☉江蘇省宿遷市實驗學校 張 誠

數(shù)學模型是學生分析問題和解決問題的重要工具.在初中階段，幫助學生感悟模型思想是數(shù)學教學的重要任務(wù).與其他數(shù)學思想一樣，模型思想同樣是“蘊含在數(shù)學知識的形成、發(fā)展和應(yīng)用過程之中”.因此，數(shù)學教學應(yīng)把握住數(shù)學知識形成、發(fā)展與應(yīng)用的每一個環(huán)節(jié)，讓學生體會和感悟數(shù)學模型的價值.在近期的一次教學研討活動中，筆者就依托一幅圖建構(gòu)了多個不同的問題情境，讓學生反復經(jīng)歷建構(gòu)與求解模型的過程，對學生感悟“共邊直角三角形”這一常見數(shù)學模型起到了很好的推動作用.現(xiàn)呈現(xiàn)其中的片段，并談一些感悟，希望能給您帶來啟示.

一、教學片段簡述

1.例題探索

教師投影例1，并請學生自主探索解題思路.大約3分鐘后，教師組織全班交流.

例1如圖1，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=8，求AB.

師：請一名同學說說解題的思路.

圖1

圖2

生1：過點C作CD⊥AB，垂足為D（如圖2），再在Rt△ADC和Rt△BDC中分別求出AD和BD，就可以求出AB的長了.

師：非常棒！你是怎么想到過點C作垂線段CD的？

生2：題目給出了“∠A=30°，∠B=45°”，作垂線段CD，就可以將這兩個特殊度數(shù)的銳角都放到直角三角形中去.

師：太好了！通過一條垂線段，我們把一個看似復雜的數(shù)學問題，轉(zhuǎn)化成了解“兩個共邊直角三角形”的問題.接下來，請大家自己試著求一求AB.

（學生自主解答，教師找出存在問題的過程并進行了展示與點評，進一步強調(diào)了“‘共邊直角三角形’是化解很多與三角形相關(guān)的問題的基本模型”）

2.變式訓練

教師首先投影例2（變式題1），并要求學生讀題、思考，尋求解決問題的方法.

例2A、B、C三個村莊在地圖上的位置如圖1所示，已知∠A=30°，∠B=45°，A、C兩村相距8km.求B、C兩村之間的距離.

兩分鐘后，教師組織學生交流解題思路.

師：如何求B、C兩村之間的距離？

生3：和剛才的例1一樣，還是過點C作CD⊥AB于D，將∠A和∠B放到兩個直角三角形中先求出CD，然后在Rt△BCD中可以求出BC的長.

師：很好！CD這條垂線段起到的作用與例1相同嗎？

生4：相同.事實上，這個題目只是給前面的例1套上了一個生活情境.解題時，直接從生活情境中抽象出數(shù)學問題“如圖1，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=8，求BC”，這與例1實際上是差不多的.

師：你的觀察與分析非常仔細.看來，例1中的“共邊直角三角形”在例2這種實際問題中也能發(fā)揮作用！在下面的問題中，還需要建構(gòu)這種“共邊直角三角形”嗎？

教師投影例3（變式題2）.

圖3

例3如圖3，海面上有一輪船，從A處測得海島C在其北偏東60°方向上，當輪船航行到A處正東方向100海里的B處時，測得海島C在其西北方向上.此時輪船距離海島C有多遠？

在學生讀題、思考后，教師組織交流.

師：誰來說說這道題的思路？

生5：我覺得解法和上面的兩道例題差不多.

師：具體說說.

生6：和例2一樣，這也是一個實際問題.我們可以將其抽象為：“如圖3，在△ABC中，∠CAB=30°，∠CBA=45°，AB=100海里，求BC”.

師：真不錯！你能在短時間內(nèi)將這么豐富的生活情境抽象為簡潔的數(shù)學情境，不簡單.那接下來怎么求呢？

生7：和前面的例題一樣，還是過點C作CD⊥AB于D，將∠A和∠B放到兩個共邊直角三角形中.此時，BC=CD.只要能求出CD，就可以求出BC.師：那怎么求CD呢？生8：列方程求解.我們可以設(shè)CD=x海里，則AD=海里，BD=x海里.由AB=100海里，可得方程x+x=100.解這個方程就可以求出CD的長了.

師：真不錯.看來，我們不僅可以通過解共邊直角三角形來求線段的長，有時還可以通過方程模型求線段的長.請同學們自主解答例3，并在小組中交流各自的解題過程.

3.階段歸納

師：通過這一組例題的分析與解答，你們有哪些收獲？

生9：建構(gòu)共邊直角三角形是解決很多數(shù)學問題的途徑.就算是實際問題，我們也可以將其抽象為數(shù)學問題，然后利用共邊直角三角形解決.

生10：構(gòu)造共邊直角三角形的基本方法是作垂線段，而這條垂線段往往是兩個直角三角形所共有的邊.

生11：在應(yīng)用共邊直角三角形這一模型解決問題時，有時可以直接計算得到結(jié)果，有時可以借助方程模型來求解.

…………

在學生陳述過程中，教師適時板書，最終形成如下網(wǎng)絡(luò)圖：

圖4

4.跟進思考

圖5

師：如圖5，將上面例1中的圖逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到圖5，你能給它創(chuàng)設(shè)一個生活情境嗎？大家課后試一試，并嘗試給出解決問題的思路和過程.學生畫圖并記錄教師提出的問題.

