☉江蘇省南京市雨花臺中學(xué) 梁海波

一次九年級測驗(yàn)后，學(xué)生對一道選擇題的答案爭議較大并展開了熱烈的討論.筆者結(jié)合學(xué)生的討論和思考，設(shè)計(jì)并上了一節(jié)綜合與實(shí)踐活動課“滾動的圓”，在公開課展示活動中受到廣泛好評.本文把課堂教學(xué)實(shí)錄整理如下，并將筆者的教學(xué)思考整理成文，以期與各位同行研討交流.

一、教學(xué)實(shí)錄

1.開門見山，抓住知識生長點(diǎn)

問題1：（原題改）將兩枚同樣大小的硬幣放在桌上，固定其中一枚，另一枚則沿著其邊緣滾動1圈，此時滾動的硬幣滾動了幾圈？

生1：1圈，兩枚同樣大小的硬幣說明這兩枚硬幣的周長是相等的，所以一枚硬幣沿著另一枚滾動1周，剛好就滾動了1個周長，也就是1圈.

師：有不同的答案嗎？

（大部分學(xué)生沉默，幾名學(xué)生站起來說“不對”，但講不清問題在哪兒）

師：既然通過思考無法確定結(jié)果，我們可以動手操作體驗(yàn)一下.

學(xué)生活動：小組合作實(shí)驗(yàn)，用瓶蓋模仿硬幣的滾動，動手操作驗(yàn)證猜想，提醒學(xué)生注意滾動的過程中不要出現(xiàn)滑動.

（學(xué)生操作，教師提醒學(xué)生操作要規(guī)范）

師：大家都完成了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是什么呢？

（多數(shù)學(xué)生說2圈，少數(shù)學(xué)生說1圈）

師：下面請一名同學(xué)來操作演示.

（生2實(shí)物投影展示，結(jié)果是2圈）

師：有沒有同學(xué)知道為什么呢？

（學(xué)生沉默）

師：本節(jié)課我們帶著這個問題來探究滾動的圓，剛才的操作中大家已經(jīng)初步體會了圖形的滾動，但在圓上滾動的情形比較復(fù)雜，我們?nèi)绾稳パ芯恳粋€復(fù)雜問題呢？

生：從簡單入手.

師：圓在什么圖形上運(yùn)動比較簡單？

生：在直線上.

師：下面我們就從圓在直線上的滾動開始研究.

設(shè)計(jì)意圖：利用生活中的數(shù)學(xué)問題，創(chuàng)設(shè)有效的問題情境，讓學(xué)生的思維受到適度挑戰(zhàn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.同時，通過回顧學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，回歸解決問題的本質(zhì)，將復(fù)雜的問題簡單化，從簡單、特殊的問題開始探究.

2.化“疑”為簡，尋找問題突破口

問題2：如圖1，將一個半徑為r的圓在直線上滾動1圈，則這個圓滾過的路徑長為？思考圖2中哪條線段長是圓滾過的路徑長.（動畫展示滾動過程）

圖1

生3：路徑長為2πr，線段AA1的長就是圓滾過的路徑長.

追問1：在圓滾動的過程中，什么沒有變？什么發(fā)生了改變？

生4：圓的大小和形狀都沒有改變，圓的位置發(fā)生了改變.

生5：圓與直線的位置關(guān)系也沒有改變，始終是相切.

追問2：圓心所經(jīng)過的路徑是什么圖形？

（動畫展示滾動過程，如圖2）

圖2

生6：一條線段，圓心到直線的距離沒有改變，始終等于半徑.

追問3：這條線段多長？你有何發(fā)現(xiàn)？

生6：是2πr，我發(fā)現(xiàn)圓心經(jīng)過的路徑長等于圓滾過的路徑長.因?yàn)閳AO始終與直線l相切，所以O(shè)A和O1A1都與直線l垂直，那么OA平行且等于O1A1，則四邊形OAA1O1是矩形，即OO1等于AA1.所以圓心經(jīng)過的路徑長等于圓滾過的路徑長.

問題3：若線段AB=4πr，則此半徑為r的圓從點(diǎn)A無滑動地滾動到點(diǎn)B需轉(zhuǎn)幾圈？

生7：2圈，用4πr除以2πr得2.

師：當(dāng)圓在直線上滾動時，圓滾動的圈數(shù)應(yīng)該怎么求？

生8：圓滾動的圈數(shù)等于圓滾過的路徑長除以圓周長，即等于圓心經(jīng)過的路徑長除以圓周長.

設(shè)計(jì)意圖：回歸學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，探究圓在直線上滾動的過程，在變化中尋求不變.在操作中搭建學(xué)生思維的橋梁，尋求主線問題的突破口，體會直線上圓的滾動過程即平移與旋轉(zhuǎn)的復(fù)合運(yùn)動.

3.拾級而上，操作中探究方法

圖3

問題4：如圖3，將總長為4πr的線段AB在中點(diǎn)C處折成90°，此時這個半徑為r的圓從點(diǎn)A到點(diǎn)B需滾動幾圈？

生9：還是2圈，因?yàn)榫€段長度還是4πr.

