郭智薔, 吳維, 劉洋, 李博, 苑士華

(1.北京理工大學(xué) 機(jī)械與車(chē)輛學(xué)院，車(chē)輛傳動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081; 2.北京特種車(chē)輛研究所，北京 100081)

無(wú)級(jí)變速傳動(dòng)裝置能夠?qū)崿F(xiàn)車(chē)輛傳動(dòng)系統(tǒng)速比連續(xù)不間斷調(diào)整，使得任何車(chē)速下發(fā)動(dòng)機(jī)均能夠工作在最佳工況點(diǎn)及高效工作區(qū)[1-2]. 通過(guò)合理控制無(wú)級(jí)傳動(dòng)車(chē)輛的速比，可以使無(wú)級(jí)變速車(chē)輛具有更好的車(chē)輛動(dòng)力性與燃油經(jīng)濟(jì)性，近年來(lái)關(guān)于無(wú)級(jí)變速傳動(dòng)裝置速比及其變化率的控制策略研究成為車(chē)輛研究的熱點(diǎn)之一[3-4].

傳統(tǒng)的無(wú)級(jí)變速車(chē)輛的最佳動(dòng)力性速比控制策略由Tsukuda K等提出，控制發(fā)動(dòng)機(jī)始終工作在各油門(mén)開(kāi)度下的最大功率點(diǎn). 羅勇等[5]在此基礎(chǔ)上考慮發(fā)動(dòng)機(jī)輸出特性和無(wú)級(jí)傳動(dòng)效率特性，以傳動(dòng)系聯(lián)合輸出功率最大為優(yōu)化目標(biāo)，采用窮舉法得到任意車(chē)速和油門(mén)開(kāi)度下的目標(biāo)速比. 馬士澤等[6]提出無(wú)級(jí)變速速比PID控制方法，經(jīng)仿真分析后指出速比變化率對(duì)加減速性能起著關(guān)鍵性作用，其決定著輸出功率和阻力功率的動(dòng)態(tài)匹配關(guān)系. 徐少兵等[7]將無(wú)級(jí)變速傳動(dòng)車(chē)輛經(jīng)濟(jì)性行駛控制策略的辨識(shí)構(gòu)建為一個(gè)Bolza最優(yōu)控制問(wèn)題，利用Legendre偽譜最優(yōu)控制法進(jìn)行了定量研究，指出最優(yōu)加速策略是與發(fā)動(dòng)機(jī)特性和目標(biāo)末速度密切相關(guān)的動(dòng)態(tài)策略.

泛函分析理論具有高度的抽象性和概括性，近年來(lái)泛函分析廣泛應(yīng)用于最優(yōu)控制問(wèn)題，但在車(chē)輛傳動(dòng)領(lǐng)域應(yīng)用相對(duì)較少[8]. 文中為進(jìn)一步提高無(wú)級(jí)變速車(chē)輛動(dòng)力性，實(shí)現(xiàn)最佳動(dòng)力性速比控制，引入泛函分析方法，以目標(biāo)速比作為泛函宗量，以車(chē)輛加速時(shí)間作為優(yōu)化目標(biāo)構(gòu)建性能泛函，將車(chē)輛最佳動(dòng)力性速比控制抽象為泛函極值問(wèn)題. 針對(duì)性能泛函強(qiáng)非線(xiàn)性導(dǎo)致無(wú)法獲得解析解的情況，利用歐拉有限差分法對(duì)泛函宗量進(jìn)行數(shù)值求解，得到無(wú)級(jí)變速傳動(dòng)裝置最優(yōu)加速性能下的目標(biāo)速比. 通過(guò)搭建無(wú)級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型，對(duì)比分析傳統(tǒng)速比控制與泛函優(yōu)化速比控制下車(chē)輛加速性能的差異，驗(yàn)證了泛函分析應(yīng)用于無(wú)級(jí)傳動(dòng)裝置速比控制問(wèn)題的理論可行性.

