徐寧波

(中國(guó)鐵路設(shè)計(jì)集團(tuán)有限公司，天津300308)

隨著我國(guó)社會(huì)和經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，為緩解日趨緊張的電力供應(yīng)與電煤運(yùn)輸帶來(lái)的輸電網(wǎng)絡(luò)壓力，高效率、遠(yuǎn)距離、大容量的特高壓輸電線路建設(shè)顯得尤為迫切，這同時(shí)也是優(yōu)化我國(guó)能源生產(chǎn)和消費(fèi)布局，實(shí)現(xiàn)能源與經(jīng)濟(jì)協(xié)調(diào)發(fā)展的要求。導(dǎo)線長(zhǎng)期微風(fēng)振動(dòng)不僅會(huì)磨損金具，還會(huì)致使導(dǎo)線疲勞斷裂[1-6]，因此有必要研究導(dǎo)線的微風(fēng)振動(dòng)作用。

當(dāng)較小的橫向風(fēng)以風(fēng)速0.5～10.0 m/s左右吹過導(dǎo)線時(shí)，會(huì)在導(dǎo)線上作用上下交替變化力，引發(fā)導(dǎo)線在1～2倍直徑范圍內(nèi)的垂直振動(dòng)，稱為微風(fēng)振動(dòng)。國(guó)內(nèi)有不少學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究：張建國(guó)等[7]研究了特高壓輸電線路的大截面導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)特性；J.Vecchiarelli[8]采用有限差分法計(jì)算研究了輸電線的微風(fēng)振動(dòng)響應(yīng)；Oumar Barry[9]基于哈密頓變分原理，建立了導(dǎo)線的微風(fēng)振動(dòng)有限元?jiǎng)恿Ψ匠?，并分析了?dǎo)線的自振模態(tài)；李黎等[10]研究利用改進(jìn)的能量平衡法(energy balance method，EBM)和有限元法(finite element method，F(xiàn)EM)分析微風(fēng)振動(dòng)作用下導(dǎo)線的振動(dòng)響應(yīng)。

上述研究在導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)計(jì)算分析方面均可以得到比較精確的響應(yīng)，但未充分考慮一些影響因素，例如：EBM忽略了導(dǎo)線本身的動(dòng)力特征；FEM通常假定導(dǎo)線按照正弦曲線振動(dòng)來(lái)進(jìn)行分析，與實(shí)際情況有所差別；FEM計(jì)算復(fù)雜，效率低。

喻瑩等[11-14]利用有限質(zhì)點(diǎn)法(finite particle method，F(xiàn)PM)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力非線性分析，取得了較精確的結(jié)果；謝文平、徐寧波等[15-18]利用FPM對(duì)導(dǎo)線進(jìn)行了找形與動(dòng)力分析，但未對(duì)方法的適用性和有效性進(jìn)行驗(yàn)證說(shuō)明。本文在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了應(yīng)用FPM計(jì)算導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)響應(yīng)的中心差分方程。首先介紹了引發(fā)導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)微風(fēng)激勵(lì)力，接著通過導(dǎo)線的自阻尼功率推導(dǎo)了導(dǎo)線的阻尼系數(shù)，并建立了基于FPM的導(dǎo)線動(dòng)力分析模型，再利用Fortran編程計(jì)算了導(dǎo)線的微風(fēng)振動(dòng)響應(yīng)，最后分析了風(fēng)速、導(dǎo)線運(yùn)行張力及檔距等因素對(duì)導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)的影響。

1 微風(fēng)激勵(lì)力

導(dǎo)線在較低的風(fēng)速下，會(huì)發(fā)生周期性的渦激共振。在“鎖定”效應(yīng)作用下，導(dǎo)線承受的周期性渦激勵(lì)附加了與導(dǎo)線本身運(yùn)動(dòng)有關(guān)的非線性渦激勵(lì)項(xiàng)，使得導(dǎo)線與風(fēng)的相互作用進(jìn)入流固耦合作用范圍，獲得其理論解析解十分困難，一般采用半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，如?jiǎn)諧力模型、升力振子模型、經(jīng)驗(yàn)線性模型、經(jīng)驗(yàn)非線性模型、廣義經(jīng)驗(yàn)非線性模型等[19]。本文采用Scanlan提出的基于負(fù)阻尼的渦激共振非經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，參考相關(guān)文獻(xiàn)得到微風(fēng)激勵(lì)力

(1)

