謝偉，周慕瑩，齊紫玉

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072)

0 引 言

無論是工程實際應(yīng)用還是科研學(xué)術(shù)研究，疲勞壽命問題一直備受重視。人們通過研究應(yīng)力與疲勞壽命或應(yīng)變與疲勞壽命之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的疲勞壽命預(yù)測模型，以解決結(jié)構(gòu)件的高周或低周疲勞壽命預(yù)測問題，其中Manson-Coffin方程作為低周疲勞壽命預(yù)測模型較為常用[1]。近幾十年來，在固體力學(xué)學(xué)科中，損傷力學(xué)已被廣泛用于描述結(jié)構(gòu)件高周和低周疲勞的破壞過程，通過與有限元法結(jié)合，建立材料的本構(gòu)關(guān)系和損傷演化方程，可以有效地預(yù)估結(jié)構(gòu)件的疲勞壽命。

I.R.Memon[2]采用損傷力學(xué)-有限元法驗證加載次序?qū)ζ趬勖挠绊懸?guī)律，結(jié)果表明，基于損傷力學(xué)-有限元法得到的壽命值與試驗結(jié)果基本一致；L.Guo等[3-5]研究發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)的疲勞損傷累積是一個復(fù)雜的過程，通過對關(guān)鍵區(qū)域的疲勞損傷進行進一步分析，簡化計算過程，可有效解決實際工程問題；P.Colombi[6]研究了人體腿骨骼的疲勞損傷過程，該類疲勞損傷累積過程屬于非線性的，通過損傷力學(xué)-有限元法得到了不同加固金屬結(jié)構(gòu)進行修復(fù)時人體腿骨骼的疲勞損傷過程。鄭旭東等[7]在損傷步長概念的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了疲勞裂紋形成與擴展的預(yù)估公式，預(yù)估了2024和7075兩種材料多種幾何參數(shù)含缺口板試件的全壽命，結(jié)果表明，預(yù)測結(jié)果與試驗結(jié)果基本吻合，滿足工程要求，解決了傳統(tǒng)預(yù)估構(gòu)件壽命需進行大量實驗的難題，節(jié)省了時間和人力；周太全[8]采用損傷力學(xué)-有限元法對焊接構(gòu)件疲勞損傷過程進行分析，在有限元軟件ABAQUS中編寫了焊接構(gòu)件全耦合疲勞損傷的用戶子程序文檔，實現(xiàn)了對焊接構(gòu)件疲勞損傷分析的計算過程，得到了相關(guān)疲勞損傷累積的計算結(jié)果；唐雪松等[9]預(yù)估了30CrMnSiA2A材料含溝槽軸對稱試件的疲勞裂紋形成壽命，30CrMnSiA2A材料含溝槽軸對稱試件局部存在應(yīng)力集中區(qū)域，疲勞過程中會發(fā)生塑性變形，在此基礎(chǔ)上提出了一種耦合損傷的彈塑性本構(gòu)方程與損傷演化方程，結(jié)果表明，疲勞壽命理論預(yù)測結(jié)果與實驗結(jié)果吻合較好；張彥軍等[10]發(fā)現(xiàn)雖然載荷譜作用下帶板連接件局部單元的應(yīng)力超過材料屈服極限，但外載荷與危險點應(yīng)力之間仍然呈現(xiàn)線性關(guān)系，在此基礎(chǔ)上可對應(yīng)力譜進行塑性修正以節(jié)省計算時間，并對比在此載荷譜下閉合解法和損傷力學(xué)-有限元法帶板連接件的疲勞壽命預(yù)測值，結(jié)果表明，通過修改計算步長，可提高兩種方法計算結(jié)果的一致性；關(guān)迪等[11]在連續(xù)損傷力學(xué)和能量原理等理論的基礎(chǔ)上，提出了一種新的低周疲勞損傷演化方程，可有效地預(yù)測金屬材料的低周疲勞壽命，并以金屬材料7051-T7451鋁合金加以驗證，結(jié)果表明，該方法計算獲得的結(jié)果與試驗結(jié)果符合較好；李國峰等[12]基于LY12材料的S-N曲線，結(jié)合損傷力學(xué)-有限元全耦合方法分析飛機典型連接耳片結(jié)構(gòu)的疲勞過程，其結(jié)果精度滿足要求，可作為工程應(yīng)用的參考依據(jù)。

