瞿 慧，何佳諾

南京大學 工程管理學院，南京 210093

引言

2015年2月9日，中國第一只股票期權(quán)類產(chǎn)品——上證50ETF期權(quán)在上海證券交易所正式掛牌上市。首只場內(nèi)期權(quán)的推出標志著中國的期權(quán)交易正式進入實質(zhì)性操作階段，中國資本市場開始步入期權(quán)時代。期權(quán)作為金融衍生產(chǎn)品，具備雙刃劍作用。因此，其推出在豐富中國金融投資品種，為投資者提供價格發(fā)現(xiàn)、套利和套期保值工具的同時，也對期權(quán)定價的理論和實踐研究提出了迫切要求。

波動率是期權(quán)定價模型的核心參數(shù)，準確估計和預測波動率對期權(quán)定價性能至關(guān)重要。使用日數(shù)據(jù)的情況下，資產(chǎn)波動率無法觀測，因此大量研究采用自回歸條件異方差(GARCH)類模型或者隨機波動率(SV)模型對其間接建模預測。這些模型使用日收益率通過復雜的參數(shù)估計預測未來波動率，損失了日內(nèi)資產(chǎn)價格變動的豐富信息，因而限制了對波動率的預測。近10年來，日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)的日益可得為金融資產(chǎn)波動率的估計、建模和預測提供了新的手段。利用高頻收益可以構(gòu)建非參數(shù)的已實現(xiàn)波動率，使波動率從隱變量轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢灾苯咏５目捎^測變量。已實現(xiàn)波動率蘊含了日內(nèi)收益波動更豐富的信息，對波動的估計更為準確；其模型估計簡單并具備比低頻模型更優(yōu)的預測性能，因此受到越來越多的關(guān)注。CORSI et al.[1]將已實現(xiàn)波動率用于期權(quán)定價，為其構(gòu)建帶杠桿的異質(zhì)自回歸伽馬(heterogeneous autoregressive gamma with leverage, HARGL)模型，并實證得出該模型比常用的低頻GARCH類模型有顯著更強的S&P 500期權(quán)定價能力；MAJEWSKI et al.[2]在HARGL模型基礎(chǔ)上引入異質(zhì)杠桿，進一步提升了對S&P 500期權(quán)的定價能力。

目前，對50ETF期權(quán)定價的研究還相對較少，尚未有研究將已實現(xiàn)波動率用于50ETF期權(quán)的定價研究中。鑒于此，提出將CORSI et al.[1]和MAJEWSKI et al.[2]的兩種異質(zhì)自回歸伽馬模型用于50ETF期權(quán)的定價并檢驗其精度。進一步的，考慮到日內(nèi)價格上行、下行風險對未來已實現(xiàn)波動可能具有不同影響，分別利用日內(nèi)正、負高頻收益率計算已實現(xiàn)正、負半差，相應改進提出區(qū)分正、負半差貢獻的兩種異質(zhì)自回歸伽馬模型，并實證檢驗引入正、負半差對于50ETF期權(quán)定價性能的意義。

1 相關(guān)研究評述

ANDERSEN et al.[3]認為，采用日內(nèi)對數(shù)收益率平方和計算的已實現(xiàn)波動率是對日波動的精確測量。然而實際高頻數(shù)據(jù)可能受到買賣價差、最小報價變動單位、價格漲跌限制、交易信息不對稱等市場微觀結(jié)構(gòu)噪聲的影響，從而導致已實現(xiàn)波動率有偏[4]。針對這一問題， ZHANG et al.[5]提出雙尺度已實現(xiàn)波動率，BARNDORFF-NIELSEN et al.[6]提出已實現(xiàn)核，都通過合理“糾偏”實現(xiàn)對噪聲的穩(wěn)健。此外，學者們研究發(fā)現(xiàn)，金融資產(chǎn)收益率在日內(nèi)近似連續(xù)的時間內(nèi)有可能出現(xiàn)突然性大幅變動，此時已實現(xiàn)波動率可以細分為具有不同統(tǒng)計特征的連續(xù)波動和跳躍兩部分。BARNDORFF-NIELSEN et al.[7]提出的已實現(xiàn)雙冪次變差，CORSI et al.[8]提出的門限雙冪次變差，CHRISTENSEN et al.[9]提出的基于分位數(shù)的已實現(xiàn)波動，以及ANDERSEN et al.[10]采用近鄰截斷方法構(gòu)建的已實現(xiàn)最小值波動率和已實現(xiàn)中值波動率，都是跳躍穩(wěn)健的連續(xù)波動估計量。BARNDORFF-NIELSEN et al.[11]利用已實現(xiàn)波動率和已實現(xiàn)雙冪次變差構(gòu)建正態(tài)分布跳躍檢驗統(tǒng)計量的方法(BNS方法)，是識別資產(chǎn)價格顯著跳躍的常用方法。需要指出的是，由于大多數(shù)股票都只在交易日的部分時段內(nèi)進行交易，因此上述用日內(nèi)高頻價格構(gòu)建的已實現(xiàn)估計量并不能無偏估計全天(24小時)的波動，需要進行尺度調(diào)整[12]。

