陳穎潔

深度思維的課堂，應(yīng)以問(wèn)題解決為中心，充滿(mǎn)思維碰撞式對(duì)話(huà)，生成精彩的結(jié)論。由此可見(jiàn)，問(wèn)題設(shè)計(jì)質(zhì)量的優(yōu)劣直接決定著教學(xué)的成功與否，教師一定要高度重視問(wèn)題設(shè)計(jì)，并圍繞問(wèn)題展開(kāi)課堂，為學(xué)生與文本對(duì)話(huà)、生生對(duì)話(huà)、師生對(duì)話(huà)搭建平臺(tái)。下面，筆者就以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)《解決問(wèn)題的策略——一一列舉》第二課時(shí)教學(xué)為例，談?wù)勅绾瓮ㄟ^(guò)問(wèn)題設(shè)計(jì)助推學(xué)生思維發(fā)展，構(gòu)建深度思維的數(shù)學(xué)課堂。

一、優(yōu)質(zhì)的問(wèn)題設(shè)計(jì)，體現(xiàn)思維的有序

1.定起點(diǎn)——簡(jiǎn)單列舉做到有序。

我們?cè)谡n堂上遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題，很多都可以列出算式，然后求出結(jié)果。但是也有一些問(wèn)題，由于找不到計(jì)算它們的算式，似乎無(wú)從下手。

先對(duì)《解決問(wèn)題的策略——一一列舉》單元進(jìn)行文本分析。

本單元中的第一課時(shí)完成例題1 及相關(guān)練習(xí)的學(xué)習(xí)。

例題1：王大叔用22 根1 米長(zhǎng)的木條圍一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，怎樣圍面積最大？

例題1 側(cè)重感知列舉的基本思考過(guò)程和方法，初步積累解決問(wèn)題的方法。

第二課時(shí)完成例題2 及相關(guān)練習(xí)的學(xué)習(xí)。

例題2：南山小學(xué)舉行小學(xué)生足球賽，有4 支球隊(duì)參加，分別是紅隊(duì)、黃隊(duì)、綠隊(duì)和藍(lán)隊(duì)。如果每?jī)芍蜿?duì)比賽一場(chǎng)，一共要比賽多少場(chǎng)？

例題2 側(cè)重感知列舉的策略特點(diǎn)，提高運(yùn)用能力，增強(qiáng)條理性和嚴(yán)密性。在列舉時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，關(guān)鍵要做到有序地思考，必要時(shí)可以先分類(lèi)再列舉。在列舉出所有的情況后，更需要根據(jù)實(shí)際情況做出判斷和篩選。

對(duì)學(xué)生的學(xué)情分析：本單元教學(xué)用“一一列舉”的策略解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)用列表整理的策略解決問(wèn)題，對(duì)策略運(yùn)用的價(jià)值已經(jīng)有了一些初步的體驗(yàn)和認(rèn)識(shí)。學(xué)習(xí)這一部分知識(shí)的重點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生的有序思維，對(duì)于“有序”，在以前的學(xué)習(xí)和生活中學(xué)生的體驗(yàn)是相當(dāng)深刻的，早在一年級(jí)學(xué)習(xí)10 以?xún)?nèi)數(shù)的分與合的過(guò)程中就已經(jīng)有了初步體會(huì)。隨著教學(xué)的深入，這樣的體驗(yàn)越來(lái)越充分。這樣的經(jīng)驗(yàn)積累，有助于學(xué)生自覺(jué)地調(diào)用經(jīng)驗(yàn)來(lái)學(xué)習(xí)、體會(huì)和應(yīng)用一一列舉這一策略。

教師應(yīng)該如何設(shè)計(jì)優(yōu)質(zhì)問(wèn)題呢？

教材中的例題2，最重要的學(xué)習(xí)目標(biāo)就是經(jīng)歷用一一列舉策略解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，能不遺漏、不重復(fù)地列舉出符合要求的所有答案。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中要認(rèn)識(shí)到解決問(wèn)題的策略是什么？為什么要有序？怎樣有序？教師要發(fā)掘?qū)W習(xí)問(wèn)題，將知識(shí)點(diǎn)以問(wèn)題的形式呈現(xiàn)在學(xué)生面前：

（1）例題2 要用什么方法解決？

（2）應(yīng)按照怎樣的順序進(jìn)行列舉？

（3）是否列舉出所有場(chǎng)次的比賽？

以上三個(gè)問(wèn)題是這樣讓學(xué)生的思維有序展開(kāi)的：

首先，由于找不到計(jì)算例題2 的算式，我們可以將滿(mǎn)足題目要求的對(duì)象一個(gè)一個(gè)列舉出來(lái)。就是確定解決例題2 的方法是“一一列舉”的策略。