30CrMnSiA材料在淬火高溫回火條件下表現(xiàn)出較高的強度和良好的韌性，可用于制造各種特殊耐磨零部件以及砂輪軸、齒輪、活塞類零部件等，在機械、汽車、飛機等領(lǐng)域中均有廣泛應(yīng)用[13-14]。但目前，國內(nèi)外關(guān)于30CrMnSiA材料缺口試樣的低周疲勞性能研究相對較少。因此，本文基于損傷力學(xué)-有限元方法對高強度鋼30CrMnSiA材料缺口試樣開展低周疲勞性能預(yù)測研究，并與相應(yīng)的試驗結(jié)果進行對比，以期為其在航空航天工業(yè)等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用提供理論和技術(shù)支持。

1 材料和試驗

實驗用材料為30CrMnSiA高強度鋼。試驗件分為光滑試樣和缺口試樣，試驗件總長為220 mm，加持端直徑為18 mm，長度為60 mm。已有研究表明，缺口半徑是影響缺口表面應(yīng)力集中程度的主要因素。因此，設(shè)計缺口半徑分別為R3=3 mm、R4=4 mm和R5=5 mm，缺口深度為1 mm的缺口試樣。試樣結(jié)構(gòu)和尺寸如圖1所示。

(a)光滑試樣

(b)缺口試樣

(c)缺口試樣局部細節(jié)圖1 試樣結(jié)構(gòu)和幾何示意圖Fig.1 Structure and geometry of specimen

取5個光滑試樣，按照GB/T 228-2002進行常規(guī)力學(xué)性能試驗，得到材料基本性能參數(shù)，如表1所示，表中數(shù)據(jù)均為5組數(shù)據(jù)的平均值。

表1 室溫下30CrMnSiA材料的拉伸性能Table 1 Tensile properties of 30CrMnSiA at room temperature

材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如圖2所示，可以看出：30CrMnSiA材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線沒有明顯的屈服現(xiàn)象。

圖2 室溫下30CrMnSiA材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.2 Stress-strain curves of 30CrMnSiA material at room temperature

在實驗頻率為1 Hz、應(yīng)力比R為0.06、加載波形為正弦波條件下對光滑試樣和缺口試樣分別進行低周疲勞試驗。針對R4型缺口試樣進行最大應(yīng)力分別為672、704、723、730、770 MPa的低周疲勞試驗，對R3型和R5型缺口試樣進行最大應(yīng)力為723 MPa的低周疲勞試驗。最大應(yīng)力指的是缺口試樣光滑區(qū)域處的最大應(yīng)力，它使得缺口表面的最大應(yīng)力在屈服極限附近且不超過抗拉極限。每個應(yīng)力水平下取10個試驗件進行試驗。

由于疲勞試驗得到的疲勞壽命具有分散性，分散程度的高低會影響疲勞壽命結(jié)果的準(zhǔn)確性以及壽命預(yù)測方法選擇的合理性[15]。采用剔除平行試驗數(shù)據(jù)最大值和最小值的方法對低周疲勞試驗數(shù)據(jù)進行處理，處理后的低周疲勞試驗結(jié)果如表2所示，疲勞壽命為處理后的數(shù)據(jù)取平均值。

表2 室溫下低周疲勞壽命Table 2 Low-cycle fatigue at room temperature

2 30CrMnSiA材料彈塑性本構(gòu)關(guān)系

求解彈塑性問題的困難主要來自應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的復(fù)雜性。為了簡化計算，首先應(yīng)對材料應(yīng)力-應(yīng)變曲線加以簡化[16]。

由圖2可知，30CrMnSiA材料沒有明顯的屈服現(xiàn)象，因此選用線性強化彈塑性模型[17]對30CrMnSiA材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系進行簡化。由5組試驗數(shù)據(jù)得到的試驗均值應(yīng)力-應(yīng)變曲線和簡化后的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖3所示。

圖3 30CrMnSiA材料應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.3 Stress-strain curve of 30CrMnSiA material

圖3中，對于彈性階段OA，斜率為E，E=210 020 MPa。對于塑性階段AB，斜率為Et，Et=2 440 MPa，Et與E的關(guān)系為

Et=PE

(1)

式中：P=0.011 6。

綜上，30CrMnSiA材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可表示為

(2)