二、片段簡析

本節(jié)課中，模型思想的教學是從例1開始的，這是一道簡單的幾何題，對于這類純數(shù)學情境的問題，在前面的學習中學生已經(jīng)積累了解決的經(jīng)驗.因而，在探索這道例題的解法時，僅通過簡單的對話與交流，學生便給出了思路及過程.在建構(gòu)輔助線和呈現(xiàn)解題過程時，非常順利地喚醒了學生應(yīng)用“共邊直角三角形”解題的經(jīng)驗，為進一步感悟模型思想夯實了基礎(chǔ).接下來的例2和例3是例1中的圖形的再應(yīng)用，教者給圖1設(shè)計了遞進式的生活情境，將“作垂線段，建構(gòu)共邊直角三角形，計算或列方程求解”的一般思路蘊含在兩道例題中，學生在情境抽象與思路探索中，反復感知到“共邊直角三角形”這一模型的應(yīng)用價值，并進一步體會到不同數(shù)學模型間的聯(lián)系.這樣的教學歷程，學生會隨著對這一數(shù)學模型的反復抽象和應(yīng)用，不斷被強化和鞏固，這對他們深入體會模型思想的應(yīng)用價值有著十分重要的意義.

三、幾點感悟

1.解答原型問題，經(jīng)歷建模過程

數(shù)學模型蘊藏于數(shù)學知識的形成、發(fā)展和應(yīng)用過程中，是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象和概括.因而，數(shù)學模型的教學不僅要緊扣數(shù)學概念的形成過程，還要特別注重讓學生從數(shù)學知識的應(yīng)用過程中加以體驗，尤其是對原始數(shù)學問題的深度探索對學生感知與應(yīng)用數(shù)學模型是最為重要的.事實證明，只有通過這種反復的建構(gòu)與應(yīng)用，學生才能真正感悟到數(shù)學思想的應(yīng)用路徑和實際價值，從而使之逐步固化到學生的認知結(jié)構(gòu)中，成為充分遺忘后最后留下來的數(shù)學知識.以本文中的教學片段為例，例1是蘊含“共邊直角三角形”模型的原始數(shù)學問題.教學時，教師特別注重對例1的教學，先后安排了自主探索、思路分享、模型抽象、展示點評、方法歸納等活動，讓學生在此過程中體會模型的抽象、建構(gòu)和應(yīng)用過程，這樣的設(shè)計與實施無疑為學生更進一步感悟模型思想夯實了基礎(chǔ)、積累了經(jīng)驗.

2.遞進變式探索，強化應(yīng)用體驗

數(shù)學模型教學，從原型問題中獲得模型僅僅是開端.為了讓學生真正認識到數(shù)學模型的價值，在實際教學時，我們應(yīng)創(chuàng)設(shè)不同的問題情境，讓學生反復經(jīng)歷包含同一模型的不同數(shù)學問題的求解過程，從而真正體會到數(shù)學模型具有廣泛的應(yīng)用性.在設(shè)計這些數(shù)學問題時，我們應(yīng)努力讓這些問題之間具有明顯的遞進關(guān)系；在教學這些問題時，要由易到難逐步呈現(xiàn)這些問題，并通過這種遞進變式的不斷探索，不斷加深學生對課時模型的認知.顯然，本文中所述片段，正是基于這一理念之上的精巧設(shè)計，三道例題都包含了“共邊直角三角形”這一數(shù)學模型.教師在教學時，將三題逐一呈現(xiàn)，使學生在反復建構(gòu)和應(yīng)用“共邊直角三角形”模型過程中，不斷加深對這一模型的認識，及其在解決與三角形相關(guān)的數(shù)學問題和實際問題時的價值.在本節(jié)課的最后，筆者還安排了學生跟進思考：給由圖1變換所得的圖5賦予一個生活情境并解答.顯然，這樣的要求明顯高于上述三題，具有明顯的遞進性，學生在課后分析與解答時完全可以借助本節(jié)課所獲得的模型和解題的經(jīng)驗.

3.注重網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)，實現(xiàn)思想滲透

數(shù)學教學，知識的結(jié)構(gòu)化是一項較為重要的任務(wù).數(shù)學模型教學，同樣應(yīng)注重知識體系的建構(gòu).教學數(shù)學模型，課時模型固然應(yīng)成為課時教學的重點，但我們絕不能只關(guān)注到課時模型這一單體模型的教學，而應(yīng)將建構(gòu)與課時模型相關(guān)的模型網(wǎng)絡(luò)作為本節(jié)課的重要任務(wù).在整個教學過程中，教師應(yīng)時刻做好與課時模型相關(guān)聯(lián)的知識的呈現(xiàn)與板書，在學生深入體會到課時模型與相關(guān)模型的聯(lián)系后，通過箭頭、方框等符號將其鏈接起來.在本節(jié)課上，筆者所述的這些做法都得到了很好的體現(xiàn).在環(huán)節(jié)1“例題探索”中，筆者基于學生構(gòu)造的輔助線和模型在黑板上板書了網(wǎng)絡(luò)圖（如圖4）中的“數(shù)學問題”“作垂線段”“轉(zhuǎn)化”“共邊直角三角形”等詞語及后兩個方框之間的箭頭；在環(huán)節(jié)2“變式訓練”中，由于例2和例3都是實際問題，解答時需要先抽象后建模，因而，我又板書了“實際問題”“抽象”和前兩個方框之間的箭頭；在環(huán)節(jié)3中，將“直接計算或列方程求解”及其上面由方框1到方框3的箭頭畫出.隨著知識網(wǎng)絡(luò)圖的逐漸完善，學生的認知會與教學過程同步，對知識的網(wǎng)絡(luò)化是十分有利的.