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        車(chē)輛最佳動(dòng)力性泛函表達(dá)及數(shù)值解法

        2019-08-27 02:20:58郭智薔吳維劉洋李博苑士華
        關(guān)鍵詞:動(dòng)力性速比油門(mén)

        郭智薔, 吳維, 劉洋, 李博, 苑士華

        (1.北京理工大學(xué) 機(jī)械與車(chē)輛學(xué)院,車(chē)輛傳動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100081; 2.北京特種車(chē)輛研究所,北京 100081)

        無(wú)級(jí)變速傳動(dòng)裝置能夠?qū)崿F(xiàn)車(chē)輛傳動(dòng)系統(tǒng)速比連續(xù)不間斷調(diào)整,使得任何車(chē)速下發(fā)動(dòng)機(jī)均能夠工作在最佳工況點(diǎn)及高效工作區(qū)[1-2]. 通過(guò)合理控制無(wú)級(jí)傳動(dòng)車(chē)輛的速比,可以使無(wú)級(jí)變速車(chē)輛具有更好的車(chē)輛動(dòng)力性與燃油經(jīng)濟(jì)性,近年來(lái)關(guān)于無(wú)級(jí)變速傳動(dòng)裝置速比及其變化率的控制策略研究成為車(chē)輛研究的熱點(diǎn)之一[3-4].

        傳統(tǒng)的無(wú)級(jí)變速車(chē)輛的最佳動(dòng)力性速比控制策略由Tsukuda K等提出,控制發(fā)動(dòng)機(jī)始終工作在各油門(mén)開(kāi)度下的最大功率點(diǎn). 羅勇等[5]在此基礎(chǔ)上考慮發(fā)動(dòng)機(jī)輸出特性和無(wú)級(jí)傳動(dòng)效率特性,以傳動(dòng)系聯(lián)合輸出功率最大為優(yōu)化目標(biāo),采用窮舉法得到任意車(chē)速和油門(mén)開(kāi)度下的目標(biāo)速比. 馬士澤等[6]提出無(wú)級(jí)變速速比PID控制方法,經(jīng)仿真分析后指出速比變化率對(duì)加減速性能起著關(guān)鍵性作用,其決定著輸出功率和阻力功率的動(dòng)態(tài)匹配關(guān)系. 徐少兵等[7]將無(wú)級(jí)變速傳動(dòng)車(chē)輛經(jīng)濟(jì)性行駛控制策略的辨識(shí)構(gòu)建為一個(gè)Bolza最優(yōu)控制問(wèn)題,利用Legendre偽譜最優(yōu)控制法進(jìn)行了定量研究,指出最優(yōu)加速策略是與發(fā)動(dòng)機(jī)特性和目標(biāo)末速度密切相關(guān)的動(dòng)態(tài)策略.

        泛函分析理論具有高度的抽象性和概括性,近年來(lái)泛函分析廣泛應(yīng)用于最優(yōu)控制問(wèn)題,但在車(chē)輛傳動(dòng)領(lǐng)域應(yīng)用相對(duì)較少[8]. 文中為進(jìn)一步提高無(wú)級(jí)變速車(chē)輛動(dòng)力性,實(shí)現(xiàn)最佳動(dòng)力性速比控制,引入泛函分析方法,以目標(biāo)速比作為泛函宗量,以車(chē)輛加速時(shí)間作為優(yōu)化目標(biāo)構(gòu)建性能泛函,將車(chē)輛最佳動(dòng)力性速比控制抽象為泛函極值問(wèn)題. 針對(duì)性能泛函強(qiáng)非線(xiàn)性導(dǎo)致無(wú)法獲得解析解的情況,利用歐拉有限差分法對(duì)泛函宗量進(jìn)行數(shù)值求解,得到無(wú)級(jí)變速傳動(dòng)裝置最優(yōu)加速性能下的目標(biāo)速比. 通過(guò)搭建無(wú)級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型,對(duì)比分析傳統(tǒng)速比控制與泛函優(yōu)化速比控制下車(chē)輛加速性能的差異,驗(yàn)證了泛函分析應(yīng)用于無(wú)級(jí)傳動(dòng)裝置速比控制問(wèn)題的理論可行性.

