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        二重積分計(jì)算公式的一個(gè)推導(dǎo)方法

        2019-08-31 03:36:04中國勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)教學(xué)部鄭紅芬賈屹峰
        數(shù)學(xué)大世界 2019年21期
        關(guān)鍵詞:面包片柱體截面積

        中國勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)教學(xué)部 鄭紅芬 賈屹峰

        直角坐標(biāo)系下二重積分化為二次積分,是重積分的基礎(chǔ),傳統(tǒng)的方法是通過計(jì)算平行截面面積已知立體的體積完成的。在[2]中,采用的坐標(biāo)系不是常見的,而且推導(dǎo)過程中需要把立體的圖形平面化,使得部分學(xué)生難以理解。這里采用生活中常見的切片面包作為實(shí)物模型,利用元素法直接計(jì)算曲頂柱體的體積,得到二重積分的計(jì)算公式,將抽象的知識具體化,并在實(shí)際教學(xué)過程中得以應(yīng)用,取得了很好的效果。

        根據(jù)二重積分的幾何意義,二重積分的計(jì)算歸結(jié)為求曲頂柱體的體積。圖1 所示的面包外形是曲頂柱體,我們以此為具體的實(shí)物模型,計(jì)算曲頂柱體的體積。

        圖2 是圖1 面包所對應(yīng)的曲頂柱體。設(shè)曲頂所對應(yīng)的曲面方程為z=f(x,y),其在xOy面上的投影D是Y型區(qū)域,即:

        圖1 中的面包是切片面包,在圖2 中,相當(dāng)于用一組垂直于y軸的平面 截曲頂柱體,將其分割成n個(gè)薄曲頂柱體,其中,y0=c,yn=d,且y0<y1<…<yn

        如果能夠算出所有面包片的體積V(yi),代入上式,即可求得整個(gè)面包的體積V。從圖2 中任取一個(gè)薄曲頂柱體,如圖3。

        圖3

        其中,A(y)是垂直于y軸的平面截曲頂柱體所得的截面積。

        如果能夠求出截面積A(y),代入(7)式,就可以計(jì)算出曲頂柱體的體積。為了求截面積A(y),首先需要知道截面是什么圖形,任取一個(gè)面包片,把它的外形畫在黑板上,如圖4。

        圖4

        圖5

        則任一垂直于y軸的平面,截曲頂柱體所得的截面面積為

        把上式代入(7)式,可得曲頂柱體的體積

        曲頂柱體的體積也就是二重積分的值,進(jìn)一步可以寫成:

        從而,二重積分就化為了二次積分,f(x,y)<0,上式仍然成立,因此,(15)式就是Y 型區(qū)域二重積分的計(jì)算公式。

        以切片面包輔助推導(dǎo)二重積分計(jì)算公式具有非常好的直觀性,學(xué)生獲得豐富的感性認(rèn)識,在把課本上的知識同現(xiàn)實(shí)生活結(jié)合起來的同時(shí),使得高等數(shù)學(xué)不再枯燥,激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程的興趣。

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