式中：ρ為空氣密度；v0為平均風(fēng)速；D為導(dǎo)線直徑；K為縮減頻率，K=ωD/v0，ω為旋渦脫落頻率；Y1(K)為線性自激阻尼；Y2為線性氣動(dòng)剛度；Y3(K)為氣動(dòng)參數(shù)；CL(K)為諧振項(xiàng)升力系數(shù)；u為振動(dòng)位移；ωst為Strouhal圓頻率，ωst=2πStv0/D，St為Strouhal數(shù)；t為時(shí)間；φ為相位差。一般地，Y3(K)與CL(K)在微風(fēng)振動(dòng)穩(wěn)定時(shí)可忽略不計(jì)。

2 導(dǎo)線自阻尼

導(dǎo)線吸收或消耗風(fēng)傳遞的振動(dòng)能量的能力常用其自阻尼功率表示。影響輸電導(dǎo)線自阻尼功率的因素有許多，包括導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)振幅及頻率、導(dǎo)線運(yùn)行張力、外界環(huán)境溫度以及導(dǎo)線自身材料特性等。一般輸電線的自阻尼主要由結(jié)構(gòu)變形阻尼與材料變形阻尼兩部分組成，由于導(dǎo)線不同的生產(chǎn)工藝，其自阻尼功率分散性大。目前，一般是通過試驗(yàn)測(cè)定來(lái)確定輸電導(dǎo)線自阻尼功率，汪峰等[20]對(duì)大跨越導(dǎo)線的自阻尼特性進(jìn)行了試驗(yàn)研究。通過導(dǎo)線自阻尼試驗(yàn)，可得到自阻尼功率

(2)

式中：f為振動(dòng)頻率；y0為雙振幅；Hc為滯后阻尼常數(shù)；G為導(dǎo)線張力；m為導(dǎo)線單位長(zhǎng)度質(zhì)量。

通常情況下，為方便分析，將導(dǎo)線的自阻尼簡(jiǎn)化等效為經(jīng)典粘滯阻尼來(lái)考慮。由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的相關(guān)理論，在簡(jiǎn)諧荷載作用下，對(duì)于含粘滯阻尼的單自由度體系，阻尼力在一個(gè)周期內(nèi)消耗的能量

(3)

式中：T為周期；fd為阻尼力；ys為振動(dòng)位移；t為時(shí)間；c為粘滯阻尼系數(shù)；A為最大振幅。

在一個(gè)周期內(nèi)，令單位長(zhǎng)度導(dǎo)線的自阻尼消耗的能量與單自由度體系消耗的能量相同，即

W=PcTΔl=PcΔl/f.

(4)

解得等效粘滯阻尼系數(shù)

(5)

式中Δl為導(dǎo)線長(zhǎng)度。

式(5)中的等效粘滯自阻尼系數(shù)常常采用能量平衡法來(lái)預(yù)估。在FPM中，結(jié)構(gòu)的阻力作用通常是通過對(duì)質(zhì)點(diǎn)施加虛擬的阻尼力fd來(lái)考慮，其表達(dá)式為

(6)

于是有ξ=c/m，其中ξ為阻尼比，xi為質(zhì)點(diǎn)i偏離平衡位置的水平距離，yi為質(zhì)點(diǎn)i偏離平衡位置的豎向距離。

3 導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)分析

FPM是固體力學(xué)和向量式結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)合的產(chǎn)物，通過將結(jié)構(gòu)離散為由桿件相連的質(zhì)點(diǎn)，來(lái)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的“點(diǎn)值描述”，同時(shí)采用離散時(shí)間點(diǎn)上質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)來(lái)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的“途徑單元”描述，質(zhì)點(diǎn)間單元的變形和內(nèi)力則通過虛擬的“逆向運(yùn)動(dòng)”求得。

3.1 導(dǎo)線的點(diǎn)值描述

結(jié)構(gòu)的空間位置和幾何形狀，在向量式力學(xué)中是由多個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置來(lái)描述的，稱為點(diǎn)值描述。導(dǎo)線的點(diǎn)值描述如圖1所示。

對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行點(diǎn)值描述的質(zhì)點(diǎn)具有如下特性：

a)質(zhì)點(diǎn)只受到集中力作用。所有的內(nèi)力(與質(zhì)點(diǎn)相連單元作用在質(zhì)點(diǎn)上的力)和外力都是等效為集中力后作用在質(zhì)點(diǎn)上的，且質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻都處于動(dòng)平衡狀態(tài)。

b)質(zhì)點(diǎn)間通過單元連接。連接質(zhì)點(diǎn)的單元沒有質(zhì)量，用來(lái)約束質(zhì)點(diǎn)，單元在外力作用下始終保持靜平衡狀態(tài)。

c)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)決定單元的變形，單元變形產(chǎn)生的內(nèi)力同時(shí)也大小相等、方向相反地作用于與它相連的質(zhì)點(diǎn)上。