式中：εs為屈服應(yīng)力σs對應(yīng)的屈服應(yīng)變。

若在加載過程中，結(jié)構(gòu)內(nèi)任一點的應(yīng)力分量都遵循同一比例，即

(3)

則該結(jié)構(gòu)的加載過程滿足簡單加載[17]，可以用簡單拉伸的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式表示任何應(yīng)力狀態(tài)的各應(yīng)力分量的應(yīng)力曲線。

那么，不同時刻的應(yīng)力分量滿足：

(4)

式中：n為1,2,3,4,5。

因此，不同時刻的各應(yīng)力分量間的比值關(guān)系可表示為

(5)

(6)

3 損傷演化方程

在交變載荷作用下，材料性質(zhì)的劣化表現(xiàn)為材料剛度的下降。引入損傷度D表示材料劣化的程度，即

(7)

式中：E為材料無損時的彈性模量；ED為材料損傷度為D時的彈性模量。

考慮損傷度后，材料含損傷時的本構(gòu)關(guān)系變?yōu)?/p>

σ=E(1-D)ε

(8)

式中：σ、ε分別為應(yīng)力、應(yīng)變。這一本構(gòu)關(guān)系反映了損傷場與應(yīng)力-應(yīng)變場之間的耦合關(guān)系。

選用文獻[19]提出的單軸加載下的損傷演化方程，該方程可直接對彈性、彈塑性及純脆性的損傷進行統(tǒng)一描述，無需進行修改，其表達式為

(9)

式中：D為損傷度；N為應(yīng)力循環(huán)次數(shù)；σmax為材料受到最大載荷時對應(yīng)的等效應(yīng)力；σth為材料應(yīng)力門檻值；α，p為材料損傷參數(shù)。

采用文獻[20]中提出的參數(shù)擬合方法，通過對表2中光滑試樣疲勞數(shù)據(jù)進行擬合，即可獲得損傷演化方程(式(9))中的各參數(shù)值，如表3所示。

表3 30CrMnSiA材料損傷演化參數(shù)Table 3 Damage evolution parameters of 30CrMnSiA materials

4 分析流程

基于損傷力學(xué)-有限元全耦合方法，在有限元軟件ABAQUS材料子程序中建立耦合疲勞損傷的材料模型，在應(yīng)力場中引入損傷演化的影響，然后用這種損傷全耦合方法對缺口試樣進行分析計算。有限元軟件ABAQUS進行疲勞損傷力學(xué)分析的流程如圖4所示。

圖4 有限元軟件ABAQUS進行疲勞損傷力學(xué)分析流程圖Fig.4 Flow chart of fatigue damage mechanics analysis by finite element software ABAQUS

首先在有限元軟件ABAQUS中完成對缺口試樣的三維有限元建模和網(wǎng)格劃分，為了節(jié)省計算時間，提高計算精度，避免不收斂，對缺口表面進行局部網(wǎng)格細化，建立單元集合，重點輸出缺口處應(yīng)力集中區(qū)域的損傷變化關(guān)系。然后在UMAT中建立耦合疲勞損傷的材料模型，并在有限元軟件ABAQUS提供的用戶子程序接口上嵌入已編寫好的UMAT子程序。最后提交Job計算，進行疲勞損傷分析。

UMAT子程序結(jié)構(gòu)損傷失效流程如圖5所示。

圖5 UMAT子程序結(jié)構(gòu)損傷失效流程圖Fig.5 Flow chart of structural damage failure using UMAT subprogram

從圖5可以看出：在進行結(jié)構(gòu)疲勞損傷分析的過程中，假定結(jié)構(gòu)初始損傷D0=0，當(dāng)SMises>σth時，即缺口表面的Mises應(yīng)力大于材料應(yīng)力門檻值時，結(jié)構(gòu)開始發(fā)生損傷，損傷變化量為dD，固定循環(huán)次數(shù)dN內(nèi)的損傷變化量dD均相同，即循環(huán)次數(shù)dN的損傷總量為dD×dN，循環(huán)次數(shù)dN后單元剛度矩陣衰減并進行循環(huán)計算。由于低周疲勞總循環(huán)次數(shù)較少，可初始選定循環(huán)次數(shù)dN=1 000，隨著損傷量D的逐漸增大，可通過減小循環(huán)次數(shù)dN的值來獲得更加準(zhǔn)確的疲勞損傷模擬過程。在UMAT子程序中，通過控制參數(shù)Time(2)與分析步時間“T”的關(guān)系實現(xiàn)一個循環(huán)僅發(fā)生一次損傷，其中Time(2)表示分析步開始時刻的總時間的值，T表示小于分析步總時間“1”的時間且接近于“1”的總時間值。