為了較好地刻畫已實現(xiàn)波動率的長記憶性，部分學者使用自回歸分整移動平均模型對其建模預測，在對股票指數(shù)波動[13]和個股波動[14]的實證預測中都取得較好的樣本外績效。然而，分整僅是一個方便的數(shù)學技巧，缺乏明確的經(jīng)濟詮釋。CORSI[15]基于異質(zhì)市場假說提出已實現(xiàn)波動率的異質(zhì)自回歸(heterogeneous autoregressive,HAR)模型。該假說認為市場由具有不同交易頻率的投資者組成，市場波動是各投資者交易活動的共同結(jié)果，因此HAR模型將不同期限的已實現(xiàn)波動率作為回歸自變量。雖然本身不是長記憶模型，但HAR模型較好地刻畫了波動的長記憶性，并且具有較優(yōu)的預測性能，因此得到較多的應用和拓展。在針對中國市場的研究中，學者們實證HAR類模型比GARCH類模型的預測性能具有的優(yōu)勢，并通過改進波動估計量[16-17]、引入隔夜收益[18]、聯(lián)跳[19]或者中國波指[20]等外生變量，引入結(jié)構(gòu)突變因素[21-22]、引入馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移[23-24]、優(yōu)化時間尺度結(jié)構(gòu)[25]、允許時變參數(shù)[26]等方式，有效提升HAR類模型對中國金融波動率的預測能力。

將已實現(xiàn)波動率用于期權(quán)定價的研究還比較少。CHRISTOFFERSEN et al.[27]在HESTON et al.[28]的GARCH模型中引入高頻數(shù)據(jù)估計的已實現(xiàn)波動率，改進GARCH期權(quán)定價模型的性能。但他們只是把已實現(xiàn)波動率作為GARCH模型的輔助變量，并沒有為已實現(xiàn)波動率構(gòu)建預測模型。另外，部分學者對已實現(xiàn)波動率直接建模，用于期權(quán)定價。STENTOFT[29]構(gòu)建已實現(xiàn)波動率的逆高斯模型，用于美國公司個股期權(quán)的定價；ALLEN et al.[30]構(gòu)建已實現(xiàn)波動率的雙重非對稱異質(zhì)自回歸模型，JOU et al.[31]構(gòu)建已實現(xiàn)波動率的對數(shù)異質(zhì)自回歸模型，用于S&P 500期權(quán)的定價。以上研究都取得了較傳統(tǒng)GARCH模型更好的期權(quán)定價效果。部分學者還進一步比較不同已實現(xiàn)估計量在期權(quán)定價中的適用性，BANDI et al.[32]采用自回歸分整移動平均模型，比較了不同已實現(xiàn)估計量用于S&P 500期權(quán)定價和跨式套利交易的效果；UBUKATA et al.[33]采用對數(shù)自回歸分整移動平均模型和對數(shù)異質(zhì)自回歸模型，比較不同已實現(xiàn)估計量用于NIKKEI 225期權(quán)定價的效果。需要指出的是，上述利用已實現(xiàn)波動率模型進行期權(quán)定價的研究，都假設(shè)真實測量與風險中性測量下的已實現(xiàn)波動率模型參數(shù)完全一致(即波動風險未被定價)，沒有對模型的參數(shù)估計進行測量轉(zhuǎn)換。然而，本研究的實證分析表明，這一假設(shè)在中國市場并不成立。