        1 車(chē)輛加速時(shí)間性能泛函構(gòu)建

        車(chē)輛的加速時(shí)間是表征車(chē)輛動(dòng)力性的重要指標(biāo)之一,加速性能的優(yōu)劣直接反應(yīng)車(chē)輛的動(dòng)力性能. 文中以加速過(guò)程中車(chē)輛所用的加速時(shí)間作為動(dòng)力性指標(biāo),以無(wú)級(jí)變速速比作為泛函宗量,建立無(wú)級(jí)傳動(dòng)車(chē)輛加速時(shí)間性能泛函.

        1.1 加速時(shí)間性能泛函數(shù)學(xué)推導(dǎo)

        文中所述車(chē)輛傳動(dòng)系包括發(fā)動(dòng)機(jī)、濕式多片離合器、變速器、主減速器和差速器等. 為保證模型的精確性和簡(jiǎn)潔性,對(duì)車(chē)輛動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行一定程度的簡(jiǎn)化:①忽略發(fā)動(dòng)機(jī)及變速器高階動(dòng)態(tài)特性;②忽略由于旋轉(zhuǎn)造成的傳動(dòng)系間隙及相關(guān)桿件的扭轉(zhuǎn)變形;③忽略多片離合器車(chē)輛加速過(guò)程的滑摩[9]. 基于上述假設(shè),對(duì)車(chē)輛加速時(shí)的縱向動(dòng)力傳動(dòng)過(guò)程建模并推導(dǎo)加速時(shí)間性能泛函.

        在討論速比控制問(wèn)題時(shí),假設(shè)離合器結(jié)合完全同時(shí)不發(fā)生滑轉(zhuǎn)現(xiàn)象,此時(shí)無(wú)級(jí)變速器輸入軸與發(fā)動(dòng)機(jī)輸出軸可視為剛性聯(lián)結(jié)[7],并且假設(shè)車(chē)輪滑移率為0,此時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速和車(chē)速存在如下關(guān)系:

        ωe=iCVTim0u/r,

        (1)

        式中:iCVT為無(wú)級(jí)變速速比;ωe為發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速;im0為主速比;u為車(chē)速;r為車(chē)輪滾動(dòng)半徑.

        無(wú)級(jí)變速速比iCVT隨時(shí)間t連續(xù)變化,車(chē)速u(mài)也隨時(shí)間t連續(xù)變化. 速比控制策略在平直路面行駛條件下進(jìn)行制定,在加速過(guò)程中不出現(xiàn)突出的路面阻力,在發(fā)動(dòng)機(jī)飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和無(wú)級(jí)變速器主動(dòng)部分慣量較小,且車(chē)輛加速響應(yīng)及時(shí)的情況下,車(chē)輛加速過(guò)程可以保持加速度為正數(shù),即車(chē)輛不發(fā)生減速,車(chē)速u(mài)為時(shí)間t的單調(diào)遞增函數(shù). 根據(jù)反函數(shù)理論,無(wú)級(jí)變速器速比iCVT可以看作車(chē)速u(mài)的函數(shù),即:

        iCVT(u)=iCVT[t-1(u)],

        (2)

        將式(1)兩端同時(shí)對(duì)時(shí)間t進(jìn)行求導(dǎo),得

        (3)

        考慮發(fā)動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)部件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,加速時(shí)傳動(dòng)半軸作用于驅(qū)動(dòng)輪的轉(zhuǎn)矩為

        (4)

        式中:T1為考慮傳動(dòng)效率的驅(qū)動(dòng)輪轉(zhuǎn)矩;Ttq為發(fā)動(dòng)機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩;If為發(fā)動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)部件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;ηCVT為無(wú)級(jí)變速傳動(dòng)效率.

