歐湘萍 閆志濠 李 塘 朱云升 呂乃芝 郭慧峰 魯 聰

(武漢理工大學(xué)交通學(xué)院1) 武漢 430063) (浙江省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院有限責(zé)任公司2) 杭州 310000)(內(nèi)蒙古高等級(jí)公路建設(shè)開(kāi)發(fā)有限責(zé)任公司3) 呼和浩特 010060)(湖北省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)院股份有限公司4) 武漢 430051)

0 引 言

近年來(lái)，隨著西部地區(qū)高速公路的快速發(fā)展，大量黃土隧道建成并投入使用，由濕陷性黃土流變特性所引發(fā)的隧道等構(gòu)造物的長(zhǎng)期穩(wěn)定性問(wèn)題越來(lái)越受到人們的重視[1-2].由于黃土分布的地域性，不同區(qū)域的黃土的力學(xué)性質(zhì)與結(jié)構(gòu)特性會(huì)有所差異，因此，無(wú)論是應(yīng)力、應(yīng)變分析還是本構(gòu)模型[3]的建立都不具有普適性，必須結(jié)合當(dāng)?shù)攸S土的實(shí)際情況并通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析得出[4-5].文中以蘭州定遠(yuǎn)隧道的濕陷性黃土為研究對(duì)象，在黃土三軸蠕變?cè)囼?yàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)該濕陷性黃土的本構(gòu)模型進(jìn)行了研究，以反映濕陷性黃土的流變特性.研究可為解決黃土地區(qū)因濕陷性黃土流變而造成的隧道穩(wěn)定性問(wèn)題提供借鑒[6].

1 經(jīng)驗(yàn)本構(gòu)模型

經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ褪悄軌蚍从吃嚇恿髯兦€形狀的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它直接建立在對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析上，具有簡(jiǎn)單明了、參數(shù)較少的優(yōu)點(diǎn)，在工程實(shí)踐中應(yīng)用起來(lái)方便快捷.但經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ鸵灿衅洳蛔阒?，譬如缺乏?yán)謹(jǐn)理論依據(jù)的支持，受試驗(yàn)條件等因素影響較大，在土體類(lèi)型和應(yīng)力狀態(tài)改變時(shí)，經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪m用性仍有待提高等等.

通過(guò)對(duì)黃土試樣進(jìn)行含水率試驗(yàn)，得到定遠(yuǎn)隧道濕陷性黃土的含水率范圍為1.6%～11.7%，由此選取1.6%,5%,11.7%三個(gè)含水率下的濕陷性黃土進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)本構(gòu)模型擬合分析.

擬合優(yōu)度記為R2，常作為反映本構(gòu)模型擬合效果的表征指標(biāo)，可以良好的表征模型的適用性.R2取值范圍為0～1，擬合優(yōu)度越大(越靠近1)，則表示所建模型對(duì)試驗(yàn)曲線的擬合程度越高，越能描述其土樣的實(shí)際流變特性.擬合優(yōu)度的計(jì)算公式為

(1)

式中：SSE為殘差平方和;SST為總離差平方和.SSE，SST的計(jì)算公式如下.

(2)

1.1 Singh-Mitchell模型

在現(xiàn)有的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭?，由辛格和米切爾?968年建立的Singh-Mitchell模型應(yīng)用較為廣泛，模型數(shù)學(xué)表達(dá)式為[7-8]

(3)

對(duì)式(3)進(jìn)行換元，令B=At1/(1-m),λ=1-m，可將模型公式轉(zhuǎn)化為

(4)

對(duì)式(4) 兩端取自然對(duì)數(shù)，得

(5)

ln (ε-ε0)=λlnt+β

(6)

以1.6%，5%含水率的濕陷性黃土試樣為例，繪出ln (ε-ε0)-lnt散點(diǎn)圖并擬合,見(jiàn)圖1.

圖1 Singh-Mitchell模型的ln (ε-ε0)-ln t圖

由圖1可知，其應(yīng)變差-時(shí)間雙對(duì)數(shù)曲線用一次函數(shù)擬合時(shí)，擬合優(yōu)度R2均在0.988以上，具有良好的線性關(guān)系，由此求得Singh-Mitchell應(yīng)變-時(shí)間本構(gòu)模型中的參數(shù)λ，β取值見(jiàn)表1.

表1 模型參數(shù)λ，β取值

獲取參數(shù)λ，β后，即可根據(jù)以上由式(6)轉(zhuǎn)化而來(lái)的應(yīng)變-時(shí)間式(7)，求出各時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的模型擬合應(yīng)變，其與實(shí)際應(yīng)變的對(duì)比見(jiàn)圖2.