追問1：有不同意見嗎？

生10：我認(rèn)為不是2圈，感覺比2圈多一點(diǎn).

追問2：為什么會多一點(diǎn)？

生10：在折點(diǎn)C處，圓多轉(zhuǎn)了一些.

師：請大家動手操作并思考能否得到滾動的具體圈數(shù).

（學(xué)生動手操作）

（學(xué)生自發(fā)鼓掌）

師：精彩！一起看滾動的過程?。▌赢嬚故緷L動過程，如圖4）

追問3：有其他思路嗎？可以從圓心經(jīng)過的路徑來解釋嗎？

生12：可以的，圓心經(jīng)過的路徑是兩條線段加一條圓弧，兩條線段的長度一共是4πr，圓弧的半徑為r，圓心角為90°，弧長是，所以圓心經(jīng)過的路徑長是.然后用圓心經(jīng)過的路徑長除以圓周長，也可以得出圈.

師：這名同學(xué)的回答很精彩，說明這個問題既可以用角度去解決，又可以用圓心經(jīng)過的路徑來解決.（學(xué)生自發(fā)鼓掌）

圖5

問題5：如圖5，將總長為4πr的線段AB在中點(diǎn)C處折成60°，此時這個半徑為r的圓從點(diǎn)A到點(diǎn)B需滾動幾圈？

師：還有其他思路嗎？

設(shè)計(jì)意圖：探究圓在折線上滾動的過程，在操作中感受折點(diǎn)處圓的運(yùn)動，體會在折點(diǎn)處即圓的自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)的復(fù)合運(yùn)動，以圓公轉(zhuǎn)的角度和圓心運(yùn)動的路徑刻畫運(yùn)動過程，由表及里，逐步發(fā)現(xiàn)解決問題的關(guān)鍵.

4.破解難點(diǎn)，極限思想轉(zhuǎn)化核心問題

圖6

問題6：如圖6，連接AB，此時這個半徑為r的圓沿△ABC的外側(cè)滾動1周需滾動幾圈？

師：你能分別從旋轉(zhuǎn)的角度和圓心運(yùn)動的路徑來解釋嗎？

生15：圓在三角形三個頂點(diǎn)處做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，加起來一共旋轉(zhuǎn)了360°，所以轉(zhuǎn)了1圈.圓心在三個頂點(diǎn)處的運(yùn)動路徑合起來恰好是1個圓周，所以通過圓心經(jīng)過路徑除以圓周長也是1圈.最終的答案是3圈加1圈，即4圈.

師：精彩！如果將特殊的三角形變?yōu)樘厥獾乃倪呅文兀?/p>

問題7：如圖7，將等邊三角形改為正方形，則這個圓沿正方形的外側(cè)滾動1周需滾動幾圈？

（學(xué)生略加思考后齊答：5圈）

師：繼續(xù)增加難度，如果將特殊的圖形換成一般的多邊形，結(jié)論還成立嗎？

圖7

圖8

問題8：如圖8，將等邊三角形改為任意三角形，且該三角形的周長為a，則這個半徑為r的圓沿△ABC的外側(cè)滾動1周需滾動幾圈？獨(dú)立思考后小組討論.

（兩分鐘后，陸續(xù)有學(xué)生舉手）

師：為什么圓在三角形頂點(diǎn)處滾動的角度和為360°？

生16：頂點(diǎn)處滾動的角度與每個內(nèi)角是互補(bǔ)關(guān)系，數(shù)值上等于外角，三角形的外角和是360°，所以圓在幾個頂點(diǎn)處滾動的角度之和為360°.

師：如果繼續(xù)將四邊形改為任意的多邊形呢？

師：你能否歸納出圓在多邊形的外側(cè)滾動的圈數(shù)如何計(jì)算？生16：圓滾動的圈數(shù)=+1.

師：你回答得很好，下面大家來一起回顧我們的探究過程.

問題9：若多邊形的周長為2π，滾動1周需滾動幾圈？

生：（齊）2圈.

師：如圖9，如果無限增加多邊形的邊數(shù)，此時多邊形將會接近于一個圓，讓半徑為r的圓沿著該圓外側(cè)滾動1周，滾動幾圈呢？

生：（齊）2圈.

圖9

設(shè)計(jì)意圖：層層遞進(jìn)，探究圓在封閉的多邊形上滾動的過程，在操作中感知圓滾動的過程中變與不變的元素.在探究中發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，從特殊到一般，在不斷增加邊數(shù)的過程中體會極限的數(shù)學(xué)思想.

5.回歸主線，交流中探尋原理

圖10

師：回到開始的問題，現(xiàn)在你能結(jié)合本節(jié)課所探究的經(jīng)驗(yàn)，解釋為什么硬幣滾動的是2圈嗎？

（動畫展示滾動過程，如圖10）

生：從旋轉(zhuǎn)角度來看，滾動的硬幣滾動了1個圓周長，同時也旋轉(zhuǎn)了1個圓周360°，所以是2圈.

