崔恒劉

當(dāng)代著名的計算數(shù)論專家卡爾，1944年出生于美國密蘇里州的喬普林。他于1972年獲得哈佛大學(xué)博士學(xué)位，博士論文中證明了任何奇完美數(shù)至少有7個不同的質(zhì)因數(shù)，畢業(yè)后就職于喬治亞大學(xué)，并于1982年成為終身教授。他曾在多家學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)和著名大學(xué)任職，榮獲多項國際數(shù)學(xué)大獎，出版過多部數(shù)學(xué)著作，發(fā)表學(xué)術(shù)論文近200篇，在國際數(shù)論研究領(lǐng)域有廣泛的影響。

卡爾曾回憶學(xué)生時代發(fā)生過的一件有趣的事情：上中學(xué)時，一次他去參加數(shù)學(xué)競賽，其中一道題是分解自然數(shù)8051。求解這種題的常規(guī)方法是大家熟悉的因數(shù)檢驗法， 然而他沒有使用一般的因數(shù)檢驗法，而是動腦筋，試圖發(fā)現(xiàn)8051的因數(shù)的簡單算法。但是在規(guī)定的時間內(nèi)卡爾失敗了，因而與獲獎失之交臂。分解質(zhì)因數(shù)是整數(shù)乘法的逆運算，實現(xiàn)這種反向任務(wù)有時異常艱難，而我們大家熟知的互聯(lián)網(wǎng)安全正是建立在“分解出大整數(shù)的約數(shù)（通常是質(zhì)數(shù)）是極其困難的問題”這一基礎(chǔ)上的。

事實上，8051存在簡單的分解方法：8051=8100-49=902-72=（90+7）（90-7）=97×83。

失利的卡爾并沒有放棄對問題的深入思考，他給自己提出了一個挑戰(zhàn)性的問題：一個能夠分解的整數(shù)是否一定是兩個整數(shù)的平方差？經(jīng)過進(jìn)一步的思考，卡爾得到一個數(shù)論上很有名的定理：每個奇合數(shù)必定能用平方差的方式分解為兩個大于1的整數(shù)之積。

證明：若c是奇合數(shù)，則必存在大于1的奇數(shù)m、n，使得c=mn。

當(dāng)m=n時，c=m2-02，且m+0=m-0=m>1，結(jié)論成立;

當(dāng)m≠n時，不妨設(shè)m>n，x=[m+n2]，y=[m-n2]，因為m、n均為奇數(shù)，所以x、y均為整數(shù)，且x+y=m>1，x-y=n>1，c=mn=（x+y）（x-y），結(jié)論成立;

綜合上述兩種情況，結(jié)論得證。

俄羅斯著名作家托爾斯泰說：為靈魂建一塊高地，才能俯視塵埃，從容自信，不流世俗。卡爾的故事告訴我們：在研究數(shù)學(xué)問題時一定要鍥而不舍，只要意志力堅強，多難的數(shù)學(xué)問題都是能搞清楚的;遇到難題時，做一次就能做明白的很少，能完整地記住它的更少，做一遍，隔一段時間再研究一遍，過一段時間再總結(jié)一遍，這樣三番五次地研究它，你將永遠(yuǎn)記住它;如果一時受困于某個具體問題，要學(xué)會轉(zhuǎn)換思考的視角，敢于猜想，敢于提出問題，積極形成反思的意識;在學(xué)習(xí)時一定要善于動腦，多思考，凡事問一個“為什么”，養(yǎng)成探究問題、大膽質(zhì)疑的習(xí)慣，所謂“學(xué)貴有疑，小疑則小進(jìn)，大疑則大進(jìn)”。

（作者單位：江蘇省東臺市實驗中學(xué)教育集團(tuán)中心校區(qū)）