1 車(chē)輛加速時(shí)間性能泛函構(gòu)建

車(chē)輛的加速時(shí)間是表征車(chē)輛動(dòng)力性的重要指標(biāo)之一，加速性能的優(yōu)劣直接反應(yīng)車(chē)輛的動(dòng)力性能. 文中以加速過(guò)程中車(chē)輛所用的加速時(shí)間作為動(dòng)力性指標(biāo)，以無(wú)級(jí)變速速比作為泛函宗量，建立無(wú)級(jí)傳動(dòng)車(chē)輛加速時(shí)間性能泛函.

1.1 加速時(shí)間性能泛函數(shù)學(xué)推導(dǎo)

文中所述車(chē)輛傳動(dòng)系包括發(fā)動(dòng)機(jī)、濕式多片離合器、變速器、主減速器和差速器等. 為保證模型的精確性和簡(jiǎn)潔性，對(duì)車(chē)輛動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行一定程度的簡(jiǎn)化：①忽略發(fā)動(dòng)機(jī)及變速器高階動(dòng)態(tài)特性；②忽略由于旋轉(zhuǎn)造成的傳動(dòng)系間隙及相關(guān)桿件的扭轉(zhuǎn)變形；③忽略多片離合器車(chē)輛加速過(guò)程的滑摩[9]. 基于上述假設(shè)，對(duì)車(chē)輛加速時(shí)的縱向動(dòng)力傳動(dòng)過(guò)程建模并推導(dǎo)加速時(shí)間性能泛函.

在討論速比控制問(wèn)題時(shí)，假設(shè)離合器結(jié)合完全同時(shí)不發(fā)生滑轉(zhuǎn)現(xiàn)象，此時(shí)無(wú)級(jí)變速器輸入軸與發(fā)動(dòng)機(jī)輸出軸可視為剛性聯(lián)結(jié)[7]，并且假設(shè)車(chē)輪滑移率為0，此時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速和車(chē)速存在如下關(guān)系：

ωe=iCVTim0u/r,

(1)

式中：iCVT為無(wú)級(jí)變速速比；ωe為發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速；im0為主速比；u為車(chē)速；r為車(chē)輪滾動(dòng)半徑.

無(wú)級(jí)變速速比iCVT隨時(shí)間t連續(xù)變化，車(chē)速u(mài)也隨時(shí)間t連續(xù)變化. 速比控制策略在平直路面行駛條件下進(jìn)行制定，在加速過(guò)程中不出現(xiàn)突出的路面阻力，在發(fā)動(dòng)機(jī)飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和無(wú)級(jí)變速器主動(dòng)部分慣量較小，且車(chē)輛加速響應(yīng)及時(shí)的情況下，車(chē)輛加速過(guò)程可以保持加速度為正數(shù)，即車(chē)輛不發(fā)生減速，車(chē)速u(mài)為時(shí)間t的單調(diào)遞增函數(shù). 根據(jù)反函數(shù)理論，無(wú)級(jí)變速器速比iCVT可以看作車(chē)速u(mài)的函數(shù)，即：

iCVT(u)=iCVT[t-1(u)],

(2)

將式(1)兩端同時(shí)對(duì)時(shí)間t進(jìn)行求導(dǎo)，得

(3)

考慮發(fā)動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)部件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加速時(shí)傳動(dòng)半軸作用于驅(qū)動(dòng)輪的轉(zhuǎn)矩為

(4)

式中:T1為考慮傳動(dòng)效率的驅(qū)動(dòng)輪轉(zhuǎn)矩；Ttq為發(fā)動(dòng)機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩；If為發(fā)動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)部件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ηCVT為無(wú)級(jí)變速傳動(dòng)效率.

傳動(dòng)系統(tǒng)效率損失由系統(tǒng)中各處接觸部件之間的摩擦引起，則傳動(dòng)系中各處摩擦作用轉(zhuǎn)換到驅(qū)動(dòng)輪處的摩擦阻力轉(zhuǎn)矩TR為

(5)

主速比im0為常數(shù)，對(duì)于變速器速比iCVT的求導(dǎo)等計(jì)算不產(chǎn)生影響，因此利用i=im0iCVT進(jìn)行變量代換，并將式(4)代入式(5)，得到傳動(dòng)系統(tǒng)的摩擦損耗功率PR為

PR=

(6)

根據(jù)能量守恒定律，得到動(dòng)力學(xué)功率平衡方程

,

(7)

式中:m為整車(chē)質(zhì)量；IW為車(chē)輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Ff為滾動(dòng)阻力；Fw為空氣阻力；Fi為坡道阻力.