CORSI et al.[1]為已實現(xiàn)波動率構(gòu)建了帶杠桿的異質(zhì)自回歸伽馬(HARGL)模型，并給出模型參數(shù)從真實測量到風險中性測量的轉(zhuǎn)換公式。HARGL模型假設(shè)已實現(xiàn)波動率具有非中心伽馬分布，在CORSI[15]的HAR模型中引入對滯后一日收益的杠桿，建模伽馬分布的位置參數(shù)。由于基于高頻數(shù)據(jù)的已實現(xiàn)波動率能夠迅速捕獲波動水平的變化，疊加異質(zhì)波動成分的HAR模型較好地刻畫了波動的長記憶性，杠桿因子一定程度上刻畫了正、負收益對波動的非對稱影響，HARGL模型比常用的低頻GARCH類模型取得了顯著更強的S&P 500期權(quán)定價能力。此后，MAJEWSKI et al.[2]借鑒CORSI et al.[34]在HAR模型中引入異質(zhì)杠桿效應的思想，為已實現(xiàn)波動率構(gòu)建了帶異質(zhì)杠桿的異質(zhì)自回歸伽馬(heterogeneous autoregressive gamma with heterogeneous leverage,HARGHL)模型，并實證對S&P 500期權(quán)定價能力的進一步提升。然而，這兩個模型引入的僅是日尺度或者更長時間尺度上的杠桿效應，對日內(nèi)杠桿效應[35]未能考慮。

中國50ETF期權(quán)已推出兩年有余，但對50ETF期權(quán)的定價研究還相對較少。對50ETF期權(quán)定價方法的主要改進，包括王鵬等[36]和楊興林等[37]在Black-Scholes期權(quán)定價模型框架下，通過引入時變波動率并修正正態(tài)分布假設(shè)，實現(xiàn)了對50ETF看漲期權(quán)定價精度的提升；郝夢等[38]建立廣義雙曲分布下的GARCH模型進行蒙特卡洛模擬定價，在50ETF看漲期權(quán)定價精度上比Black-Scholes模型和正態(tài)分布下GARCH模型均有所提升。此外，周玉琴等[39]和駱樺等[40]實證研究了機器學習算法在50ETF看漲期權(quán)定價中的有效應用。需要指出的是，目前尚未有研究將基于高頻數(shù)據(jù)的已實現(xiàn)波動率用于50ETF期權(quán)的定價模型中。此外，上述研究僅采用50ETF看漲期權(quán)的價格，期權(quán)樣本期也都較短，缺乏對兩年來50ETF期權(quán)完整價格數(shù)據(jù)的全面實證分析，也無法區(qū)分模型對不同實虛值狀態(tài)、不同到期時間看漲和看跌期權(quán)的定價能力。

因此，本研究提出全面運用50ETF期權(quán)正式交易起逾兩年的價格數(shù)據(jù)，進一步細分期權(quán)類型、實虛值狀態(tài)和到期時間，實證分析CORSI et al.[1]的HARGL模型對50ETF期權(quán)的定價能力以及MAJEWSKI et al.[2]引入異質(zhì)杠桿的改進對模型期權(quán)定價性能的意義。此外，考慮到日內(nèi)價格上行、下行風險對未來已實現(xiàn)波動具有不同影響，提出利用日內(nèi)正、負對數(shù)收益率平方和計算已實現(xiàn)正、負半差，并將已實現(xiàn)正、負半差引入伽馬分布位置參數(shù)的HAR模型中，相應構(gòu)建區(qū)分正、負半差貢獻的HARGL-S模型和HARGHL-S模型，實證檢驗引入正、負半差對50ETF期權(quán)定價性能的改進。期望通過使用較完整數(shù)據(jù)的細致實證和比較，為50ETF期權(quán)的投資者和監(jiān)管機構(gòu)提供更準確的期權(quán)定價方法，促進中國期權(quán)市場穩(wěn)步發(fā)展。

2 模型和方法

2.1 已實現(xiàn)估計量的構(gòu)建

采用對市場微觀結(jié)構(gòu)噪聲較為穩(wěn)健的已實現(xiàn)核(realized kernel,RK)[6]作為資產(chǎn)價格波動的估計量。具體的，令M為金融資產(chǎn)高頻價格的日內(nèi)采樣間隔數(shù)，rt,i為t日第i個采樣間隔內(nèi)的對數(shù)收益率，i=1,2,...,M，t=1,2,...,T。該金融資產(chǎn)t日的已實現(xiàn)核為

(1)

采用對日內(nèi)波動水平變化和高頻價格噪聲都較為穩(wěn)健的已實現(xiàn)中值波動率(median realized volatility,MedRV)[10]作為連續(xù)波動的估計量，有

(2)

