劉玉華 王文清

【摘?要】?函數(shù)的單調(diào)性是高中階段第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言來(lái)定量刻畫的函數(shù)性質(zhì)，對(duì)于函數(shù)其它性質(zhì)的學(xué)習(xí)具有范式的作用.函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)習(xí)函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)等其它數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ)，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要模型和常用工具，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要載體.本教學(xué)設(shè)計(jì)從數(shù)學(xué)知識(shí)整體的角度設(shè)計(jì)教學(xué)，讓學(xué)生了解知識(shí)的來(lái)龍去脈，感受知識(shí)的形成過(guò)程，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，啟迪思維.

【關(guān)鍵詞】?函數(shù);單調(diào)性;整體建構(gòu);啟迪思維

1?教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)

1.1?教學(xué)目標(biāo)

（1）通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、交流、歸納、反思，幫助學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法;進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.

（2）通過(guò)“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的求知欲，發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

1.2?教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：增（減）函數(shù)定義及其形成過(guò)程，判斷和證明簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性.

教學(xué)難點(diǎn)：從圖象升降的直觀感知抽象出增（減）函數(shù)的定義.

2?教學(xué)過(guò)程

2.1?溫故知新，創(chuàng)設(shè)情境

設(shè)計(jì)說(shuō)明：從學(xué)生初中學(xué)過(guò)的函數(shù)入手，在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)設(shè)置問(wèn)題，使學(xué)生學(xué)會(huì)研究函數(shù)基本性質(zhì)的方法，從而引出課題.

師：我們?cè)诔踔袑W(xué)過(guò)哪幾種函數(shù)？請(qǐng)你分別畫出它們具有代表性的一個(gè)草圖.

生眾：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù).

（師選取學(xué)生畫的四種函數(shù)圖象并投影.）

師：根據(jù)我們選取的函數(shù)圖象，你能說(shuō)出它有哪些特征嗎？

師：同學(xué)們回答得很好，在事物變化過(guò)程中，保持不變的特征就是這個(gè)事物的性質(zhì). 函數(shù)的性質(zhì)有很多，今天我們先學(xué)習(xí)函數(shù)從左到右圖象上升或下降的這種變化規(guī)律——函數(shù)的單調(diào)性.

點(diǎn)評(píng)?學(xué)生經(jīng)常覺(jué)得“課堂上聽(tīng)得懂，課下不會(huì)做題”，原因在于學(xué)生不明白應(yīng)該怎樣思考問(wèn)題，如何學(xué)習(xí)新知識(shí)，本設(shè)計(jì)較好地示范了如何學(xué)習(xí)新知，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)就是要通過(guò)數(shù)學(xué)教會(huì)思維.

2.2?循序漸進(jìn)，建構(gòu)定義

點(diǎn)評(píng)?通過(guò)觀察函數(shù) f（x）=x2的圖象，從形的角度，完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識(shí);然后，從“數(shù)”的角度，在y軸左（右）側(cè)，描述函數(shù)值隨著自變量x的增大而減小（增大），完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性的第二次認(rèn)識(shí);接下來(lái)，通過(guò)不斷設(shè)問(wèn)、追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考不斷深入、觸及本質(zhì)和核心，進(jìn)而運(yùn)用符號(hào)語(yǔ)言描述“函數(shù)值f（x）隨著自變量x的增大而增大（減?。保瓿蓪?duì)函數(shù)單調(diào)性的第三次認(rèn)識(shí);并在這一重點(diǎn)、難點(diǎn)之處，適時(shí)讓學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組交流、討論，這是很及時(shí)、很必要、很有效的;最后，把函數(shù) f（x）=x2的單調(diào)性，推廣到一般函數(shù)的單調(diào)性，完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性的第四次認(rèn)識(shí).上面“口答”中的3個(gè)小題雖然簡(jiǎn)單，但較好地完成了對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的第一次深化理解——定義的充要性特質(zhì).在這一環(huán)節(jié)的教學(xué)中，函數(shù)單調(diào)性定義的建構(gòu)充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)較好地得到了落實(shí).

2.3?解決問(wèn)題，深化理解

設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)兩個(gè)例題，讓學(xué)生知道判斷函數(shù)的單調(diào)性有2種方法：圖象法和定義法，進(jìn)一步鞏固和深化學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的理解.

點(diǎn)評(píng)?例1（1）是前面根據(jù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性題目的變式，由原來(lái)的連續(xù)函數(shù)變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的第二次深化理解;（2）通過(guò)判斷正誤，特別是③，是定義的等價(jià)形式，幫助學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的第三次深化理解.

點(diǎn)評(píng)?執(zhí)教者注意暴露學(xué)生的思維過(guò)程，抓住學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)、模糊點(diǎn)進(jìn)行辨析，對(duì)證明過(guò)程糾正、完善，完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的第四次深化理解.

2.4?反思小結(jié)，形成網(wǎng)絡(luò)

設(shè)計(jì)說(shuō)明：課堂小結(jié)從以下五個(gè)方面設(shè)計(jì)，主要是幫助學(xué)生梳理數(shù)學(xué)知識(shí)，總結(jié)數(shù)學(xué)方法，體會(huì)數(shù)學(xué)思想，感悟?qū)W習(xí)過(guò)程，通過(guò)畫出知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，使學(xué)生的思維網(wǎng)絡(luò)化、條理化.