根據(jù)式(7)可以得到車(chē)輛加速度av為

(8)

式中:Ft為車(chē)輛驅(qū)動(dòng)力；i′為速比相對(duì)車(chē)速的變化率，即i′=di/du.

根據(jù)車(chē)輛縱向動(dòng)力學(xué)，加速工況下，車(chē)輛驅(qū)動(dòng)力Ft為

Ft=Ttqim0iCVTηCVT/r=TtqiηCVT/r.

(9)

1.2 加速時(shí)間性能泛函數(shù)學(xué)表征

根據(jù)車(chē)輛加速度的定義可知，車(chē)輛的加速時(shí)間為加速度倒數(shù)對(duì)車(chē)速u(mài)的積分，即

(10)

式中：ta為車(chē)輛加速時(shí)間；u0、u1分別為車(chē)輛的初始車(chē)速和終止車(chē)速.

根據(jù)最簡(jiǎn)泛函數(shù)學(xué)形式：

(11)

對(duì)加速時(shí)間ta的表達(dá)作如下變量代換：u=x，i=y，i′=y′，則加速時(shí)間ta可視為以車(chē)速u(mài)為自變量，以目標(biāo)速比i為宗量函數(shù)的泛函，即T=J[i(u)]，u0和u1為性能泛函區(qū)間端點(diǎn)值.

考慮平坦道路加速行駛工況，坡道阻力為0，并將滾動(dòng)阻力系數(shù)視為常數(shù)，對(duì)滾動(dòng)阻力、加速阻力、空氣阻力中的計(jì)算參數(shù)作如下變量代換

λ1=m+∑IW/r2,λ2=If/r2,λ3=fmg,
λ4=3.62CDA/21.15 .

(12)

得到簡(jiǎn)化后加速時(shí)間性能泛函數(shù)學(xué)表征形式為

J[i(u)]=

(13)

文中取無(wú)級(jí)傳動(dòng)效率為速比的函數(shù)，將無(wú)級(jí)傳動(dòng)效率擬合為總速比的二次函數(shù)，得到無(wú)級(jí)傳動(dòng)效率數(shù)學(xué)表達(dá)式

ηCVT=p1i2+p2i+p3,

(14)

式中：p1，p2，p3為多項(xiàng)式系數(shù)，文中取p1=-0.003 4，p2=0.070 7，p3=0.481 4.

將式(14)帶入式(13)，得到考慮無(wú)級(jí)傳動(dòng)效率為變量的加速時(shí)間性能泛函式為

(15)

2 性能泛函求解算法及邊界條件

文中構(gòu)建的性能泛函由于其具有強(qiáng)非線(xiàn)性，無(wú)法直接利用泛函取極值所滿(mǎn)足的歐拉方程獲得泛函宗量精確解，文中根據(jù)變分法原理，將性能泛函離散化，采用歐拉有限差分法對(duì)泛函宗量進(jìn)行數(shù)值求解.

2.1 性能泛函直接解法

對(duì)于性能泛函J[i(u)]，其邊界條件為：i(u0)=i0，i(u1)=i1；利用歐拉有限差分法對(duì)泛函宗量i進(jìn)行數(shù)值求解，求解該性能泛函近似解具體步驟如下：

① 將區(qū)間[u0,u1]劃分為n小段，每個(gè)小段稱(chēng)為一個(gè)有限單元，每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)泛函宗量i是自變量u的線(xiàn)性函數(shù)，根據(jù)Lagrange插值可得

(uk-1≤u≤uk).