其中，MedRVt為金融資產(chǎn)t日的已實現(xiàn)中值波動率，median(· )為取中位數(shù)的函數(shù)，rt,i-1為t日第(i-1)個采樣間隔內(nèi)的對數(shù)收益率，rt,i+1為t日第(i+1)個采樣間隔內(nèi)的對數(shù)收益率，π為圓周率。在此基礎(chǔ)上，采用BNS 方法[11]識別價格的顯著跳躍，即構(gòu)建標準正態(tài)分布統(tǒng)計量為

(3)

其中，Zt為標準正態(tài)分布統(tǒng)計量，max(· )為取最大值的函數(shù)，MedRQt為利用近鄰截斷方法得到的積分4 次冪估計量[10]，有

(4)

當標準正態(tài)分布統(tǒng)計量超出標準正態(tài)分布置信水平處的臨界值時，可判斷t日發(fā)生顯著價格跳躍，得出t日顯著價格跳躍的估計值JVt，JVt=I(Zt>Φα)(RKt-MedRVt)，I(· ) 為示性函數(shù)，Φα為標準正態(tài)分布置信水平α(如99%) 處的臨界值。相應的將t日連續(xù)波動估計為CVt，CVt=I(Zt≤Φα)RKt+I(Zt>Φα)MedRVt。在此基礎(chǔ)上，借鑒CORSI et al.[1]濾除波動跳躍的方法，以200天滾動窗口中計算的4倍標準差作為門限值，濾除CVt序列中的極端觀測值(波動跳躍)，得到連續(xù)波動序列，記作Ct。

最后，針對已實現(xiàn)估計量的計算只用到交易時段高頻收益率而忽略隔夜收益的問題，采用HANSEN et al.[12]的比例調(diào)整法，對Ct乘以一個常數(shù)c，使其樣本均值和日收益率的樣本方差相等，從而構(gòu)建覆蓋全天24小時的已實現(xiàn)波動估計量，記作RVt，即

(5)

2.2 期權(quán)定價模型

CORSI et al.[1]的HARGL模型假設(shè) (t+1)日對數(shù)收益率Rt+1具有如下動態(tài)，即

(6)

假設(shè)RVt+1具有非中心伽馬分布，即

RVt+1|Ft～Γ[δ,β(HARGL)(RVt,Lt),cΓ]

(7)

(8)

其中，β1、β2、β3、α1為參數(shù)，β1測量日尺度已實現(xiàn)波動對未來波動的影響，β2測量周尺度已實現(xiàn)波動對未來波動的影響，β3測量月尺度已實現(xiàn)波動對未來波動的影響，α1測量日杠桿效應對未來波動的影響。

鑒于CORSI et al.[34]的研究指出了在已實現(xiàn)波動HAR模型中引入異質(zhì)杠桿的重要性，MAJEWSKI et al.[2]在HARGL模型中引入異質(zhì)杠桿，將其伽馬分布位置參數(shù)的預測模型修改為

(9)

(10)

同時引入異質(zhì)杠桿效應和已實現(xiàn)正、負半差的HARGHL-S模型的伽馬分布位置參數(shù)模型為

(11)

采用極大似然法對HARGL、HARGHL、HARGL-S和HARGHL-S模型進行估計。以HARGHL-S模型為例，其對數(shù)似然函數(shù)的級數(shù)展開形式為

(12)

2.3 測量轉(zhuǎn)換和蒙特卡洛模擬定價

上述模型都是在真實測量下觀測和估計的，刻畫的是真實測量下資產(chǎn)收益和波動的動態(tài)特征。但是期權(quán)的蒙特卡洛模擬定價，要求在風險中性測量下模擬標的資產(chǎn)的價格路徑。CORSI et al.[1]已證明，在風險中性測量下，已實現(xiàn)波動仍然可以用HARGL模型刻畫，僅需進行適當參數(shù)轉(zhuǎn)換。MAJEWSKI et al.[2]也證明，風險中性測量下，已實現(xiàn)波動仍然可以用HARGHL模型刻畫，僅需進行適當參數(shù)轉(zhuǎn)換。類似的，本研究也證明得到，風險中性測量下，已實現(xiàn)波動仍然可以用HARGL-S模型和HARGHL-S模型刻畫，僅需進行如下參數(shù)轉(zhuǎn)換，即

(13)