圖1 導(dǎo)線的點(diǎn)值描述

采用FPM進(jìn)行導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)分析時(shí)，需先對(duì)導(dǎo)線進(jìn)行點(diǎn)值描述，將導(dǎo)線劃分為有限個(gè)質(zhì)點(diǎn)，導(dǎo)線的振幅與其直徑相當(dāng)，屬于大變形問題，需考慮其幾何非線性的影響，計(jì)算模型如圖2所示。

圖2 導(dǎo)線的計(jì)算模型

3.2 途徑單元描述

FPM中質(zhì)點(diǎn)的軌跡是由一組離散時(shí)間點(diǎn)的點(diǎn)值描述的，是時(shí)間的函數(shù)。分析時(shí)假設(shè)質(zhì)點(diǎn)的始末位置向量分別是x(ta)和x(tb)，分析的時(shí)間點(diǎn)分別是t0和tf，將整個(gè)分析過程離散為有限個(gè)時(shí)間點(diǎn)，如t0，t1，t2，…，ta，tb，…，tf，如圖3所示，途徑單元可以由某一時(shí)間段ta-tb表示。

圖3 途徑單元

在任一途徑單元里，作以下假設(shè)：

a)以結(jié)構(gòu)最初的狀態(tài)作為參考，計(jì)算其內(nèi)力和位移；

b)構(gòu)件的轉(zhuǎn)動(dòng)為中度大轉(zhuǎn)動(dòng)；

c)忽略幾何變化的影響；

d)單元間相互獨(dú)立，可單獨(dú)計(jì)算其內(nèi)力和變形，無(wú)需集成整體。

在設(shè)置途徑單元后，就可以分析導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)時(shí)質(zhì)點(diǎn)位置和速度的時(shí)間歷程，對(duì)大變形和大轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)構(gòu)，可使用一組持續(xù)增加途徑單元來(lái)處理，由途徑單元的假設(shè)，可以保證結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與變形滿足材料力學(xué)的要求。

3.3 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)差分方程

質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)滿足牛頓第二定律：

(7)

其中質(zhì)點(diǎn)受到的外力主要包括微風(fēng)激勵(lì)力和防振錘對(duì)導(dǎo)線的作用力，內(nèi)力則是通過單元純變形求得的。因此，質(zhì)點(diǎn)α的外力向量為

(8)

圖4 單元集中力的等效

分配到單元端節(jié)點(diǎn)的等效集中外力向量分別為：

(9)

(10)

導(dǎo)線受到微風(fēng)激勵(lì)力為均布力，其等效力求解一般采用積分法，根據(jù)均布外力的作用范圍和分布形式積分后分配到構(gòu)件兩端的質(zhì)點(diǎn)上，如圖5所示，作用于單元AB上的均布荷載為q(x)，單元長(zhǎng)度為lAB。

圖5 單元均布力的等效

根據(jù)靜力平衡原理計(jì)算均布荷載的等效質(zhì)點(diǎn)外力時(shí)，其表示式為：

(11)

(12)

式中x為積分段dx至A端的距離。

通過單元的虛擬運(yùn)動(dòng)并結(jié)合坐標(biāo)變換可求得其內(nèi)力和變形，虛擬運(yùn)動(dòng)包括正向運(yùn)動(dòng)和逆向運(yùn)動(dòng)，如圖6、圖7所示，其中eAB、eA′B′分別為運(yùn)動(dòng)前后單元的方向向量，lAB、lA′B′為運(yùn)動(dòng)前后單元的長(zhǎng)度，ΔxA、ΔxB為單元兩端節(jié)點(diǎn)的平動(dòng)運(yùn)動(dòng)向量，Δθ為單元轉(zhuǎn)角，ΔuB為單元B節(jié)點(diǎn)不考慮平動(dòng)的運(yùn)動(dòng)向量。

圖6 單元逆向運(yùn)動(dòng)

圖7 單元正向運(yùn)動(dòng)

單元從AB狀態(tài)運(yùn)動(dòng)到A′B′狀態(tài)時(shí)，該時(shí)刻的內(nèi)力

(13)

式中：σ為單元桿件的應(yīng)力；E為桿件的彈性模量；S為桿件的截面面積。

(14)