        傳動(dòng)系統(tǒng)效率損失由系統(tǒng)中各處接觸部件之間的摩擦引起,則傳動(dòng)系中各處摩擦作用轉(zhuǎn)換到驅(qū)動(dòng)輪處的摩擦阻力轉(zhuǎn)矩TR為

        (5)

        主速比im0為常數(shù),對(duì)于變速器速比iCVT的求導(dǎo)等計(jì)算不產(chǎn)生影響,因此利用i=im0iCVT進(jìn)行變量代換,并將式(4)代入式(5),得到傳動(dòng)系統(tǒng)的摩擦損耗功率PR為

        PR=

        (6)

        根據(jù)能量守恒定律,得到動(dòng)力學(xué)功率平衡方程

        ,

        (7)

        式中:m為整車(chē)質(zhì)量;IW為車(chē)輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Ff為滾動(dòng)阻力;Fw為空氣阻力;Fi為坡道阻力.

        根據(jù)式(7)可以得到車(chē)輛加速度av為

        (8)

        式中:Ft為車(chē)輛驅(qū)動(dòng)力;i′為速比相對(duì)車(chē)速的變化率,即i′=di/du.

        根據(jù)車(chē)輛縱向動(dòng)力學(xué),加速工況下,車(chē)輛驅(qū)動(dòng)力Ft為

        Ft=Ttqim0iCVTηCVT/r=TtqiηCVT/r.

        (9)

        1.2 加速時(shí)間性能泛函數(shù)學(xué)表征

        根據(jù)車(chē)輛加速度的定義可知,車(chē)輛的加速時(shí)間為加速度倒數(shù)對(duì)車(chē)速u(mài)的積分,即

        (10)

        式中:ta為車(chē)輛加速時(shí)間;u0、u1分別為車(chē)輛的初始車(chē)速和終止車(chē)速.

        根據(jù)最簡(jiǎn)泛函數(shù)學(xué)形式:

        (11)

        對(duì)加速時(shí)間ta的表達(dá)作如下變量代換:u=x,i=y,i′=y′,則加速時(shí)間ta可視為以車(chē)速u(mài)為自變量,以目標(biāo)速比i為宗量函數(shù)的泛函,即T=J[i(u)],u0和u1為性能泛函區(qū)間端點(diǎn)值.

        考慮平坦道路加速行駛工況,坡道阻力為0,并將滾動(dòng)阻力系數(shù)視為常數(shù),對(duì)滾動(dòng)阻力、加速阻力、空氣阻力中的計(jì)算參數(shù)作如下變量代換

        λ1=m+∑IW/r2,λ2=If/r2,λ3=fmg,
        λ4=3.62CDA/21.15 .

        (12)

        得到簡(jiǎn)化后加速時(shí)間性能泛函數(shù)學(xué)表征形式為

        J[i(u)]=

        (13)

        文中取無(wú)級(jí)傳動(dòng)效率為速比的函數(shù),將無(wú)級(jí)傳動(dòng)效率擬合為總速比的二次函數(shù),得到無(wú)級(jí)傳動(dòng)效率數(shù)學(xué)表達(dá)式

        ηCVT=p1i2+p2i+p3,

        (14)

        式中:p1,p2,p3為多項(xiàng)式系數(shù),文中取p1=-0.003 4,p2=0.070 7,p3=0.481 4.

        將式(14)帶入式(13),得到考慮無(wú)級(jí)傳動(dòng)效率為變量的加速時(shí)間性能泛函式為

        (15)

        2 性能泛函求解算法及邊界條件

        文中構(gòu)建的性能泛函由于其具有強(qiáng)非線(xiàn)性,無(wú)法直接利用泛函取極值所滿(mǎn)足的歐拉方程獲得泛函宗量精確解,文中根據(jù)變分法原理,將性能泛函離散化,采用歐拉有限差分法對(duì)泛函宗量進(jìn)行數(shù)值求解.

        2.1 性能泛函直接解法

        對(duì)于性能泛函J[i(u)],其邊界條件為:i(u0)=i0,i(u1)=i1;利用歐拉有限差分法對(duì)泛函宗量i進(jìn)行數(shù)值求解,求解該性能泛函近似解具體步驟如下:

        ① 將區(qū)間[u0,u1]劃分為n小段,每個(gè)小段稱(chēng)為一個(gè)有限單元,每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)泛函宗量i是自變量u的線(xiàn)性函數(shù),根據(jù)Lagrange插值可得

        (uk-1≤u≤uk).