3 數(shù)據(jù)和期權(quán)定價實證

3.1 數(shù)據(jù)處理

中國的第一只股票期權(quán)——50ETF期權(quán)于2015年2月9日正式上市交易。因此，選取2015年2月9日之后(包括2月9日)上市，且于2017年4月18日之前(包括4月18日)到期的所有期權(quán)作為實證對象，數(shù)據(jù)來源是Wind資訊金融終端。一共包括812只期權(quán)，其中看漲期權(quán)和看跌期權(quán)各406只。使用這些期權(quán)的所有收盤價作為實證數(shù)據(jù)，共涉及期權(quán)合約收盤價數(shù)據(jù)57 564條。

與CORSI et al.[1]的研究類似，對期權(quán)數(shù)據(jù)進行如下篩選：

(1)由于期權(quán)在臨近到期日時具有的時間價值較少，時常出現(xiàn)流動性匱乏的現(xiàn)象，也容易出現(xiàn)因大量投機行為導致的異常價格波動，因而剔除到期時間少于10天的期權(quán)價格觀測數(shù)據(jù)；

(2)根據(jù)期權(quán)類型、執(zhí)行價格、到期時間、存續(xù)期無風險利率、期權(quán)價格和標的資產(chǎn)價格，計算每一條觀測數(shù)據(jù)對應的Black-Scholes隱含波動率，當隱含波動率過大或為負時，被普遍認為是不符合市場規(guī)律的，因而剔除隱含波動率大于70%或者為NA值(無法計算得到)的觀測數(shù)據(jù)。

經(jīng)過上述數(shù)據(jù)篩選，最終剩余42 406條期權(quán)合約收盤價數(shù)據(jù)。其中，看漲期權(quán)20 478條，占48.290%；看跌期權(quán)21 928條，占51.710%。

日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)來源于Wind資訊金融終端。具體的，采用2015年2月9日至2017年4月18日共計530個交易日(已剔除發(fā)生熔斷的2016年1月4日和1月7日)的50ETF日內(nèi)1分鐘價格數(shù)據(jù)，計算已實現(xiàn)核RK；采用50ETF日內(nèi)5分鐘價格數(shù)據(jù)，計算已實現(xiàn)中值波動率MedRV和積分4 次冪估計量MedRQ；采用BNS方法在99%的置信水平下檢驗顯著跳躍，得到濾除價格跳躍的波動序列后，進一步用200天滾動窗內(nèi)計算的4倍標準差作為門限值，濾除波動跳躍(共剔除7天，約1.321%的數(shù)據(jù))；最后采用HANSEN et al.[12]的比例調(diào)整法，構(gòu)建RVt序列。

關(guān)于無風險利率r，選擇上海銀行間拆借利率(Shibor)。Shibor數(shù)據(jù)由全國銀行間同業(yè)拆借中心提供，可從Shirbor官網(wǎng)下載得到。每一天的Shibor數(shù)據(jù)共有8種可得的期限：隔夜、1 周、2 周、1 個月、3個月、6 個月、9 個月和1 年。具體的，在進行模型參數(shù)估計時，以每天的Shibor隔夜利率作為當天對應的無風險利率；在計算Black-Scholes隱含波動率時，存續(xù)期無風險利率采用期限和期權(quán)到期時間一致的Shibor利率，并采用線性插值方法計算得到相鄰期限之間的Shibor利率，如用期限為1個月和3個月的利率插值得到期限為2個月的利率。

3.2 數(shù)據(jù)分析

圖1給出2015年2月9日至2017年4月18日的上證50ETF日收盤價的走勢圖(1(a))和Shibor隔夜利率的走勢圖(1(b))?？梢钥吹剑?0ETF收盤價在2015年上半年的大牛市經(jīng)歷了巨幅增長，在2015年6月達到最高，隨后快速震蕩跌落，在2015年8月和2016年1月有兩次觸底。Shibor隔夜利率在2015年3月至6月期間發(fā)生大幅下調(diào)，此后略有回升并相對較為穩(wěn)定。

(a)上證50ETF收盤價

(b)Shibor隔夜利率

圖150ETF收盤價和Shibor隔夜利率時間序列圖
Figure 1Time Series Plots of 50ETF Close Prices and Shibor Overnight Rates

(a)Rt 的Q-Q圖

圖2 50ETF對數(shù)日收益率正態(tài)性檢驗Q-Q圖Figure 2 Normality Test Q-Q Plots of 50ETF Logarithmic Daily Returns

表2 50ETF已實現(xiàn)波動估計量的描述性統(tǒng)計結(jié)果Table 2 Results for Descriptive Statistics of 50ETF Realized Volatility Estimator