ε=ε0+eβtλ

(7)

圖2 Singh-Mitchell模型擬合圖

計(jì)算擬合應(yīng)變與實(shí)際應(yīng)變間擬合優(yōu)度R2的值，見(jiàn)表2.

表2 擬合優(yōu)度R2統(tǒng)計(jì)表

由上述相關(guān)圖表可知，采用的Singh-Mitchell模型對(duì)濕陷性黃土試樣曲線擬合優(yōu)度值都在0.98以上，線形重合度良好，僅在最末端擬合值稍高于實(shí)際應(yīng)變量.

當(dāng)時(shí)間t與參考時(shí)間t1相等時(shí)，式(4)可化簡(jiǎn)為：

(8)

式(8)兩端取自然對(duì)數(shù)，求得應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為

(9)

ln (ε-ε0)=aσ3+lnB

ε-ε0=Beaσ3

(10)

取參考時(shí)間t1為1 h，繪出1.6%，5%兩種含水率下濕陷性黃土試樣的ln (ε-ε0)-σ3散點(diǎn)圖，擬合情況見(jiàn)圖3.

圖3 ln(ε-ε0)-σ3關(guān)系圖

由圖3中的擬合情況及擬合優(yōu)度R2取值中可知，當(dāng)試驗(yàn)時(shí)間t=t1=1 h=3 600 s時(shí)，本試驗(yàn)所用土樣的應(yīng)變差對(duì)數(shù)值與試驗(yàn)所用圍壓σ3有較好的對(duì)應(yīng)關(guān)系，參數(shù)a，B值計(jì)算見(jiàn)表3.

表3 參數(shù)a，B計(jì)算值表

因此，1.6%，5%兩種含水率下的濕陷性黃土試樣在t=3 600 s時(shí)所對(duì)應(yīng)的Singh-Mitchell擬合方程為

1.6%含水率土樣：ε-ε0=0.010 8e-0.001 4σ3

5%含水率土樣：ε-ε0=0.004 6e0.008 1σ3

(11)

上述所討論的Singh-Mitchell模型擬合精度相對(duì)較高，且模型參數(shù)可與圍壓建立關(guān)聯(lián)，具有一定的物理意義，但也存在著適用范圍不廣的問(wèn)題.經(jīng)過(guò)進(jìn)一步計(jì)算發(fā)現(xiàn)，對(duì)本試驗(yàn)中11.7%含水率試樣的試驗(yàn)曲線用Singh-Mitchell模型擬合時(shí)，其擬合優(yōu)度較低.Singh-Mitchell經(jīng)驗(yàn)本構(gòu)模型無(wú)法完整描述本試驗(yàn)中1.6%，5%，11.7%三種含水率黃土試樣的應(yīng)變-時(shí)間關(guān)系，原因在于所取黃土在不同含水率時(shí)的應(yīng)變-時(shí)間曲線會(huì)表現(xiàn)出較大差別：較低含水率(1.6%與5%)下，試樣蠕變曲線的應(yīng)變率趨向于均勻減小；而對(duì)11.7%的較高含水率試樣，由于其結(jié)構(gòu)強(qiáng)度偏低導(dǎo)致蠕變總量本就普遍高于較低含水率試樣，因此可以看出Singh-Mitchell經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦m用于擬合后期仍有較可觀應(yīng)變的末端傾斜曲線.

1.2 對(duì)數(shù)經(jīng)驗(yàn)本構(gòu)模型

為了建立能夠同時(shí)反應(yīng)本試驗(yàn)中較低含水率(1.6%，5%)與較高含水率(11.7%)的濕陷性黃土試樣流變特性的經(jīng)驗(yàn)本構(gòu)模型，在分析得知模型擬合效果與流變后期曲線應(yīng)變率有關(guān)后，決定以最常用的對(duì)數(shù)模型ε=A+Blnt為藍(lán)本，增加一個(gè)可自由控制曲線末端斜率且與時(shí)間相關(guān)的Ct因子，所得模型為

ε=A+Blnt+Ct

(12)

本對(duì)數(shù)模型中有A，B，C三個(gè)參數(shù)，選擇采用OrignPro 8.0分析軟件進(jìn)行擬合，得到的對(duì)數(shù)經(jīng)驗(yàn)本構(gòu)模型擬合結(jié)果見(jiàn)圖4.

