何陽光,李小兵,趙思源,熊思宇

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院,陜西 西安 710051)

0 引言

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中,高性能的導(dǎo)彈對戰(zhàn)爭的勝負起著十分重要的作用,因此,提高導(dǎo)彈的飛行速度、射程與機動性等性能越來越迫切。為了提高導(dǎo)彈的速度與機動性,導(dǎo)彈的外形便趨于細長化設(shè)計。通常把長徑比大于15的導(dǎo)彈稱為大長徑比導(dǎo)彈或彈性體導(dǎo)彈,大長徑比導(dǎo)彈相比于過去的導(dǎo)彈,由于彈性特征十分明顯,除了要解決參數(shù)攝動、干擾和不確定性等問題,還要考慮彈性振動的抑制。否則有可能會影響彈上設(shè)備的正常工作,甚至造成損壞。

解決不確定性問題,尤其是非匹配不確定性問題,常用的方法為反演控制[1],但單純的反演控制存在“計算爆炸”問題,比較好的解決辦法是引入一階低通濾波器,即動態(tài)面控制[2]。除了反演控制以外,滑?？刂品椒▽ζヅ洳淮_定性具有很強的魯棒性[3],因此,可以將兩者結(jié)合,獲得更好的控制效果。隨著干擾觀測器的提出,利用干擾觀測器來估計系統(tǒng)中的干擾和不確定性成為解決非線性系統(tǒng)控制問題的一個新方法[4]。針對振動抑制問題,采用常規(guī)的魯棒控制類方法僅能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并不能實現(xiàn)振動的有效抑制[5],彈上設(shè)備依然處于惡劣的工作環(huán)境中。為了解決這個問題,學(xué)者們作了大量研究,Sahjendra[6]針對模型未知的彈性飛行器的大角度機動問題設(shè)計了自適應(yīng)控制器,并引入模態(tài)速度反饋補償器抑制彈性振動,取得了較好的控制效果。此外,Zhen Yu[7]和Rickey[8]等分別采用自適應(yīng)位置反饋和模型預(yù)測的方法實現(xiàn)振動的抑制,但以上文獻中均將剛體運動與彈性振動分離,使用了作動器產(chǎn)生橫向控制力來抑制振動,這樣將會增加硬件結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性。張雷[9]等人采用兩自由度H控制方法,把振動模態(tài)引入到性能函數(shù)中,達到振動的主動抑制,但沒有考慮彈性振動對剛體運動的影響,所設(shè)計的控制器較復(fù)雜,且對模型精度有一定要求。Wu Guanghui[10]對彈性高超聲速飛行器設(shè)計了基于非線性干擾觀測器的魯棒自適應(yīng)反演控制器,加快了振動的衰減速度。采用類似方法的還有Wang Na[11],他們都是將彈性模態(tài)視為干擾,利用觀測器估計出彈性模態(tài)的值,但所用的彈性高超聲速飛行器模型中彈性振動改變的是模型的參數(shù)進而影響系統(tǒng)狀態(tài)的變化率,并沒有直接改變系統(tǒng)狀態(tài)的大小,因此,剛體運動與彈性模態(tài)的耦合程度低,當彈性振動直接改變系統(tǒng)狀態(tài)的大小時,彈性模態(tài)的抑制效果一般。Ahmad[12]設(shè)計了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的主動振動抑制器,利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強大的非線性逼近能力克服彈性振動。本文針對受非匹配不確定影響的彈性體導(dǎo)彈彈性振動與剛體運動耦合問題,提出一種基于非線性干擾觀測器的自適應(yīng)反演控制算法。

1 模型描述

1.1 剛體運動模型

大氣層內(nèi)導(dǎo)彈俯仰/偏航通道非線性剛體模型為[13]:

(1)

1.2 彈性振動模型

在建立彈體彈性振動模型之前,先給出彈性坐標系的定義:坐標系的原點O選擇在彈頭頂點上,Ox軸與剛體彈軸重合,由彈頭指向彈尾,Oy軸在俯仰平面內(nèi),與Ox軸垂直并指向上方,Oz軸與Ox軸和Oy軸垂直,并形成右手直角坐標系。將導(dǎo)彈視為兩端自由的歐拉梁,以俯仰通道為例,彈體橫向振動的方程為：