(16)

即利用折線(xiàn)代替泛函宗量i(u)解析解中的連續(xù)曲線(xiàn)，由于文中性能泛函J[i(u)]只涉及i、i′而不涉及泛函宗量i的高階導(dǎo)數(shù)，因而利用折線(xiàn)近似代替是合理的.

② 將Lagrange插值曲線(xiàn)帶入性能泛函，將J[i(u)]轉(zhuǎn)換為節(jié)點(diǎn)u1，u2，…，un-1的多元函數(shù)，即

J*[i(u)]=φ(u1,u2,…,un-1).

(17)

為保證性能泛函J在各自變量u處均取極值，應(yīng)使J*[i(u)]在各節(jié)點(diǎn)處均達(dá)到極值，得到關(guān)于節(jié)點(diǎn)值的n-1階非線(xiàn)性方程組

?φ/?ik=0 (k=1,2,…,n-1).

(18)

求解式(18)的非線(xiàn)性方程組，可以獲得泛函宗量i近似解的一組折線(xiàn)，當(dāng)有限元盡可能小時(shí)，該解可以近似為各車(chē)速下的最優(yōu)加速性目標(biāo)速比.

2.2 性能泛函離散化

根據(jù)歐拉有限差分法，將性能泛函離散化. 泛函宗量在相應(yīng)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值由導(dǎo)數(shù)近似公式計(jì)算：

i′k=i′(uk)≈(uk+1-uk)/Δu.

(19)

將性能泛函積分利用矩形公式表示為有限和形式

[f(u0)+f(u0+Δu)+…+f(u1-Δu)]Δu.

(20)

則離散化加速時(shí)間性能泛函數(shù)值表達(dá)式為

為簡(jiǎn)化計(jì)算，取節(jié)點(diǎn)差值Δu為定值，在所有節(jié)點(diǎn)值處均取得極值，得到關(guān)于n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)值的n-1元非線(xiàn)性方程組為

(j=1,2,…,n-1),

(21)

其中，A1～A4具體數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中i0和in分別為車(chē)輛加速過(guò)程的初、末車(chē)速對(duì)應(yīng)的目標(biāo)速比值.

2.3 泛函邊界條件及數(shù)值解

車(chē)輛加速性能與后備功率密切相關(guān)，車(chē)輛后備功率大則加速性能好. 將u0和u1的邊界條件設(shè)置為初始車(chē)速和終止車(chē)速對(duì)應(yīng)的各油門(mén)開(kāi)度下傳動(dòng)系最大聯(lián)合輸出功率點(diǎn).

以油門(mén)開(kāi)度α=1為例，為避免出現(xiàn)末端車(chē)速過(guò)高導(dǎo)致av≈0，造成方程組求解發(fā)散的情況(此時(shí)1/av≈∞)，選取加速過(guò)程初始車(chē)速u(mài)0=6 km/h，末端車(chē)速u(mài)1=60 km/h，對(duì)應(yīng)變速箱最優(yōu)速比分別為4.625和0.9，由i=im0iCVT，則邊界條件為i0=18.5，in=3.6.

計(jì)算過(guò)程所采用的系統(tǒng)參數(shù)值如表1所示.

表1 系統(tǒng)參數(shù)值

為保證離散化結(jié)果的精確度及目標(biāo)速比的連續(xù)性，節(jié)點(diǎn)數(shù)的選取不宜過(guò)少. 文中選取節(jié)點(diǎn)數(shù)為30，根據(jù)式(22)的描述得到非線(xiàn)性方程組，利用Newton迭代法進(jìn)行求解，得到泛函宗量i在不同油門(mén)開(kāi)度、不同車(chē)速下的數(shù)值解，從而獲得最優(yōu)加速性目標(biāo)速比.

3 模型動(dòng)態(tài)仿真與分析

為了驗(yàn)證泛函分析法得到的最佳動(dòng)力性目標(biāo)速比對(duì)于提升車(chē)輛動(dòng)力性的動(dòng)態(tài)效果，建立無(wú)級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)仿真模型，并與傳統(tǒng)基于各油門(mén)開(kāi)度下發(fā)動(dòng)機(jī)輸出功率最大[5]的速比控制策略、聯(lián)合輸出功率最大的速比控制策略進(jìn)行加速性能的對(duì)比分析.