圖4 對(duì)數(shù)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛿M合圖

文中采用的對(duì)數(shù)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?duì)本試驗(yàn)中1.6%，5%，11.7%三種含水率試樣的應(yīng)變-時(shí)間曲線都能達(dá)到較高的擬合程度，且擬合優(yōu)度處于0.94～0.97范圍內(nèi)，擬合效果比較穩(wěn)定.由于加入了與時(shí)間相關(guān)的Ct單項(xiàng)式，末端的計(jì)算應(yīng)變值依舊普遍略大于試驗(yàn)應(yīng)變且仍保持有穩(wěn)定的增加趨勢(shì)，這與實(shí)際流變?cè)囼?yàn)中試樣應(yīng)變最終趨于穩(wěn)定的現(xiàn)象有所出入.

對(duì)數(shù)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)與擬合優(yōu)度R2見(jiàn)表4.

表4 對(duì)數(shù)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)及擬合優(yōu)度R2表

由表4可知，參數(shù)A取值與試樣初始應(yīng)變?chǔ)?大小相近，變化規(guī)律也與之相同：較低圍壓(100 kPa)下A隨含水率的增大而變小，較高圍壓(300 kPa)下則相反，可知本模型中A值代表的含義等同于初始應(yīng)變.參數(shù)B作為與對(duì)數(shù)時(shí)間相乘的因子，在100，200和300 kPa三種圍壓下都隨含水率的增大而增大；而表征曲線末端第二流變階段常應(yīng)變速率的參數(shù)C則與圍壓(偏應(yīng)力)的變化有明顯關(guān)聯(lián)，對(duì)同一含水率試樣，流變趨向于穩(wěn)定前的應(yīng)變率隨偏應(yīng)力的增大而增大，見(jiàn)圖5.

圖5 參數(shù)B，C變化規(guī)律

2 Burgers元件本構(gòu)模型

元件模型法是將Hooke彈性體、Newton黏壺及St. Venant塑性體等分別反映彈性、黏滯性、塑性等不同力學(xué)特性的元件按照土體實(shí)際性質(zhì)組合成力學(xué)模型，然后根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)求出組合模型各項(xiàng)參數(shù)的方法.

首先結(jié)合卸載回彈階段的應(yīng)變情況，可知所需元件模型應(yīng)至少包含造成初始應(yīng)變的串聯(lián)彈性體與一個(gè)可產(chǎn)生彈性后效的開(kāi)爾文體，此時(shí)即構(gòu)成三單元的廣義開(kāi)爾文模型，但該模型的曲線末端趨于平緩，僅可反映第一階段蠕變趨于穩(wěn)定的情況.從建立對(duì)數(shù)模型的經(jīng)驗(yàn)中可知，文中所得試驗(yàn)曲線的末端普遍較為傾斜，應(yīng)處于具有常應(yīng)變速率的第二蠕變階段，與增加可自由控制曲線末端斜率且與時(shí)間相關(guān)的Ct項(xiàng)類(lèi)似，因此，決定在廣義開(kāi)爾文模型的基礎(chǔ)上，增加一個(gè)反映常應(yīng)變速率的串聯(lián)粘壺元件，最終形成了反映土樣粘彈性的四參數(shù)Burgers(伯格斯)模型，其結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖6.

圖6 Burgers模型結(jié)構(gòu)

由圖6可知，所選用的Burgers元件模型由四個(gè)單元構(gòu)成：虎克彈簧G1與牛頓黏壺η1串聯(lián)形成Maxwell(麥克斯韋)模型，彈性體G2和黏壺η2并聯(lián)構(gòu)成Kelvin(開(kāi)爾文)模型，最后再將Maxwell體與Kelvin體串聯(lián)，最終形成Burgers模型.

本文中的濕陷性黃土流變?cè)囼?yàn)是在三向應(yīng)力狀態(tài)下進(jìn)行，對(duì)Burgers模型中的彈性體變形情況應(yīng)采用剪切模量G與體積模量K來(lái)表示，模型變形計(jì)算公式為

(13)

式中：σⅠ，σⅡ與流變的三向應(yīng)力大小有關(guān)，其公式為

σⅠ=σ1-σ3

σⅡ=σ1+2σ3

(14)

式中：剪切模量G體現(xiàn)的是三向加壓狀態(tài)下由于偏應(yīng)力引起虎克彈性體形狀改變的性質(zhì)，體積模量K則體現(xiàn)了在三向等壓狀態(tài)下的體變特性，其方程為

(15)

(16)

式中：E為彈性模量；μ為土體泊松比，本次試驗(yàn)所取濕陷性黃土泊松比參考值μ為0.44，再通過(guò)式(15)～(16)可將Burgers模型中需擬合的未知量轉(zhuǎn)化為E1，E2，η1，η2四個(gè)參數(shù)，它們分別代表著本構(gòu)關(guān)系中兩個(gè)彈性體的彈性模量與兩個(gè)粘壺的粘滯系數(shù).