表2給出本研究構(gòu)建的已實現(xiàn)波動估計量RVt的描述性統(tǒng)計。表2中，LB(5)、LB(10)、LB(20)分別為滯后5階、10階、20階的Ljung-Box Q統(tǒng)計量的p值。ADF檢驗表明，本研究構(gòu)建的已實現(xiàn)波動是一個平穩(wěn)序列；3個Ljung-Box Q統(tǒng)計量表明5階、10階和20階不相關(guān)的原假設(shè)都被顯著拒絕，已實現(xiàn)波動具有長記憶性。

為了更細致地分析各模型對50ETF期權(quán)的定價性能，根據(jù)期權(quán)類型、實虛值狀態(tài)和到期時間進行分類。首先，將期權(quán)合約價格數(shù)據(jù)按照到期時間τ分為4類：①超短期：τ≤30；②短期：30 <τ≤60；③中期：60 <τ≤120；④長期：τ>120。

表3 看漲和看跌期權(quán)根據(jù)實虛值狀態(tài)和到期時間分類的觀測數(shù)和平均隱含波動率Table 3 Number of Observations and Average Implied Volatility for Call and Put Options Sorted by Moneyness and Maturity Categories

表3分為看漲期權(quán)和看跌期權(quán)兩部分，表中數(shù)據(jù)為相應類別下的期權(quán)合約價格觀測數(shù)，括號內(nèi)數(shù)據(jù)為相應類別下所有期權(quán)Black-Scholes隱含波動率的平均值。例如，看漲期權(quán)中的423(0.449)，表示共有423個超短期(τ≤30)、深度實值看漲期權(quán)(u≤0.900)價格觀測值，這些期權(quán)的Black-Scholes隱含波動率平均值為0.449。由表3可知，無論是看漲期權(quán)還是看跌期權(quán)，無論期權(quán)的到期時間是短或長，隱含波動率都表現(xiàn)出非常明顯的“波動率微笑”特征，即平值期權(quán)的隱含波動率較小，實值和虛值期權(quán)的隱含波動率較大。

3.3 模型估計結(jié)果分析

表4 4個模型的參數(shù)估計結(jié)果Table 4 Parameter Estimation Results for the Four Models

分析表4的參數(shù)估計結(jié)果發(fā)現(xiàn)：

(2)HARGL模型(第2列)的日、周、月已實現(xiàn)波動回歸量系數(shù)均顯著為正，而且逐漸減小，表明已實現(xiàn)波動過去值對現(xiàn)值的貢獻程度隨時間窗口的推遠而逐漸減弱；

(3)HARGHL模型(第3列)的杠桿效應參數(shù)ω顯著為正，且日、周、月杠桿系數(shù)均顯著為正，表明50ETF波動存在顯著的異質(zhì)杠桿效應，利空消息比利好消息對未來波動的影響明顯更大；

(4)HARGL-S模型(第4列)的已實現(xiàn)正半差系數(shù)均不顯著，日、周已實現(xiàn)負半差系數(shù)均顯著為正，且逐漸減小，表明50ETF波動存在顯著的日內(nèi)非對稱性，日內(nèi)價格下行風險對未來已實現(xiàn)波動的影響明顯更大，而已實現(xiàn)負半差對波動的貢獻隨時間窗的推遠而減弱；

(5)HARGHL-S模型(第5列)表現(xiàn)出與HARGL-S模型一致的日內(nèi)非對稱性，然而相對于同樣引入異質(zhì)杠桿的HARGHL模型，其杠桿效應參數(shù)ω并不顯著，表明正、負半差和異質(zhì)杠桿在對未來波動的影響方面可能有部分重疊。

(6)比較4個模型的對數(shù)似然值可以發(fā)現(xiàn)，引入異質(zhì)杠桿的HARGHL模型和引入已實現(xiàn)正、負半差的HARGL-S模型比HARGL模型的擬合程度都有所提升，而同時引入異質(zhì)杠桿和已實現(xiàn)正、負半差的HARGHL-S模型則具有最好的擬合程度。

3.4 期權(quán)定價性能比較

與CORSI et al.[1]和MAJEWSKI et al.[2]一致，選擇模型在期權(quán)價格上的均方根誤差(RMSEP)和模型在隱含波動率上的均方根誤差(RMSEIV)作為評價期權(quán)定價性能的指標，兩者定義為

(14)

表5 4個模型對看漲和看跌期權(quán)定價的總體表現(xiàn)Table 5 Overall Option Pricing Performance for Call and Put Options of the Four Models