生：從圓心經(jīng)過的路徑長來看，圓心的路徑是一個半徑為2r的圓，路徑長為2π乘以2r等于4πr，用圓心經(jīng)過的路徑長除以圓周長，即4πr除以2πr，結(jié)果為2圈.

設(shè)計(jì)意圖：回歸探究圓在圓周（曲線）上滾動的過程，首尾呼應(yīng)，突破本節(jié)課的難點(diǎn)，在一系列問題的解決和探究中，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)探究的魅力.

6.課堂小結(jié)，提煉核心思想

師：回顧解決問題的過程，你學(xué)到了哪些知識？有什么收獲？

生：研究圓的滾動，可以從兩個方向去探究，一個是圓在滾動過程中旋轉(zhuǎn)的角度，另一個是圓心經(jīng)過的路徑長.

生：探究問題可以先易后難，從簡單出發(fā)，逐步深入探究復(fù)雜問題.

設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)，梳理探究思想，總結(jié)探究活動中獲得的經(jīng)驗(yàn)，提煉核心思想，同時鍛煉學(xué)生的語言表達(dá)能力，培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)表自己見解的能力.

二、教學(xué)思考

1.激發(fā)興趣，探究中積累活動經(jīng)驗(yàn)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中明確提出，教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式和因材施教.教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，處理好講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動探索、合作交流，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).

為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教師需要悉心準(zhǔn)備和策劃合理的教學(xué)過程，設(shè)計(jì)的教學(xué)活動應(yīng)以學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律為基礎(chǔ)，給學(xué)生提供更廣闊的探究空間.以本節(jié)課為例，教師以硬幣滾動的問題設(shè)計(jì)引入，學(xué)生提出猜想，發(fā)現(xiàn)操作結(jié)果與猜想不一致，激發(fā)了進(jìn)一步探究的興趣.教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)硬幣滾動問題本質(zhì)上是圓的滾動，接著讓學(xué)生思考如何去探究這一問題.學(xué)生從圓在直線上的滾動開始，延伸到折線上的滾動，再到特殊多邊形乃至任意多邊形上的滾動，最終回歸到圓的滾動上，遵循了從特殊到一般的研究思路.

2.著力基礎(chǔ)，探究中把握知識生長

綜合與實(shí)踐活動課需要以學(xué)生課內(nèi)知識為基礎(chǔ)進(jìn)行生長.筆者認(rèn)為基礎(chǔ)的知識點(diǎn)有兩處：一處是圖形的運(yùn)動，學(xué)生對于圖形三種基本的運(yùn)動方式已經(jīng)非常熟悉，但是對于復(fù)合的運(yùn)動方式尚且生疏；另一處是圓的相關(guān)知識，特別是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及直線與圓的位置關(guān)系等，為本節(jié)課的探究提供了有效的知識鋪墊.

課堂教學(xué)中，教師宜從這兩處入手.（1）從基本的圖形運(yùn)動方式進(jìn)行知識生長，可看作平移和旋轉(zhuǎn)的復(fù)合運(yùn)動.當(dāng)圓在直線上滾動時，可以看作“整體平移與局部旋轉(zhuǎn)的復(fù)合”，從整體看是整體的平移，從局部看是圓自身的旋轉(zhuǎn)；當(dāng)圓在折線上滾動時，直線部分與前一種情形是一致的，學(xué)生探究的難點(diǎn)在于圓在折點(diǎn)處的運(yùn)動.（2）從復(fù)合運(yùn)動的角度進(jìn)行知識生長，折點(diǎn)處圓的滾動可以看作“整體旋轉(zhuǎn)與局部旋轉(zhuǎn)的復(fù)合”，即折點(diǎn)處圓整體繞著折點(diǎn)做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，同時自身也在轉(zhuǎn)動.同樣，圓在多邊形和曲線上的滾動都可以看作平移與旋轉(zhuǎn)的復(fù)合運(yùn)動.

值得注意的是，教師在課堂上的關(guān)鍵環(huán)節(jié)需要放慢節(jié)奏，給予學(xué)生充分的操作和思考時間，學(xué)生探究的過程即是知識不斷聯(lián)系、重塑和發(fā)展的過程，更是知識生長的過程，教師要幫助學(xué)生把握好這一過程.

3.立足實(shí)踐，探究中提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

《標(biāo)準(zhǔn)》中還明確指出，數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng).數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動的教學(xué)本質(zhì)是思維的教學(xué)，綜合與實(shí)踐活動課應(yīng)以操作和實(shí)驗(yàn)作為基礎(chǔ)，引領(lǐng)學(xué)生的思維，通過課堂上的操作活動啟迪學(xué)生的思考.

課堂上教師不僅要關(guān)注學(xué)生掌握解決問題的方法，更要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.在本節(jié)課中，學(xué)生從具體的硬幣滾動中抽象出基本圖形即圓的滾動，積累了從具體到抽象的活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的能力.同時，學(xué)生從已有的知識和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，有目的地探索圓在不同圖形上滾動的過程，在不斷深入的探究和思考中，學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展了幾何直觀和空間想象的能力.整節(jié)課，通過師生間的共同探究，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生過程，從而獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而讓綜合與實(shí)踐活動成為提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的載體.