其次，定起點(diǎn)，我們可以讓列舉做到有效。一一列舉的核心思想是有序，也就是按照一定的順序進(jìn)行列舉，這樣才能保證列舉不出現(xiàn)重復(fù)和遺漏。確定起點(diǎn)是做到有序的關(guān)鍵一步，就是先要想好從哪里開(kāi)始，然后按照一定順序列舉。從紅隊(duì)開(kāi)始，與黃隊(duì)、綠隊(duì)、藍(lán)隊(duì)分別比賽一場(chǎng)，一共3 場(chǎng)比賽；再?gòu)狞S隊(duì)開(kāi)始比，黃隊(duì)與紅隊(duì)已經(jīng)賽過(guò)一場(chǎng)不用再比，與綠隊(duì)、藍(lán)隊(duì)再賽2 場(chǎng)；同樣再?gòu)木G隊(duì)開(kāi)始比，還有藍(lán)隊(duì)1 場(chǎng)比賽。

呈現(xiàn)的方式可以是列表，也可以是畫(huà)圖。

圖1

最后，是否列舉出所有場(chǎng)次的比賽了呢？在列舉中，有些情況是不符合要求的：紅隊(duì)與其他三支球隊(duì)各比賽一場(chǎng)，就有3 場(chǎng)比賽；一共有4 支球隊(duì)，每支球隊(duì)與其他三支球隊(duì)各比賽一場(chǎng)，一共要進(jìn)行4×3=12 場(chǎng)比賽。這與題目中的“每?jī)芍蜿?duì)比賽一場(chǎng)”就不符了，紅隊(duì)與黃隊(duì)比賽一場(chǎng)，就是黃隊(duì)與紅隊(duì)也比賽了一場(chǎng)。因此，12 場(chǎng)比賽中每?jī)芍蜿?duì)都多算了一場(chǎng)比賽，所以所得結(jié)果還要除以2，即4×3÷2=6 場(chǎng)比賽。在列舉出所有的情況后，需要根據(jù)實(shí)際情況做出判斷和篩選。

2.先分類(lèi)——復(fù)雜列舉做到有序。

遇到較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，對(duì)可能出現(xiàn)的情況要先進(jìn)行分類(lèi)，再一一列舉，學(xué)生缺乏類(lèi)似的體驗(yàn)，有的學(xué)生是憑感覺(jué)，有的學(xué)生對(duì)組合后出現(xiàn)的重復(fù)情況也沒(méi)有足夠的敏感，對(duì)不重復(fù)的意義停留在表面而不會(huì)關(guān)注結(jié)果的重復(fù)，因此需要用優(yōu)質(zhì)的問(wèn)題給學(xué)生方法上的指導(dǎo)。

教材課后練習(xí)十七第6 題：一張靶紙共三圈，投中內(nèi)圈得10 環(huán)，投中中圈得8 環(huán)，投中外圈得6 環(huán)。小華投中1 次，可能得多少環(huán)？投中2 次呢？

小華投中1 次，可能得到的環(huán)數(shù)是10 環(huán)、8 環(huán)或者6 環(huán)。投中1 次的簡(jiǎn)單列舉，不再贅述。

投中2 次，教師要用問(wèn)題對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法進(jìn)行指導(dǎo)：你能自己給投中2 次的不同情況分分類(lèi)，并列舉出所有的可能性嗎？

圖2

小華投中2 次，可能得到的環(huán)數(shù)是20 環(huán)、16環(huán)、12 環(huán)、18 環(huán)或者14 環(huán)。

這個(gè)課后練習(xí)有沒(méi)有被學(xué)生掌握呢？我們可以把條件投中了2 次，修改成“投了2 次”。分成：都不中、中一次、中二次。前面兩個(gè)問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，最后一次情況較復(fù)雜，需要我們像剛才那樣先分類(lèi)后再列舉……這個(gè)練習(xí)題目讓學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)進(jìn)行思維的升華，需要多次分類(lèi)后才能完成。教師用優(yōu)質(zhì)的問(wèn)題將學(xué)習(xí)目標(biāo)轉(zhuǎn)化，用問(wèn)題來(lái)促進(jìn)學(xué)生思維的有序分類(lèi)。