        (16)

        即利用折線(xiàn)代替泛函宗量i(u)解析解中的連續(xù)曲線(xiàn),由于文中性能泛函J[i(u)]只涉及i、i′而不涉及泛函宗量i的高階導(dǎo)數(shù),因而利用折線(xiàn)近似代替是合理的.

        ② 將Lagrange插值曲線(xiàn)帶入性能泛函,將J[i(u)]轉(zhuǎn)換為節(jié)點(diǎn)u1,u2,…,un-1的多元函數(shù),即

        J*[i(u)]=φ(u1,u2,…,un-1).

        (17)

        為保證性能泛函J在各自變量u處均取極值,應(yīng)使J*[i(u)]在各節(jié)點(diǎn)處均達(dá)到極值,得到關(guān)于節(jié)點(diǎn)值的n-1階非線(xiàn)性方程組

        ?φ/?ik=0 (k=1,2,…,n-1).

        (18)

        求解式(18)的非線(xiàn)性方程組,可以獲得泛函宗量i近似解的一組折線(xiàn),當(dāng)有限元盡可能小時(shí),該解可以近似為各車(chē)速下的最優(yōu)加速性目標(biāo)速比.

        2.2 性能泛函離散化

        根據(jù)歐拉有限差分法,將性能泛函離散化. 泛函宗量在相應(yīng)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值由導(dǎo)數(shù)近似公式計(jì)算:

        i′k=i′(uk)≈(uk+1-uk)/Δu.

        (19)

        將性能泛函積分利用矩形公式表示為有限和形式

        [f(u0)+f(u0+Δu)+…+f(u1-Δu)]Δu.

        (20)

        則離散化加速時(shí)間性能泛函數(shù)值表達(dá)式為

        為簡(jiǎn)化計(jì)算,取節(jié)點(diǎn)差值Δu為定值,在所有節(jié)點(diǎn)值處均取得極值,得到關(guān)于n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)值的n-1元非線(xiàn)性方程組為

        (j=1,2,…,n-1),

        (21)

        其中,A1~A4具體數(shù)學(xué)表達(dá)式為

        式中i0和in分別為車(chē)輛加速過(guò)程的初、末車(chē)速對(duì)應(yīng)的目標(biāo)速比值.

        2.3 泛函邊界條件及數(shù)值解

        車(chē)輛加速性能與后備功率密切相關(guān),車(chē)輛后備功率大則加速性能好. 將u0和u1的邊界條件設(shè)置為初始車(chē)速和終止車(chē)速對(duì)應(yīng)的各油門(mén)開(kāi)度下傳動(dòng)系最大聯(lián)合輸出功率點(diǎn).

        以油門(mén)開(kāi)度α=1為例,為避免出現(xiàn)末端車(chē)速過(guò)高導(dǎo)致av≈0,造成方程組求解發(fā)散的情況(此時(shí)1/av≈∞),選取加速過(guò)程初始車(chē)速u(mài)0=6 km/h,末端車(chē)速u(mài)1=60 km/h,對(duì)應(yīng)變速箱最優(yōu)速比分別為4.625和0.9,由i=im0iCVT,則邊界條件為i0=18.5,in=3.6.

        計(jì)算過(guò)程所采用的系統(tǒng)參數(shù)值如表1所示.

        表1 系統(tǒng)參數(shù)值

        為保證離散化結(jié)果的精確度及目標(biāo)速比的連續(xù)性,節(jié)點(diǎn)數(shù)的選取不宜過(guò)少. 文中選取節(jié)點(diǎn)數(shù)為30,根據(jù)式(22)的描述得到非線(xiàn)性方程組,利用Newton迭代法進(jìn)行求解,得到泛函宗量i在不同油門(mén)開(kāi)度、不同車(chē)速下的數(shù)值解,從而獲得最優(yōu)加速性目標(biāo)速比.

        3 模型動(dòng)態(tài)仿真與分析

        為了驗(yàn)證泛函分析法得到的最佳動(dòng)力性目標(biāo)速比對(duì)于提升車(chē)輛動(dòng)力性的動(dòng)態(tài)效果,建立無(wú)級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)仿真模型,并與傳統(tǒng)基于各油門(mén)開(kāi)度下發(fā)動(dòng)機(jī)輸出功率最大[5]的速比控制策略、聯(lián)合輸出功率最大的速比控制策略進(jìn)行加速性能的對(duì)比分析.