5 缺口試件損傷演化分析

采用損傷力學(xué)-有限元法對R4型缺口試樣進行壽命預(yù)測，試樣尺寸及結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。ABAQUS中建立的試樣有限元模型如圖6所示，缺口部分的有限元細節(jié)如圖7所示。

圖6 缺口試樣有限元模型示意圖Fig.6 Finite element model for notched specimen

圖7 缺口細節(jié)有限元模型示意圖Fig.7 Finite element model of the notch details

缺口試樣在不同載荷水平下的疲勞損傷度隨載荷循環(huán)的變化曲線如圖8所示。R4型缺口試樣在最大應(yīng)力為723 MPa時，缺口表面單元在不同疲勞壽命階段的疲勞損傷演化過程如圖9所示，SDV7表示損傷度D。

圖8 基于損傷力學(xué)-有限元法的R4型缺口試樣損傷-壽命曲線Fig.8 Damage-life curve of R4 notched specimen based on damage mechanics-finite element method

(a)N=1 000

(b)N=2 000

(c)N=3 000

(d)N=4 000

(e)N=5 000

(f)N=6 000

(g)N=7 000

(h)N=8 000

(i)N=9 000

(j)N=10 000圖9 缺口試樣損傷演化過程數(shù)值模擬圖Fig.9 Numerical simulation of damage evolution process of notched specimen

從圖8～圖9可以看出：在疲勞損傷演化過程中，缺口中心處損傷值最大，損傷程度最嚴重；在疲勞損傷演化過程的前期，損傷值隨載荷循環(huán)變化緩慢，當(dāng)損傷值達到一定范圍，即到疲勞損傷后期時，損傷值隨載荷循環(huán)變化迅速?？梢?，通過損傷力學(xué)-有限元法模擬得到的R4型缺口試樣的疲勞損傷演化過程與實際低周疲勞過程相符。

基于損傷力學(xué)-有限元法的低周疲勞壽命預(yù)測結(jié)果與疲勞試驗結(jié)果[18]的對比如表4所示。

表4 損傷力學(xué)-有限元法壽命預(yù)測結(jié)果與疲勞試驗結(jié)果Table 4 Prediction results by damage mechanics-finite element method and fatigue test results

從表4可以看出：通過損傷力學(xué)-有限元法得到的R4型缺口試樣的低周疲勞壽命預(yù)測結(jié)果與試驗均值疲勞壽命結(jié)果相差較大，一般在20%左右，而與對數(shù)疲勞壽命間的誤差相對較小，基本在2%左右；考慮疲勞壽命試驗數(shù)據(jù)具有一定的分散性，將損傷力學(xué)-有限元法的預(yù)測壽命與疲勞試驗壽命最接近值進行對比，誤差基本在5%左右，對數(shù)疲勞壽命間的誤差均在1%以下?？梢姡趽p傷力學(xué)-有限元法得到的疲勞壽命值與試驗壽命結(jié)果間的誤差滿足工程精度要求，可用來描述30CrMnSiA缺口試樣的低周疲勞規(guī)律。

6 結(jié) 論

(1)基于彈塑性全量理論建立的30CrMnSiA材料彈塑性本構(gòu)關(guān)系，方法合理，可有效解決因傳統(tǒng)本構(gòu)關(guān)系帶來的復(fù)雜計算問題。

(2)通過對30CrMnSiA缺口試樣低周疲勞壽命的分析，損傷演化曲線和損傷演化過程都反映出結(jié)構(gòu)損傷累積前期緩慢后期加劇的特點，符合真實結(jié)構(gòu)的破壞規(guī)律，說明損傷力學(xué)-有限元法可用來對實際結(jié)構(gòu)進行低周疲勞壽命預(yù)測。

(3)基于損傷力學(xué)-有限元法的壽命預(yù)測值與疲勞試驗所測壽命間的相對誤差滿足工程實際要求，表明可將該方法用于工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計階段，用來評估結(jié)構(gòu)疲勞性能的優(yōu)劣，減少試驗費用。