都不中：0 環(huán)。

中一次：6+0（0+6）共6 環(huán)，8+0（0+8）共8 環(huán)，10+0（0+10）共10 環(huán)。

中二次：同上圖2。

當(dāng)問(wèn)題比較復(fù)雜，需要先分類(lèi)再列舉時(shí)，要注意的是分類(lèi)一定要想清楚共有幾種不同的類(lèi)別，并且類(lèi)與類(lèi)之間不重疊。每一類(lèi)列舉時(shí)要包括所有可能的結(jié)果，這樣才能做到不重復(fù)、不遺漏。而且分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)有很多種，我們還要按照一定的順序來(lái)分類(lèi)。并且列舉完成后，要回頭檢驗(yàn)，去偽存真。

二、建立數(shù)學(xué)模型，讓問(wèn)題設(shè)計(jì)有過(guò)程

1．一一列舉就是數(shù)學(xué)建模。

一一列舉就是數(shù)學(xué)建模，是建立數(shù)學(xué)模型用于解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的全過(guò)程，包括表達(dá)、求解、解釋、檢驗(yàn)等基本過(guò)程。通俗地說(shuō)，數(shù)學(xué)模型是借用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言講述現(xiàn)實(shí)世界的故事；數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)講述生活故事的過(guò)程。數(shù)學(xué)模型思想，是指用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述現(xiàn)實(shí)世界所依賴(lài)的思想，也就是讓數(shù)學(xué)走出數(shù)學(xué)的世界，是構(gòu)建數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系橋梁的思想。在數(shù)學(xué)教學(xué)中,滲透數(shù)學(xué)模型思想，就是針對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念和命題，利用學(xué)生可以理解的形象、直觀、具體的實(shí)例來(lái)說(shuō)明，通過(guò)實(shí)例來(lái)幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容。在小學(xué)數(shù)學(xué)中,通過(guò)一個(gè)典型問(wèn)題的解決，帶動(dòng)相關(guān)問(wèn)題的解決，由一個(gè)到一類(lèi)，滲透種數(shù)學(xué)規(guī)律的思想，就可以叫做模型思想。

一一列舉策略的應(yīng)用非常廣泛，它可以幫助我們解決許多看似沒(méi)有頭緒、解決不了的問(wèn)題；我們還可以用一一列舉的策略來(lái)發(fā)現(xiàn)事物的特征和規(guī)律，然后根據(jù)這些發(fā)現(xiàn)來(lái)“建立模型”，進(jìn)而解決一系列問(wèn)題。

教材中的“練一練”：小強(qiáng)、小華和小麗是好朋友。如果他們每?jī)扇酥g通一次電話(huà)，一共要通多少次電話(huà)？如果他們之間互相寄一張節(jié)日賀卡，一共要寄多少?gòu)堎R卡？

建立模型的問(wèn)題設(shè)計(jì)：互相寄一張節(jié)日賀卡與打電話(huà)的解決方法一樣嗎？

小強(qiáng)給小華打電話(huà)，小強(qiáng)跟小華通話(huà)的同時(shí)小華跟小強(qiáng)也通了話(huà)，所以通電話(huà)是沒(méi)有方向性的。只要打3 次電話(huà)就可以滿(mǎn)足每?jī)扇酥g通一次電話(huà)。而互寄賀卡時(shí)，當(dāng)小強(qiáng)寄給小華時(shí)，這張賀卡最后是屬于小華的，小強(qiáng)沒(méi)有拿到賀卡，所以賀卡是有方向性的，要小華寄給小強(qiáng)，小強(qiáng)才能拿到賀卡。因此3個(gè)人每人要收到另外兩位同學(xué)的賀卡，總共要寄6次。（見(jiàn)圖3）

圖3

在許多列舉的過(guò)程中，像剛才“練一練”這一類(lèi)題型，有些是有方向的，比如寄賀卡、數(shù)字的排列，我們要考慮兩種不同的情況；有些是沒(méi)有方向的，比如通電話(huà)、每?jī)芍蜿?duì)比賽一場(chǎng)等，一個(gè)與另一個(gè)在進(jìn)行的時(shí)候，反過(guò)來(lái)另一個(gè)與之也在進(jìn)行同樣的事項(xiàng)。建立模型的問(wèn)題使課堂提問(wèn)有了思維的過(guò)程。

2.用規(guī)律模型，使思維前后融通。

剛才的例題2“定起點(diǎn)”，使列舉做到有效。這時(shí)才4 個(gè)球隊(duì)，在畫(huà)圖、列表的方法下，我們可以快速地解決“每?jī)芍蜿?duì)比賽一場(chǎng)”共比賽幾場(chǎng)的問(wèn)題。如果是40 支、400 支球隊(duì)，這樣的方法就不合適了。我們必須邊列舉、邊找規(guī)律，不必把所有的情況都列舉出來(lái)，可以根據(jù)前面所找到的規(guī)律來(lái)列式解答。