        采用油門(mén)開(kāi)度α為1,仿真結(jié)果表征車(chē)輛的極限加速能力,仿真時(shí)采用定步長(zhǎng)求解方式,3種無(wú)級(jí)傳動(dòng)最佳動(dòng)力性速比控制策略下加速性對(duì)比如圖1所示. 從圖1中可以看出,泛函分析法獲得的動(dòng)力性目標(biāo)速比在車(chē)速由6 km/h加速到60 km/h時(shí)所用加速時(shí)間最短,為9.1 s;按照聯(lián)合輸出功率最大動(dòng)力性目標(biāo)速比加速用時(shí)稍長(zhǎng),需要9.2 s;而傳統(tǒng)保持發(fā)動(dòng)機(jī)工作在各油門(mén)開(kāi)度最大輸出功率點(diǎn)的速比控制策略下加速性能表現(xiàn)最差,加速時(shí)間為9.9 s,泛函分析法與之相比加速時(shí)間減少8.79%.

        圖1 全油門(mén)加速性能對(duì)比曲線(xiàn)Fig.1 Contrast curves of extreme acceleration

        圖2為油門(mén)開(kāi)度為1時(shí),采用不同速比控制策略得到的發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速變化曲線(xiàn). 由圖2可知,按照傳統(tǒng)的發(fā)動(dòng)機(jī)輸出功率最大速比控制方法,發(fā)動(dòng)機(jī)很快加速到最大功率點(diǎn)轉(zhuǎn)速1 840 r/min并保持不變;而聯(lián)合輸出功率最大法及泛函分析法的末端轉(zhuǎn)速均稍大于最大功率點(diǎn)轉(zhuǎn)速,說(shuō)明發(fā)動(dòng)機(jī)輸出功率最大并不能使車(chē)輛加速性能最優(yōu). 車(chē)速在60 km/h之后利用泛函分析法得到的發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速有緩慢上升趨勢(shì),逐漸偏離聯(lián)合輸出功率最大曲線(xiàn).

        圖2 全油門(mén)加速時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速曲線(xiàn)Fig.2 Engine speed curves of α=1

        圖3和圖4分別表示全油門(mén)加速時(shí)車(chē)輛加速度和速比變化率曲線(xiàn). 從圖中可以看出,加速過(guò)程中車(chē)輛加速度一直為正數(shù),未出現(xiàn)車(chē)速下降的現(xiàn)象,符合文中目標(biāo)泛函表達(dá)式的建立前提. 發(fā)動(dòng)機(jī)輸出功率最大法對(duì)應(yīng)的速比變化率負(fù)值最大,導(dǎo)致加速度形成兩個(gè)尖峰且最大加速度較低,加速性能相對(duì)較差.

        圖3 全油門(mén)加速時(shí)車(chē)輛加速度曲線(xiàn)Fig.3 Vehicle acceleration curves of α=1

        圖4 全油門(mén)加速時(shí)速比變化率曲線(xiàn)Fig.4 Speed ratio change rate curves of α=1

        4 結(jié) 論

        文中將泛函分析理論引入無(wú)級(jí)變速速比控制問(wèn)題中,以表征車(chē)輛動(dòng)力性的加速時(shí)間作為性能泛函,以變速箱速比iCVT作為泛函宗量,并考慮無(wú)級(jí)傳動(dòng)效率,構(gòu)建了具有通用性的車(chē)輛加速時(shí)間性能泛函數(shù)學(xué)表征形式.

        采用變分法原理和歐拉有限差分法分析以泛函取極值為優(yōu)化目標(biāo)的數(shù)學(xué)問(wèn)題,對(duì)泛函宗量進(jìn)行數(shù)值求解,獲得了最佳動(dòng)力性速比結(jié)果,通過(guò)仿真對(duì)比分析不同速比控制策略下的車(chē)輛加速性能,從理論上驗(yàn)證了泛函分析法應(yīng)用于車(chē)輛傳動(dòng)系統(tǒng)最佳動(dòng)力性速比控制問(wèn)題的可行性.

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