)與其他4種估計器E1,…,E4的估值性能MSE(Ei)定義為：

(36)

表1所示為G25和G35關(guān)于全部跟蹤測試信號d1(t),d2(t),d3(t),d4(t)和d5(t)得到的MSE和μi。從表1可見，本文提出的分布式估計器EP在全部情況下的估值性能都優(yōu)于其他4種估計器。具體來說，EP的估值性能至少提高了15%，最高高達(dá)85%；而E1較差的性能，主要是E1對節(jié)點的本地估計值和測量值的權(quán)值通常比從其鄰居接收的估計值和測量值的權(quán)值要大，因為網(wǎng)絡(luò)是同質(zhì)的，所以性能較差；還可看到，當(dāng)跟蹤測試信號頻率較高時，EP的性能改善不算太明顯，其原因在于，EP估計器總是試圖保持最低的偏差，但是以付出更高的估計誤差的方差為代價的。

表1 不同估計器的估值性能MSE和改進(jìn)因子

續(xù)表

d3(t),Δ=0.040估計器類型N=25N=35MSEμiMSEμiE1:基于拉普拉斯矩陣E2:對u求平均E3:對x和ui求平均E4:對x和u求平均EP:本文提出的估計器0.4420.6620.3300.3670.22449.0%65.8%31.5%38.4%0.4570.5720.3910.3150.18659.4%67.6%52.5%41.2%d4(t),Δ=0.033估計器類型N=25N=35MSEμiMSEμiE1:基于拉普拉斯矩陣E2:對u求平均E3:對x和ui求平均E4:對x和u求平均EP:本文提出的估計器0.4440.6630.2400.3700.17061.8%74.3%28.8%53.8%0.4470.5640.2560.3080.15066.4%73.4%41.3%51.2%d5(t),Δ=0.000估計器類型N=25N=35MSEμiMSEμiE1:基于拉普拉斯矩陣E2:對u求平均E3:對x和ui求平均E4:對x和u求平均EP:本文提出的估計器0.4360.6560.1950.3580.11473.9%83.8%41.6%68.2%0.4460.5600.1500.3050.08081.0%85.0%44.0%72.0%

4 結(jié)論

本文提出了一種新的用于跟蹤傳感器網(wǎng)絡(luò)中未知噪聲時變信號的分布式估計器。該估計器采用帕累托優(yōu)化問題，對濾波器系數(shù)進(jìn)行局部更新，以使估計誤差的方差和偏差最小化；提出的分布式估計器相比于現(xiàn)有的分布式跟蹤估計器，能更好地跟蹤傳感器網(wǎng)絡(luò)中由噪聲所損壞的未知時變信號，并能得到更好的估值結(jié)果。