建立模型的問(wèn)題設(shè)計(jì)：第一支球隊(duì)要與其他球隊(duì)比賽多少場(chǎng)？

如果有4 支球隊(duì)，那么第一支球隊(duì)要與其他三支球隊(duì)比賽，一共要比3 場(chǎng)；第二支球隊(duì)比賽2場(chǎng)、第三支球隊(duì)比賽1 場(chǎng)。算式就是3+2+1。如果有40 支球隊(duì)，那么第一支球隊(duì)要與其他39 支球隊(duì)比賽39 場(chǎng)，根據(jù)等差數(shù)列就是39+38+37+……2+1=（39+1）×39÷2=780（場(chǎng)）。

像上面這樣的球隊(duì)比賽、通電話(huà)的次數(shù)是沒(méi)有方向性的，一共有n 個(gè)球隊(duì)，第一個(gè)球隊(duì)與其他球隊(duì)要進(jìn)行（n-1）場(chǎng)比賽；一個(gè)球隊(duì)與另一個(gè)球隊(duì)進(jìn)行比賽時(shí)，后者與前者也在進(jìn)行比賽，所以多算了一次，就要除以2。即n 個(gè)球隊(duì)，每?jī)蓚€(gè)球隊(duì)比賽一場(chǎng)，一共要進(jìn)行n×（n-1）÷2 場(chǎng)比賽。

像寄賀卡、排數(shù)字等這種有方向性的，即前者與后者的組合和后者與前者的組合結(jié)果不同時(shí)，所得結(jié)果不需要除以2。比如30 個(gè)同學(xué)互相寄一張賀卡，一共要寄多少?gòu)堎R卡呢？第一個(gè)同學(xué)要寄給其他29 個(gè)同學(xué)，30 個(gè)人每人都是寄出29 張，所以一共要寄30×29=870（張）。即n 個(gè)同學(xué)互相寄一張賀卡，一共要寄n×（n-1）張。

碰到數(shù)據(jù)比較大的一一列舉的實(shí)際問(wèn)題，我們可以先用比較小的數(shù)據(jù)來(lái)舉例，然后邊舉例、邊找規(guī)律，不必、也沒(méi)有可能把大數(shù)據(jù)一一列舉。這時(shí)我們就可以用小數(shù)據(jù)所找到的規(guī)律模型，使思維前后融通。在這中間，找準(zhǔn)體現(xiàn)規(guī)律的模型問(wèn)題很重要。因?yàn)檫@個(gè)關(guān)鍵性的問(wèn)題為確立模型、找到相應(yīng)的規(guī)律，闡述了詳細(xì)的過(guò)程，由點(diǎn)及面、由少到多地完整體現(xiàn)了思維的過(guò)程。

教師的責(zé)任是點(diǎn)燃學(xué)生的思維火把, 而不是澆滅學(xué)生的思維火花。教師要善于利用問(wèn)題，讓學(xué)生最大限度地產(chǎn)出成果而不是復(fù)原結(jié)論。所以，優(yōu)質(zhì)問(wèn)題是教學(xué)目標(biāo)的轉(zhuǎn)化,是教學(xué)內(nèi)容的提煉,是學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的依據(jù)。優(yōu)質(zhì)問(wèn)題設(shè)計(jì)的基本特征應(yīng)該是“在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)內(nèi),引發(fā)認(rèn)知沖突,激發(fā)思維碰撞”。

欄目介紹

【教學(xué)策略】透視教學(xué)現(xiàn)象，探尋教學(xué)方法，求索教學(xué)規(guī)律。

【名師課堂】展示經(jīng)典課例，領(lǐng)略名家風(fēng)采；推介成功教例，凸顯不同風(fēng)格。

【教案精選】突出自身教學(xué)特點(diǎn)，融合課程理念，讓讀者有所得，有所思。

【課堂再現(xiàn)】緊扣課標(biāo)理念，注重實(shí)踐過(guò)程，強(qiáng)調(diào)可操作性。

【磨課手記】典型課例的教學(xué)反思，一課多教的案例剖析。

【感悟名師】感悟名師教學(xué)的精彩設(shè)計(jì)，領(lǐng)悟課標(biāo)理念的靈活體現(xiàn)。

【教例反思】探究教學(xué)設(shè)計(jì)的成敗得失，反省教學(xué)過(guò)程的點(diǎn)點(diǎn)滴滴。

【教學(xué)一得】教研活動(dòng)中形成的點(diǎn)滴心得或隨筆。