式中dn為第n時(shí)間段Δt內(nèi)的位移。

考慮阻尼的作用，則式(14)可寫為

(15)

式中μ為阻尼系數(shù)。

4 導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)分析

為驗(yàn)證FPM的適用性，先利用該方法對(duì)經(jīng)典算例進(jìn)行分析，采用Fortran編程，計(jì)算流程如圖8所示。

圖8 計(jì)算流程

4.1 算例分析

以文獻(xiàn)[10]中的經(jīng)典算例為研究對(duì)象，驗(yàn)算FPM的準(zhǔn)確性。如圖9所示，設(shè)直徑為28.143 mm的導(dǎo)線，單位長(zhǎng)度質(zhì)量為1.628 kg/m，長(zhǎng)為366 m，導(dǎo)線運(yùn)行張力為28.024 kN。導(dǎo)線在豎向受幅值為100 N/366 m的均布正弦荷載qsin(ωt)作用，導(dǎo)線單位長(zhǎng)度阻尼系數(shù)為0.1 N·s/m2，荷載作用的頻率f=3.047 Hz。

圖9 導(dǎo)線的計(jì)算模型

導(dǎo)線自振頻率

(16)

式中j為導(dǎo)線自振模態(tài)階數(shù)。

經(jīng)計(jì)算，導(dǎo)線的第17階自振頻率與外荷載的加載頻率相同，根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論可知導(dǎo)線會(huì)產(chǎn)生共振。為驗(yàn)證上述結(jié)論，采用FPM計(jì)算得到導(dǎo)線跨中質(zhì)點(diǎn)在0～2 000 s和0～20 s的振動(dòng)位移曲線，如圖10、圖11所示。

圖10 跨中質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位移曲線(0～2 000 s)

圖11 跨中質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位移曲線(0～20 s)

由圖10、圖11可知，導(dǎo)線振動(dòng)過程中會(huì)經(jīng)歷一段不穩(wěn)定振動(dòng)期后進(jìn)入穩(wěn)定振動(dòng)階段，穩(wěn)定振動(dòng)階段的時(shí)程曲線如圖12所示。

圖12 跨中點(diǎn)穩(wěn)定振動(dòng)時(shí)程曲線

導(dǎo)線達(dá)到穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)后，其振動(dòng)頻率f=3.047 Hz，驗(yàn)證了結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的共振理論。

導(dǎo)線達(dá)到振動(dòng)穩(wěn)定后，取某一時(shí)刻跨中質(zhì)點(diǎn)達(dá)到振動(dòng)峰值時(shí)的各質(zhì)點(diǎn)位移，繪制成圖13所示的導(dǎo)線各點(diǎn)振幅圖。通過該振動(dòng)形態(tài)可清楚地看到整跨導(dǎo)線共17個(gè)波峰和波谷，與其17階自振模態(tài)對(duì)應(yīng)，驗(yàn)證了文獻(xiàn)[10]的結(jié)論，同時(shí)也說(shuō)明FPM的正確性。

圖13 導(dǎo)線各點(diǎn)振幅

當(dāng)外部輸入荷載的頻率與導(dǎo)線自振頻率不一致時(shí)(如4 Hz)，可觀察到如圖14所示的行波效應(yīng)。

圖14 質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的行波效應(yīng)

4.2 導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算

本節(jié)以LGJ-500/450型導(dǎo)線為例，采用FPM計(jì)算不同工況下導(dǎo)線的微風(fēng)振動(dòng)響應(yīng)。導(dǎo)線兩端受水平張力T作用，檔距L為300 m，其主要物理參數(shù)見表1。

表1 導(dǎo)線特性參數(shù)

取1 m長(zhǎng)導(dǎo)線為一個(gè)計(jì)算單元，分別采用FPM和FEM對(duì)表2中的6種工況進(jìn)行計(jì)算分析，其中FPM取計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)h=0.000 1 s，F(xiàn)EM采用ANSYS軟件計(jì)算，時(shí)間步長(zhǎng)取h=0.001 s。施加微風(fēng)激勵(lì)前需給導(dǎo)線以初始擾動(dòng)，本文中給導(dǎo)線每個(gè)質(zhì)點(diǎn)施加100 N的初始荷載，使導(dǎo)線產(chǎn)生初始速度和位移。采用FPM時(shí)，將單元質(zhì)量集中于質(zhì)點(diǎn)處，并給質(zhì)點(diǎn)施加向下的恒定重力加速度來(lái)考慮重力的影響；采用FEM時(shí)，在ANSYS中通過給導(dǎo)線施加向下的恒定重力加速度場(chǎng)來(lái)考慮導(dǎo)線的自重作用。