(2)

式(2)中,y(x,t)為表征梁彈性變形的函數(shù),m(x)為質(zhì)量分布函數(shù),EI(x)為剛度分布函數(shù),Wy(x,t)為梁受到的側(cè)向力,邊界條件為：

此邊界條件表示梁兩端的彎矩和剪力都為零。

彈性變形函數(shù)y(x,t)的表達式為：

(3)

式(3)中,qi(t)為第i階振型的廣義坐標,Φi(x)為第i階模態(tài)振型函數(shù),將式(3)代入式(2),采用分離變量法得到如下廣義坐標方程：

(4)

式(4)中,ξi、ωi分別表示第i階振型的阻尼比和固有振動頻率,Qi為第i階振型的廣義力,Mi為第i階振型的廣義質(zhì)量,且有：

(5)

Φi(x)=ai(sinhkix+sinkix)+coshkix+coskix,

彈性變形會引起俯仰角發(fā)生變化,產(chǎn)生一個附加的角速度,由彈性振動產(chǎn)生的附加俯仰角速度為：

(6)

偏航通道振動模型與俯仰通道類似,為簡化計算,本文僅考慮前兩階彈性振動模態(tài),結(jié)合式(4)和式(6),下面給出導(dǎo)彈俯仰/偏航通道彈性振動模型

(7)

式(7)中,qzi(t)，qyi(t)分別表示俯仰和偏航通道第i階振動的廣義坐標,Qzi(t)，Qyi(t)，Mzi，Myi分別表示相應(yīng)的廣義力和廣義質(zhì)量,ωzi0，ωyi0，ξzi，ξyi表示對應(yīng)的振動頻率和阻尼比。

1.3 綜合模型

由于彈性體導(dǎo)彈的彈性特征明顯,在受到外界干擾時,容易發(fā)生彈性振動,從而改變彈體的姿態(tài)角并在一定程度上影響彈體的氣動特性。把振動對氣動特性的影響視為參數(shù)攝動,則結(jié)合式(1)和式(7)可以得到彈性體導(dǎo)彈俯仰/偏航通道綜合模型為：

(8)

式(8)中,ωzr，ωyr分別為剛體俯仰和偏航角速度,為便于分析,把振動計入到干擾中,取系統(tǒng)狀態(tài)為x1=[α,β]T,x2=[ωzr,ωyr]T,未知干擾和振動不確定性為D1、D2,控制量為u=[δz,δy]T,則彈性體導(dǎo)彈模型狀態(tài)空間表達式形式為：

(9)

式(9)中，

假設(shè)1 干擾di及其一階導(dǎo)數(shù)有界。

2 自適應(yīng)減振控制算法

2.1 非線性干擾觀測器

由于系統(tǒng)中包含干擾項,因此,需要設(shè)計干擾觀測器對干擾值進行估計,考慮如下一階不確定系統(tǒng):

(10)

式(10)中,x∈R為系統(tǒng)狀態(tài)變量,f(x)，g(x)為連續(xù)的函數(shù),u∈R為控制輸入,d∈R為未知干擾。針對上述不確定系統(tǒng),干擾觀測器設(shè)計為：

(11)

(12)

式(12)中,O(·)表示高階無窮小,φ=(1-?)/?,?∈(0,min(τ/(τ+n),1/2)),n≥2。

證明 :分兩種情況證明。

并且有:

(9)

利用文獻[15]設(shè)計的微分跟蹤器,取n=2,則微分跟蹤器的形式變?yōu)椋?/p>

(13)

2.2 反演控制器設(shè)計

首先定義式(9)中每個子系統(tǒng)的跟蹤誤差

zi=xi-xid,i=1,2

(14)

式(14)中,xid為每個子系統(tǒng)的虛擬控制量。下面分兩步進行控制器設(shè)計。

步驟1 對式(9)的第1個子系統(tǒng)跟蹤誤差進行求導(dǎo),可得：

(15)