師：同學(xué)們，我們本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？是如何獲得這些知識(shí)的？在獲得這些知識(shí)的過(guò)程中用到了哪些思想、方法？有哪些基本題型？你有何感悟？

學(xué)生回答，師補(bǔ)充完善并出示本節(jié)課的結(jié)構(gòu)圖（略）.

2.5?跟蹤訓(xùn)練，鞏固深化

設(shè)計(jì)說(shuō)明：作業(yè)的目的是進(jìn)一步鞏固所學(xué)，作業(yè)1進(jìn)一步回扣本節(jié)課開(kāi)頭提出的問(wèn)題，從“形”和“數(shù)”兩個(gè)角度討論函數(shù)的單調(diào)性;作業(yè)2進(jìn)一步深化對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的理解，掌握證明的步驟.

點(diǎn)評(píng)?平時(shí)教學(xué)中，作業(yè)布置存在多而雜的現(xiàn)象，本作業(yè)設(shè)計(jì)雖然數(shù)量不多，但極具探究性和代表性，作業(yè)1涉及分類討論思想，作業(yè)2涉及轉(zhuǎn)化與化歸思想，都是對(duì)所學(xué)函數(shù)單調(diào)性的鞏固深化，題目不難，但較好地培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力.

3?總評(píng)

要上好一節(jié)課，必須站在數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的高度進(jìn)行整體把握，要有一條主線貫穿課堂始終，避免僅僅就事論事，把知識(shí)點(diǎn)一個(gè)個(gè)孤立起來(lái)進(jìn)行教學(xué).本節(jié)課的主線清晰，脈絡(luò)分明，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，讓學(xué)生學(xué)得了知識(shí)、掌握了方法、提高了能力，較好地發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

3.1?整體建構(gòu)，創(chuàng)設(shè)情景

好的開(kāi)端是成功的一半.創(chuàng)設(shè)合理的情境引入課題，是上好課的關(guān)鍵.本節(jié)課的引入從復(fù)習(xí)初中學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)入手，在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)設(shè)置問(wèn)題，使學(xué)生明白新知識(shí)的學(xué)習(xí)不是“從天而降”，不過(guò)是在舊知識(shí)基礎(chǔ)上的進(jìn)一步延伸、拓展和深化，讓學(xué)生清楚應(yīng)該如何研究函數(shù)的基本性質(zhì)，研究函數(shù)的哪些性質(zhì)等等，讓學(xué)生“知其然”，并且知其“所以然”.這樣，學(xué)生學(xué)到的不僅僅是知識(shí)，還有思考問(wèn)題的方法.

3.2?思維核心，注重素養(yǎng)

）上函數(shù)值f（x）隨著自變量x的增大而增大呢？”，“將其推廣到一般情況，試給出增函數(shù)的定義，并類比得出減函數(shù)的定義”，引導(dǎo)學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)（形）上升到理性認(rèn)識(shí)（數(shù)），從具體（特殊的二次函數(shù)）到抽象（一般的函數(shù)），符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使得學(xué)生的認(rèn)識(shí)不斷螺旋上升，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).又如，對(duì)定義的深化理解，也是分為四個(gè)階段，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)分段函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)文字?jǐn)⑹霰嫖龊瘮?shù)的單調(diào)性，最后利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，深化的過(guò)程由淺入深，“知道——理解——掌握”，逐步推進(jìn)，設(shè)計(jì)可謂極具匠心，較好地發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

3.3?邏輯清晰，重點(diǎn)突出

本節(jié)課的邏輯清晰，課堂以“情境引入——建構(gòu)定義——定義應(yīng)用”為線索，站在知識(shí)整體的角度設(shè)計(jì);建構(gòu)定義，通過(guò)循序漸進(jìn)的四次認(rèn)識(shí)完成;定義運(yùn)用通過(guò)循序漸進(jìn)的四次深化，使得本節(jié)課始終圍繞一個(gè)主題“函數(shù)的單調(diào)性定義”進(jìn)行，重點(diǎn)突出鮮明.其中在定義的建構(gòu)環(huán)節(jié)，用符號(hào)語(yǔ)言描述“函數(shù)值f（x）隨著自變量x的增大而增大（減小）”是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，為此，教師“咬文嚼字”，引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出“要描述自變量x的增大，就要取兩個(gè)不同的x值，然后比較相應(yīng)的函數(shù)值f（x）的大小”等等;又如，“任意”兩字是學(xué)生認(rèn)識(shí)的難點(diǎn)，為此，教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生舉反例、畫圖象等，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)“任意”的必要性和重要性.整節(jié)課，教師主導(dǎo)給力，學(xué)生主體用力，課堂和諧，一派生機(jī).

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）指出：“數(shù)學(xué)教育幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想和方法;提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界;促進(jìn)學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展，探尋事物變化規(guī)律……” [1]本節(jié)課較好地做到了這一點(diǎn).

參考文獻(xiàn)

[1]?中華人民共和國(guó)教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.1.