由表5可知，無論是RMSEP指標還是RMSEIV指標，HARGHL模型、HARGL-S模型和HARGHL-S模型對期權(quán)定價的總體表現(xiàn)都優(yōu)于基礎(chǔ)的HARGL模型(均方根誤差比例值都小于1)，因此引入異質(zhì)杠桿和正、負半差均可以提高模型的期權(quán)定價能力。其中，對于看漲期權(quán)，在RMSEP指標下，同時引入正、負半差和異質(zhì)杠桿的HARGHL-S模型最優(yōu)，僅引入正、負半差的HARGL-S模型稍次之，均方根誤差與HARGL模型相應誤差的比例分別為0.892和0.897；在RMSEIV指標下，引入正、負半差的HARGL-S模型最優(yōu)，同時引入正、負半差和異質(zhì)杠桿的HARGHL-S模型稍次之，均方根誤差與HARGL模型相應誤差的比例分別為0.862和0.880。因此，引入正、負半差對于看漲期權(quán)的定價性能提升較為明顯。對于看跌期權(quán)，在RMSEP和RMSEIV指標下，同時引入正、負半差和異質(zhì)杠桿的HARGHL-S模型都是最優(yōu)的，均方根誤差與HARGL模型相應誤差的比例分別為0.806和0.805；而引入異質(zhì)杠桿的HARGHL模型稍次之，誤差減少幅度也都達到15%以上?？梢哉J為引入異質(zhì)杠桿對于看跌期權(quán)的定價性能改善發(fā)揮了更重要作用。另外，同時引入正、負半差和異質(zhì)杠桿的HARGHL-S模型在RMSEP指標和RMSEIV指標下，對看漲期權(quán)和看跌期權(quán)基本都有最好的總體定價表現(xiàn)，因此是50ETF期權(quán)定價的首選模型。

為了更細致地分析模型對不同類型期權(quán)的定價能力，表6和表7分別給出根據(jù)實虛值狀態(tài)和到期時間對看漲期權(quán)和看跌期權(quán)進行劃分后，4個模型對各類別期權(quán)的定價誤差，分為期權(quán)價格均方根誤差和隱含波動率均方根誤差兩部分。在每個部分，依次列出HARGL模型對各類期權(quán)定價的均方根誤差，以及HARGHL模型、HARGL-S模型和HARGHL-S模型相對于HARGL模型的表現(xiàn)。與表5類似，表現(xiàn)值小于1說明該模型優(yōu)于HARGL模型。表5中根據(jù)期權(quán)定價總體表現(xiàn)判定為最優(yōu)的模型，表6和表7也相應用粗體標出。

由表6可知，引入已實現(xiàn)正、負半差對看漲期權(quán)定價性能的改善，主要體現(xiàn)在非深度實值(u>0.900)的超短期和短期(τ≤30，30 <τ≤60)看漲期權(quán)上。例如，在期權(quán)價格均方根誤差部分的HARGL-S/HARGL價格誤差中，除u≤0.900那行外，第2列和第3列的值都不超過0.793，表明當用于非深度實值的超短期和短期看漲期權(quán)定價時，與HARGL模型的RMSEP相比，HARGL-S模型的RMSEP減小幅度都在20% 以上；同樣，在HARGHL-S/HARGL價格誤差中，除u≤0.900那行外，第2列和第3列的值都不超過0.826，表明當用于非深度實值的超短期和短期看漲期權(quán)定價時，與HARGL模型的RMSEP相比，HARGHL-S模型的RMSEP減小幅度都在17%以上。在隱含波動率均方根誤差部分，隱含波動率誤差也有與上述基本一致的分析，

表6 4個模型對看漲期權(quán)定價表現(xiàn)根據(jù)實虛值狀態(tài)和到期時間的分類比較Table 6 Call Option Pricing Performance of the Four Models Sorted by Moneyness and Maturity Categories

表7 4個模型對看跌期權(quán)定價表現(xiàn)根據(jù)實虛值狀態(tài)和到期時間的分類比較Table 7 Comparisons on Put Option Pricing Performance of the Four Models Sorted by Moneyness and Maturity Categories