表2 導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)分析工況

上述6種工況下，在導(dǎo)線跨中質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定后，分別列出2種計(jì)算方法得到的最大振動(dòng)位移，見表3。

表3 導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果

圖15、圖16分別為2種方法計(jì)算得到的風(fēng)速v為2 m/s時(shí)跨中質(zhì)點(diǎn)的位移時(shí)程曲線。

圖15 采用FPM得到的跨中質(zhì)點(diǎn)位移時(shí)程曲線(v=2 m/s)

圖16 采用FEM得到的跨中質(zhì)點(diǎn)位移時(shí)程曲線(v=2 m/s)

采用FPM和FEM計(jì)算上述6個(gè)工況所需時(shí)間見表4。

表4 FPM與FEM計(jì)算時(shí)間對(duì)比

由以上計(jì)算結(jié)果對(duì)比可見，2種方法得到的計(jì)算結(jié)果幾乎一致，說(shuō)明FPM可以用于導(dǎo)線的微風(fēng)振動(dòng)計(jì)算。同時(shí)，相比于FEM，F(xiàn)PM具有更高的計(jì)算效率，計(jì)算同樣工況所需時(shí)間僅為FEM的0.6%。

4.3 導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)影響因素分析

本節(jié)主要研究檔距、風(fēng)速及運(yùn)行張力對(duì)導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)響應(yīng)的影響。

4.3.1 風(fēng)速對(duì)導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)的影響

分別采用EBM和FPM計(jì)算得到不同風(fēng)速下導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)響應(yīng)振幅結(jié)果，如圖17所示。

圖17 不同風(fēng)速下導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)響應(yīng)振幅

從圖7的對(duì)比結(jié)果可知，采用FPM與EBM得到了十分接近的計(jì)算結(jié)果，也進(jìn)一步驗(yàn)證了FPM的準(zhǔn)確性。對(duì)比不同風(fēng)速下的振動(dòng)可知，風(fēng)速越大導(dǎo)線的微風(fēng)振動(dòng)響應(yīng)越小。

4.3.2 檔距對(duì)導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)的影響

4.2節(jié)中的工況均是300 m檔距，本節(jié)以風(fēng)速3.5 m/s的工況為例，采用FEM和FPM來(lái)研究不同檔距下導(dǎo)線的微風(fēng)振動(dòng)響應(yīng)，計(jì)算結(jié)果如圖18所示。

圖18 不同檔距下導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)響應(yīng)振幅

從能量平衡的角度，風(fēng)傳遞給導(dǎo)線的能量與導(dǎo)線自身消耗的能量都是導(dǎo)線長(zhǎng)度的函數(shù)，兩者作用相互抵消。對(duì)比FPM和FEM的計(jì)算結(jié)果可知，不同檔距下導(dǎo)線的微風(fēng)振動(dòng)響應(yīng)幾乎相同，可以忽略檔距的影響，這也驗(yàn)證了能量平衡的結(jié)論。

4.3.3 張力對(duì)導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)的影響

4.2節(jié)中的工況均是在固定張力下進(jìn)行分析，本節(jié)取檔距300 m、風(fēng)速2.5 m/s的工況，利用FEM和FPM分析導(dǎo)線在運(yùn)行張力為其拉斷力的15%、18%、20%、23%、25%時(shí)的微風(fēng)振動(dòng)響應(yīng)，2種方法計(jì)算結(jié)果如圖19所示。

圖19 不同張力下導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)響應(yīng)振幅

由圖19可以看出，導(dǎo)線的運(yùn)行張力越大，其微風(fēng)振動(dòng)響應(yīng)越大，因此實(shí)際工程中應(yīng)控制導(dǎo)線運(yùn)行張力低于其拉斷力的22%。

5 結(jié)論

a)FPM計(jì)算文獻(xiàn)[10]中經(jīng)典算例與該文獻(xiàn)采用有限差分法得到的結(jié)論一致，表明FPM可以用于導(dǎo)線動(dòng)力分析。

b)FPM的計(jì)算結(jié)果與FEM的計(jì)算結(jié)果十分接近，且FPM計(jì)算用時(shí)僅為FEM的0.6%，充分表明了FPM的準(zhǔn)確性和高效性。

c)采用單一變量分析不同因素對(duì)導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)的影響可知，風(fēng)速與運(yùn)行張力對(duì)導(dǎo)線微風(fēng)振動(dòng)響應(yīng)有較大影響，而檔距的影響可以忽略。