采用油門(mén)開(kāi)度α為1，仿真結(jié)果表征車(chē)輛的極限加速能力，仿真時(shí)采用定步長(zhǎng)求解方式，3種無(wú)級(jí)傳動(dòng)最佳動(dòng)力性速比控制策略下加速性對(duì)比如圖1所示. 從圖1中可以看出，泛函分析法獲得的動(dòng)力性目標(biāo)速比在車(chē)速由6 km/h加速到60 km/h時(shí)所用加速時(shí)間最短，為9.1 s；按照聯(lián)合輸出功率最大動(dòng)力性目標(biāo)速比加速用時(shí)稍長(zhǎng)，需要9.2 s；而傳統(tǒng)保持發(fā)動(dòng)機(jī)工作在各油門(mén)開(kāi)度最大輸出功率點(diǎn)的速比控制策略下加速性能表現(xiàn)最差，加速時(shí)間為9.9 s，泛函分析法與之相比加速時(shí)間減少8.79%.

圖1 全油門(mén)加速性能對(duì)比曲線(xiàn)Fig.1 Contrast curves of extreme acceleration

圖2為油門(mén)開(kāi)度為1時(shí)，采用不同速比控制策略得到的發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速變化曲線(xiàn). 由圖2可知，按照傳統(tǒng)的發(fā)動(dòng)機(jī)輸出功率最大速比控制方法，發(fā)動(dòng)機(jī)很快加速到最大功率點(diǎn)轉(zhuǎn)速1 840 r/min并保持不變；而聯(lián)合輸出功率最大法及泛函分析法的末端轉(zhuǎn)速均稍大于最大功率點(diǎn)轉(zhuǎn)速，說(shuō)明發(fā)動(dòng)機(jī)輸出功率最大并不能使車(chē)輛加速性能最優(yōu). 車(chē)速在60 km/h之后利用泛函分析法得到的發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速有緩慢上升趨勢(shì)，逐漸偏離聯(lián)合輸出功率最大曲線(xiàn).

圖2 全油門(mén)加速時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速曲線(xiàn)Fig.2 Engine speed curves of α=1

圖3和圖4分別表示全油門(mén)加速時(shí)車(chē)輛加速度和速比變化率曲線(xiàn). 從圖中可以看出，加速過(guò)程中車(chē)輛加速度一直為正數(shù)，未出現(xiàn)車(chē)速下降的現(xiàn)象，符合文中目標(biāo)泛函表達(dá)式的建立前提. 發(fā)動(dòng)機(jī)輸出功率最大法對(duì)應(yīng)的速比變化率負(fù)值最大，導(dǎo)致加速度形成兩個(gè)尖峰且最大加速度較低，加速性能相對(duì)較差.

圖3 全油門(mén)加速時(shí)車(chē)輛加速度曲線(xiàn)Fig.3 Vehicle acceleration curves of α=1

圖4 全油門(mén)加速時(shí)速比變化率曲線(xiàn)Fig.4 Speed ratio change rate curves of α=1

4 結(jié) 論

文中將泛函分析理論引入無(wú)級(jí)變速速比控制問(wèn)題中，以表征車(chē)輛動(dòng)力性的加速時(shí)間作為性能泛函，以變速箱速比iCVT作為泛函宗量，并考慮無(wú)級(jí)傳動(dòng)效率，構(gòu)建了具有通用性的車(chē)輛加速時(shí)間性能泛函數(shù)學(xué)表征形式.

采用變分法原理和歐拉有限差分法分析以泛函取極值為優(yōu)化目標(biāo)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)泛函宗量進(jìn)行數(shù)值求解，獲得了最佳動(dòng)力性速比結(jié)果，通過(guò)仿真對(duì)比分析不同速比控制策略下的車(chē)輛加速性能，從理論上驗(yàn)證了泛函分析法應(yīng)用于車(chē)輛傳動(dòng)系統(tǒng)最佳動(dòng)力性速比控制問(wèn)題的可行性.