由于篇幅的限制不再一一列出。

由表7可知，引入異質(zhì)杠桿對看跌期權(quán)定價性能的改善，主要體現(xiàn)在非深度實值(u≤1.100)的超短期和短期(τ≤30，30 <τ≤60)看跌期權(quán)上。例如，在期權(quán)價格均方根誤差部分的HARGHL/HARGL價格誤差中，除u>1.100那行外，第2列和第3列的值都不超過0.804，最小值為0.583，表明當用于非深度實值的超短期和短期看跌期權(quán)定價時，與HARGL模型的RMSEP相比，HARGHL模型的RMSEP減小幅度都在19.600%以上，最大可達41.700%；在HARGHL-S/HARGL價格誤差中，除u>1.100那行外，第2列和第3列的值都不超過0.794，最小值為0.517，表明當用于非深度實值的超短期和短期看跌期權(quán)定價時，與HARGL模型的RMSEP相比，HARGHL-S模型的RMSEP減小幅度都在20.600%以上，最大可達48.300%。隱含波動率均方根誤差部分的隱含波動率誤差也有與上述基本一致的分析，由于篇幅的限制不再一一列出。

4 結(jié)論

本研究探索基于高頻數(shù)據(jù)的已實現(xiàn)波動率在50ETF期權(quán)定價中的運用。假設(shè)已實現(xiàn)波動調(diào)整后的對數(shù)日收益率具有正態(tài)分布，已實現(xiàn)波動的條件分布為非中心伽馬分布。首先，構(gòu)建HARGL模型[1]刻畫伽馬分布的位置參數(shù)；其次，在位置參數(shù)模型中引入異質(zhì)杠桿，構(gòu)建HARGHL模型[2]；最后，考慮到日內(nèi)價格上行、下行風險對未來已實現(xiàn)波動可能具有不同影響，提出在位置參數(shù)模型中引入已實現(xiàn)正、負半差，將上述兩個模型相應改進為HARGL-S模型和HARGHL-S模型。

使用2017年4月18日之前到期的所有50ETF期權(quán)合約及相應50ETF高頻價格數(shù)據(jù)進行實證，研究結(jié)果表明，①僅引入異質(zhì)杠桿或者僅引入已實現(xiàn)正、負半差都可以提高模型的擬合能力，而將兩者同時引入的HARGHL-S模型則具有最優(yōu)的擬合結(jié)果。②中國股市波動的風險溢酬顯著為正，有必要對波動率模型參數(shù)估計進行從真實測量到風險中性測量的轉(zhuǎn)換，以實現(xiàn)蒙特卡洛模擬法的期權(quán)定價。③在期權(quán)價格和隱含波動率誤差指標下，無論是對于看漲期權(quán)還是看跌期權(quán)，僅引入異質(zhì)杠桿的HARGHL模型、僅引入已實現(xiàn)正、負半差的HARGL-S模型，以及同時引入異質(zhì)杠桿和已實現(xiàn)正、負半差的HARGHL-S模型，都比基本的HARGL模型有更強的期權(quán)定價能力，其中HARGHL-S模型對50ETF期權(quán)的定價能力總體最優(yōu)。④引入已實現(xiàn)正、負半差對于看漲期權(quán)的定價性能提升較為明顯，主要體現(xiàn)在非深度實值超短期和短期看漲期權(quán)上；引入異質(zhì)杠桿對看跌期權(quán)的定價性能提升較為明顯，主要體現(xiàn)在非深度實值超短期和短期看跌期權(quán)上。

本研究將基于高頻數(shù)據(jù)的已實現(xiàn)波動率運用于50ETF期權(quán)定價，研究成果為投資者和監(jiān)管者提供了相對更為精確的HARGHL-S期權(quán)定價模型，有利于50ETF期權(quán)在中國金融市場更好地發(fā)揮價格發(fā)現(xiàn)和風險管理的作用。此外，本研究首次運用50ETF期權(quán)上市兩年來的完整數(shù)據(jù)，細分期權(quán)類型、實虛值狀態(tài)和到期時間進行模型定價性能分析，揭示了該模型對不同類型期權(quán)合約定價能力改進程度的差異，有益于市場參與者進行更精細化的期權(quán)投資決策。

本研究僅是將已實現(xiàn)波動率模型運用于50ETF期權(quán)定價的初步探索，實證采用的4種模型只在HAR模型基礎(chǔ)上考慮了各類杠桿效應的引入。大量關(guān)于已實現(xiàn)波動率模型的研究成果表明，通過改進波動估計量[16]、合理引入外生變量[18-20,41]等方式，可以在基本不增加模型估計復雜度的情況下，進一步提升對波動率預測的準確度。因此，本研究下一步的工作將借鑒并拓展這些研究成果，進一步改進已實現(xiàn)波動率的異質(zhì)自回歸伽馬模型，以期獲得更為準確的期權(quán)定價能力。