蘇玖

一、真題展現(xiàn)

（2018年全國(guó)三卷第6題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線z+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓（x-2）²+y²—2上，則△APB面積的取值范圍是（? ）

A.[2，6]

B.[4，8]

C.[√2，3√2]

D.[2√2，3√2]

二、思維延伸

本題實(shí)質(zhì)是考查點(diǎn)到直線的距離公式及圓的方程運(yùn)用，給出三種不同的思路，其中幾何直觀法與動(dòng)態(tài)觀點(diǎn)，較簡(jiǎn)潔明了.如果改為點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，又會(huì)有什么樣的結(jié)果呢？

如果把橢圓的方程換為拋物線的方程，又可以改編為：

（改編2）在平面直角坐標(biāo)系z(mì)Oy中，已知直線x-y+2=0分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線y²=x上運(yùn)動(dòng)，則△PAB的面積的取值范圍為 _________.

如果再改變曲線形狀可以改編為：

（改編3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：3x +4y+12 =0分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P在曲線2 |x-2|+|y-1|=2所圍成的平面區(qū)域Q（包含邊界）上運(yùn)動(dòng)，則△PAB的面積的取值范圍為_(kāi)_________________.

上述三道改編題都是直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)間的線段作為三角形的底邊，如果將與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)改為與圓，點(diǎn)P所在曲線再改變，又可以得到：

（改編4）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：2x-y+4=0與圓（x+1）²+y²=4交于點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P在曲線y= Inz上運(yùn)動(dòng)，則△PAB的面積的取值范圍為 ___.

本題中點(diǎn)P的坐標(biāo)可以用一個(gè)量表示，從而建立了關(guān)于縱坐標(biāo)的二次函數(shù)，再利用配方法求出最小值，但無(wú)最大值，這是因?yàn)閳A和橢圓都是封閉圖形，而拋物線與雙曲線都是開(kāi)放型圖形，本題y的取值范圍是一切實(shí)數(shù).

本題中的點(diǎn)P的坐標(biāo)的制約條件是不等式，因此建立函數(shù)比較困難.我們從圖形結(jié)構(gòu)上考慮，利用平行線移動(dòng)法使問(wèn)題更加簡(jiǎn)潔，這種解法依據(jù)兩條平行線間距離公式，實(shí)質(zhì)還是點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，明了d1+d2的最大值為2r.

本題思路一是函數(shù)思想與參數(shù)方法，利用三角函數(shù)的有界性，很快求出d1，d2的最大值;思路二從幾何直觀出發(fā)，利用數(shù)形結(jié)合思想證明了d1+d2的最大值為2r，即為圓的直徑.

改編7解析：本題如果建立目標(biāo)函數(shù)求解是很困難的一件事情，那么必須將求解問(wèn)題策略轉(zhuǎn)化為用幾何直觀的觀點(diǎn)求解，由于AB =4，于是只要求點(diǎn)P到AB距離d的最大值即可，先固定點(diǎn)P，直徑繞原點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線AB的垂線，垂足為H，因此PH≤PO，即當(dāng)PO⊥AB時(shí)，PH的最大值為PO，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原點(diǎn)0到圓C上點(diǎn)的距離最大值.再利用幾何直觀可得PO≤CO+r，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P是OC的延長(zhǎng)線與圓c的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以s≤1/2AB×（OC+r）=2×（5+1）=12，故Smax= 12.

四、回顧悟道

這組高考改編題屬于動(dòng)態(tài)問(wèn)題，改編的想法：一是改變?nèi)切沃胁糠只蛉宽旤c(diǎn)的位置，使其由靜態(tài)變?yōu)閯?dòng)態(tài)，如改編7;二是當(dāng)一邊確定，只要改變頂三個(gè)點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)）所在曲線的形狀，如改編1～4;三是改變結(jié)論，如改編5，由三角形的面積范圍求曲線的方程;四是改變?nèi)切蔚男螤?，如改?，將三角形改為四邊形等等，但重點(diǎn)考查學(xué)生的幾何直觀想象能力，充分利用數(shù)形結(jié)合思想求解，凸顯數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、推理證明等.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)困難時(shí)，應(yīng)該學(xué)會(huì)如何思考，怎樣改變求解思路等等，

五、小試牛刀

（2018年北京卷第7題）在平面直角坐 標(biāo)系xOy中，記d為點(diǎn)P（cosθ，sinθ）到直線x- my-2=0的距離，當(dāng)θ，m變化時(shí)，d的最大值為（? ）

A.1

B.2

C.3

D.4

（改編1）________________________________________.

（改編2） ______________________.

提示：改變點(diǎn)P所在的曲線方程，如圓改編為橢圓、菱形、正方形等;或者改變動(dòng)直線方程，如動(dòng)直線所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)變?yōu)椋?，2）;也可以已知d的最大值確定曲線方程，如圓變?yōu)榇ǖ膱A（半徑待定），而已知最大值為4等.