2.1 模型參數(shù)計(jì)算

對(duì)Maxwell體中串聯(lián)彈性體參數(shù)E1，令試驗(yàn)時(shí)間t=0，綜合式(13)～(16)可得

式中：t=0時(shí)的初始應(yīng)變?chǔ)?可從試驗(yàn)中獲得，其余參數(shù)σ1，σ3及μ值均已知，則可求出E1.

對(duì)串聯(lián)粘壺系數(shù)η1，從伯格斯本構(gòu)模型式(13)可知，σⅠ/3η1即為流變曲線斜率.對(duì)所得應(yīng)變-時(shí)間曲線，當(dāng)t較大時(shí)，將曲線末端視為直線并通過(guò)線性回歸求出斜率值k，則可通過(guò)式η1=σⅠ/3k計(jì)算出η1.

求取Kelvin體中的模型參數(shù)E2，η2時(shí)，需在Burgers本構(gòu)方程(13)中令t趨于無(wú)窮大，則有

(18)

用式(18)減去式(13)可得q值：

(19)

q值為蠕變末端漸近線與實(shí)際應(yīng)變之差，對(duì)式(19)兩端取對(duì)數(shù)，可得

(20)

繪出lnq-t關(guān)系散點(diǎn)圖，按照線性回歸對(duì)其添加趨勢(shì)線，求得擬合直線的截距和斜率，再結(jié)合式(14)～(15)分別求出E2,η2的數(shù)值.

2.2 模型擬合結(jié)果分析

按照2.1的三個(gè)步驟可計(jì)算出不同含水率(1.6%,5%,11.7%)和不同圍壓(100,200和300 kPa)下濕陷性黃土試樣的伯格斯參數(shù)值，將其代入伯格斯模型式(13)中，可得各試驗(yàn)條件下的應(yīng)變-時(shí)間函數(shù)，從而求出各時(shí)間點(diǎn)的擬合應(yīng)變與實(shí)際應(yīng)變值，見(jiàn)圖7.

圖7 Burgers元件模型擬合圖

由圖7可知，由于Burgers模型的力學(xué)特性決定了擬合曲線末端是具有常應(yīng)變速率的的第二流變階段，而實(shí)際試驗(yàn)中應(yīng)變時(shí)間曲線后期則是趨于平緩，應(yīng)變速率逐漸減小,因此,擬合曲線的尾部均有稍高于實(shí)際應(yīng)變量的現(xiàn)象.但從整體擬合情況上看，伯格斯模型擬合應(yīng)變與實(shí)際應(yīng)變間的擬合精度R2值都大于0.96，見(jiàn)表5.可以較好地描述本試驗(yàn)中所有濕陷性黃土試樣的流變性質(zhì).

3 結(jié) 論

1) 在兩種經(jīng)驗(yàn)本構(gòu)模型中，Singh-Mitchell模型對(duì)兩種含水率下(1.6%,5%)的濕陷性黃土流變?cè)囼?yàn)曲線的擬合優(yōu)度R2值均在0.98以上，在兩種經(jīng)驗(yàn)本構(gòu)模型中擬合優(yōu)度較高，但適用范圍有限，無(wú)法反映試驗(yàn)中較高含水率下(11.7%)試樣的流變特性；經(jīng)過(guò)修改的對(duì)數(shù)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，其擬合優(yōu)度R2在兩種經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭刑幱谥械人?，但可適用于本試驗(yàn)中三種含水率下(1.6%,5%,11.7%)的濕陷性黃土試樣全部應(yīng)變曲線，是擬合效果更好的經(jīng)驗(yàn)本構(gòu)模型.

2) Burgers元件模型對(duì)濕陷性黃土流變?cè)囼?yàn)曲線的擬合優(yōu)度R2高于對(duì)數(shù)經(jīng)驗(yàn)本構(gòu)模型，也可適用于不同含水率(1.6%,5%,11.7%)與不同圍壓(100,200和300 kPa)下的濕陷性黃土試樣的流變特性分析，且各元件參數(shù)意義較為明確.因此，在對(duì)定遠(yuǎn)隧道進(jìn)行穩(wěn)定性分析與變形預(yù)測(cè)中，Burgers元件模型比對(duì)數(shù)經(jīng)驗(yàn)本構(gòu)模型更為合適.

表5 Burgers元件模型參數(shù)表