反演法控制需要對虛擬控制量進行求導(dǎo)。為避免求導(dǎo)所引起的復(fù)雜計算,采用式(13)所示微分跟蹤器對x2c的一階導(dǎo)數(shù)進行估計,得到可執(zhí)行的指令x2d。

(16)

步驟2 對第2個子系統(tǒng)跟蹤誤差進行求導(dǎo),可得:

(17)

假設(shè)2 干擾估計誤差E1、E2以及虛擬控制指令x2c的導(dǎo)數(shù)估計誤差E3均有界,即存在未知正數(shù)ηj滿足‖E1‖≤η1，‖E2‖≤η2，‖E3‖≤η3,j=1,2,3。

下面對系統(tǒng)穩(wěn)定性進行分析,選取Lyapunov函數(shù)

(18)

對式(18)進行求導(dǎo)可得：

因此,通過選取較大的hi,可保證系統(tǒng)狀態(tài)跟蹤誤差收斂到一個足夠小的鄰域內(nèi)。

2.3 自適應(yīng)律設(shè)計

上面設(shè)計的控制器對剛體模型具有較好的跟蹤控制效果,但是當系統(tǒng)出現(xiàn)彈性模態(tài)與剛體運動耦合時,并不能有效抑制彈體的振動。通常情況下,為了提高控制器的性能,控制器的增益應(yīng)盡可能地高,但高的增益會激發(fā)彈體的彈性模態(tài),減慢振動衰減的速度,甚至引起振動發(fā)散。因此,下面通過設(shè)計自適應(yīng)律實時地調(diào)整控制器的增益,在剛體運動與彈性振動出現(xiàn)耦合時減小彈性模態(tài)對舵機的影響,以實現(xiàn)姿態(tài)跟蹤與振動抑制的目的。

自適應(yīng)控制律的輸出是自適應(yīng)參數(shù)ki,利用實際彈體與參考模型的相關(guān)狀態(tài)信息,根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)的變化,動態(tài)調(diào)整控制器的增益,降低彈性模態(tài)對剛體運動的耦合影響,提高系統(tǒng)的控制系能和魯棒性。自適應(yīng)律包含狀態(tài)誤差信號濾波項和一階溢出項,自適應(yīng)律的表達式如下：

(20)

式(20)中,bi為誤差信號濾波項的增益,ci為溢出項增益,且bi、ci都大于零,-biyi為狀態(tài)誤差信號濾波項,-ci(ki-1)為溢出項。誤差信號濾波項的輸出信號yi是對實際彈體與理想?yún)⒖寄Ｐ偷臓顟B(tài)誤差信號進行整流濾波得到的,參考模型選取為無不確定性和干擾的彈體剛體模型。yi的表達式如下：

(21)

式(21)中,HHP(s)=s/(s+300)為線性高通濾波器,HLP(s)=3/(s+3)為線性低通濾波器,eir=‖xi-xir‖為實際彈體與理想?yún)⒖寄Ｐ椭g的狀態(tài)誤差信號,xir為參考模型的狀態(tài)。由式(21)可以看出,由于振動信號相比于剛體運動屬于高頻信號,經(jīng)過式(21)的處理得到的yi的值反映了振動的強度,整流過程中存在信號平方項。因此,yi的值總是大于零的,而yi在自適應(yīng)律中前面為負號,所以誤差信號濾波項對自適應(yīng)參數(shù)ki的影響總是使ki減小。結(jié)合式(20)來看,當振動逐漸衰減時,yi的值將變?yōu)?,即式(20)右邊第一項為0,如果沒有干擾影響,自適應(yīng)參數(shù)ki=1。為防止ki的值減小為負值導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定,將自適應(yīng)律修改為：

因此,控制律式(15)和式(17)可修改為：

將新的控制律代入式(19)得：

因為ki>0,Lyapunov函數(shù)的收斂性與上節(jié)相同,所以增加自適應(yīng)律以后系統(tǒng)仍然是穩(wěn)定的。

3 仿真分析

為了驗證本文所提出算法的有效性,這里利用Matlab/Simulink環(huán)境進行仿真。設(shè)置仿真初始條件為:導(dǎo)彈初始姿態(tài)角[α,β]T=[0,0]Trad,初始姿態(tài)角速度[ωz,ωy]T=[0,0]Trad/s,參考指令和干擾設(shè)置為:

干擾觀測器參數(shù)和自適應(yīng)律參數(shù)如表1所示。振動阻尼比為0.02,振動頻率為24 Hz,下面仿真時分兩種情況進行。

表1 控制參數(shù)

情形一:振動廣義坐標的初值為0,驗證控制器在無振動情況下的控制性能。由于無振動情況下自適應(yīng)參數(shù)k的值趨近于1,因此自適應(yīng)律此時的作用很小,在受到干擾的情況下基于NDO的反演控制器應(yīng)具有比較好的控制性能,保證導(dǎo)彈平穩(wěn)飛行。施加正弦干擾得到的仿真結(jié)果如圖1—圖3所示。

圖1 攻角/側(cè)滑角跟蹤誤差Fig.1 Angle of attack/sideslip angle tracking error

圖2 自適應(yīng)參數(shù)Fig.2 Adaptive parameters

圖3 俯仰/偏航舵偏角變化Fig.3 Deflection of pitching/yaw rudder angle

圖1所示為攻角與側(cè)滑角跟蹤誤差,其中攻角跟蹤誤差不超過0.006 rad,側(cè)滑角跟蹤誤差不超過0.003 rad,穩(wěn)定在一個很小的范圍內(nèi),說明控制效果良好。圖2所示為自適應(yīng)參數(shù)k的變化。由于振動初始值設(shè)置為0,所以整個過程中振動非常弱,自適應(yīng)參數(shù)近似等于1,自適應(yīng)律對反演控制器的影響很小,可以忽略。由于側(cè)滑角初始值和參考指令初值有較大的初始誤差,導(dǎo)致舵偏角變化較大,激發(fā)了彈體的彈性模態(tài),所以,圖3中舵偏角存在持續(xù)的小幅振蕩。

情形二:振動廣義坐標的初值為0.01,驗證控制器在振動情況下的控制性能。仿真結(jié)果如圖4—圖6所示。

圖4和圖5分別為俯仰/偏航通道的姿態(tài)角跟蹤誤差、一階振動廣義坐標和舵偏角指令,從圖中可以看出,加入自適應(yīng)律以后姿態(tài)角振動衰減速度明顯加快,并且舵偏角指令和一階振動廣義坐標也明顯減小,說明自適應(yīng)律起到了很好的振動抑制作用。圖6所示為自適應(yīng)參數(shù)的變化,結(jié)合圖4和圖5可知,振動幅度比較大時,自適應(yīng)參數(shù)減小以降低彈性模態(tài)與剛體運動的耦合影響,振動衰減到一定程度后自適應(yīng)參數(shù)逐漸回歸到1。另外,由于該方法是通過減小控制器增益來實現(xiàn)振動抑制的,因此,控制器的動態(tài)性能會受到影響,從圖4(a)和圖5(a)可以看出,盡管加入自適應(yīng)律以后姿態(tài)角跟蹤誤差振動衰減更快,但剛體姿態(tài)角誤差收斂變慢。

圖4 俯仰通道Fig.4 Pitching channel

圖5 偏航通道Fig.5 Yaw channel

圖6 自適應(yīng)參數(shù)Fig.6 Adaptive parameters

4 結(jié) 論

本文針對帶有非匹配不確定項的彈性體導(dǎo)彈姿態(tài)跟蹤與振動抑制問題,提出了一種基于非線性干擾觀測器的自適應(yīng)反演控制算法,利用干擾觀測器估計出干擾與不確定性,并通過自適應(yīng)律動態(tài)調(diào)整控制器增益,可以有效克服干擾與彈性振動對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。仿真結(jié)果表明，所提出的控制算法能夠有效抑制彈性振動的耦合影響,并實現(xiàn)導(dǎo)彈姿態(tài)的穩(wěn)定跟蹤。由于自適應(yīng)律對控制算法增益的調(diào)節(jié)是與原控制算法增益直接相乘,因此,并未改變原有控制系統(tǒng)的設(shè)計原理,易于在工程中實現(xiàn)。